广东省2023学年高考模拟 数学试题及答案

高三数学

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设。={-2,—1,0,123}*={0,2},8={工8=4},则Cu(A(JB)=

A.{-14,3}B.{-2,-1,0,1,3}C.{-2,-1,1,3}D.{-1,0,1,3)

2.复数？=(l+9i)(8+5i)在复平面内对应的点位于

倒A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知点F为抛物线C：/=2拉(Q>0)的焦点，点P(4,TM)在抛物线C上,且|PF|=6,则p=

KA.2B.4C.6D.8

4.(2x-i)6展开式中的常数项为

■K

A-60B.60C.120D.-120

5.若正整数a的所有真因数(即不是自身的因数)之和等于仇正整数6的所有真因数之和等于

就

a,则称。和6是一对“亲和数”.约两千五百年前,古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和

数：284和220.220的所有真因数为1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110；284的所有真因数为

1,2,4,71,142.若分别从284和220的所有真因数中各随机抽取一个数，则取出的两个数的

和为奇数的槪率是

A1214「26门29

A.—R15•二C.7TDFE

05co5555

6.已知椭圆C：^+f=l的左焦点为F,P是C上一点,M(3,D，则IPMI+IPF|的最大值为

10I

A.7B.8C.9D.11

7.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多

越好.小赵同学在玩••打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时

的速度为20m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次

接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6m/s,石片就不再弹

跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg2=«0.3,lg3心

0.48,1g17Pl..23)

A.6B.7C.8D.9

帥工21三o<zV2

8.已知函数/(N)=[2、'则方程3"(公了+8f(z)+4=0在区间(0,10口上的实

2/(N—2),4>2,

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根个数为

A.8B.10C.16D.18

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.据某地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增增长率/%

长率数据制成如图所示的折线图，已知8月份当地的人均月收入为5

2000元，现给岀如下信息,其中不正确的信息为:

A.9月份当地人均月收入为1980元2

B.10月份当地人均月收入为2040元J

C.11月份当地人均月收入与8月份相同-1

D.这四个月中.当地12月份人均月收入最低-2

10.为了得到函数y=sin(4H—卷)的图象，只需将函数y=sin(z+*)的图象

O0

A.所有点的横坐标缩短到原来的J，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移登个单位长度

4o

B.所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移当个单位长度

4o

C.向右平移占个单位长度.再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变

D.向左平移9个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变

1Q

11.若°=1唯3+1限2,6=1密4+1。&3L1密5+1限4,4=石.则

A.a>d>bB.d>b>cC.a>c>bD.a>d>c

12.如图•正方体ABCD-AiBCQ的棱长为2,动点P,Q分别在线段CiD,AC上，则

A.异面直线DQ和BG所成的角为；y4\

B.点A到平面BQD的距离为竽/j

C.若P,Q分别为线段GD,AC的中点,则PQ〃平面ABCQ

D,线段PQ长度的最小值为零

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分..

13.已知向量a=(3,-D,b=(l,Q,若|a-b|2=|a|2+B|z,则1=▲.

14.已知直线4H+3、+2n2=0与圆C：(x+3)2+(>—1)2=1相交.则整数m的一个取值可能

是▲,

15.用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多

1,则最大容积为▲n?；此时容器的高为▲一

(本题第一空3分,第二空2分)/\„

16.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的八，

正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形小、［

构成，其可由正四面体切割而成,如图所示.已知MN=1,若在该半正多《:夫・生

面体内放一个球，则该球表面积的最大值为▲.

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四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,6=5虑',C=45°.

⑴求c；

（2）求sin2A.

18.（12分）

某地博物馆为了解该地区电视观众对考古知识的兴趣情况，随机抽取了200名观看过《回望

2022——国内国际十大考古新闻》的观众进行调查.下图是根据调查结果绘制的200名观众

收看该节目时间的频率分布直方图.

频率

8暇

54

52

a

0.002—|

0^12030405060708090时间/分钟

将收看该节目时间不低于80分钟的观众称为“考古热爱者”.将上述调査所得到的频率视为

概率.

（D求岀a的值，并估计该地区的观众收看《回望2022——国内国际十大考古新闻》的平均

时间（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法抽取10名观众，记被抽取的10名

观众中的“考古热爱者”人数为X,求X的数学期望；

（3）按是否为“考古热爱者”用分层抽样的方法从这200名观众中抽取10名观众，再从抽取的

10名观众中随机抽取3名,Y表示抽取的观众中是“考古热爱者”的人数，求Y的分布列.

19.（12分）

已知数列｝的前n项和为S”,4=2,S.=%+i+1.

（1）求伝“｝的通项公式；

（2）若求数列仍"的前"项和

【高三数学第3页（共4页）】•23-319C-

20.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,/ABC=60°,PB=PC,O为BC的中

点QP丄AC.

⑴证明:平面PBC丄平面ABCD.

（2）若芯=2靜，且二面角E-AB-D的大小为60°,求四棱锥P-ABCD的体积.

21.（12分）

已知双曲线E：与一/=1（£>0,心>0）的右顶点为A（2,0），直线I过点P（4,0）,当直线I与*

Q-o强

双曲线E有且仅有一个公共点时，点A到直线I的距离为缗.

（D求双曲线E的标准方程；

（2）若直线2与双曲线E交于M,N两点，且工轴上存在一点Q（t,0）,使得NMQP=/NQPg

恒成立，求£.选

2-

羯

22.（12分）

明

已知定义域为R的函数，（工）=沢，+。（1一工）在（0,+8）上的最小值为1.

（1）求实数&的值；

（2）若方程/（X）=t有两个不同的实数根Z1，22，证明:4+4>2.畐

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高三数学参考答案

1.A因为B={-2,2},所以AUB={-2,0,2},所以k(AUB)={-l,l,3〉.

2.B因为z=(l+9i)(8+5i)=-37+77i,所以z在复平面内对应的点位于第二象限.

3.B由题意可得4+咅=6.解得p=4.

6

4.B(2.T-T=)展幵式的通项为7'卄1=&(2彳)6-，(一/=尸=02・《—1)々6-歩，

《JCVJ*

令6一等厂=0,得r=4,所以展开式中的常数项为02"—1尸=60.

5.C若取出的两个数的和为奇数，则取出的两个数为一奇一偶，

所以取出的两个数的和为奇数的概率

6.C设C的右焦点为F',由椭圆的定义可得|PF'|+|PF|=2a=8"PM|+|PF|=|PM|+8-|PF'|48+

IMF'|=9.

7.C设这次“打水漂''石片的弹跳次数为.r,由题意得20X0.85，<6,得0.85,V0.3,得o->log„.s;0.3.因为

log”850.3=］黑=1g^-2=lgl^Flg5-2=1g晶lg；一产7,4,所以.r>7.4,即工=8.

平移2个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到的，作出函数义工)在(0,10］上

的图象,如图所示.由图可知，方程/(外=一十，/⑺=一2在区间(0.10］上根的个数分别为10,6.

故方程3E/(.r)］2+8/(.r)+4=0在区间(0,10］上的实根个数为16.

9.ACD因为8月份当地人均月收入为2000元,9月份当地人均月收入的增长率为0,所以9月份当地人均月

收入为2000元，故A错误；

因为10月份当地人均月收入的增长率为2%,所以10月份当地人均月收入为2000X(1+2%)=2040元，故

B正确；

因为11月份当地人均月收入的增长率为1%,所以11月份当地人均月收入为2040X(l+l%)>2000,故C

错误；

因为12月份当地人均月收入的增长率为-1%,所以12月份当地人均月收入为2040X(l+l%)(l-l%)>

2000,故D错误.

10.AC将y=sin(H+*)图象上所有点的横坐标缩短到原来的》.纵坐标不变,再把得到的图象向右平移专

个单位长度,得到函数y=sin(4_r-拳的图象,A正确.将卡sin(z+*)的图象向右平移f个单位长度，

再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的小.纵坐标不变，得到函数ksin(4才一青)的图象.C

正确.

11.ABD设函数/\了)=了+},易得/(了)在［1,+8)上单调递增.因为■■|■=log22'i'=log278<log23,=

logs3^=logs/27>log.34,logs4=1+logs3>1+1。软爲>l+log」+=log［5>l,所以/(log?3)>f(4)

JJ4乙

1q

>/(log34)>/(log15),即a=log?3+log32>d=3>/>=log34-rlogt3>c=logt5+logs4.

【高三数学•参考答案第1页(共4页)】•23-319C-

12.BCD因为A4〃BG，所以异面直线DC和BG所成的角即为DC和Aj所成的角/ADC因为A&

=AC=CD,.所以△△，（：为等边三角形,即NADC="1•，故A错误.

连接AG（图略），因为V\—■[£＞=■]-ABD,所以45厶/°•h=-^-S/\ABD,GC.

因为s△矽"=2乃,SAABD=2,所以厶=挈，所以点A到平面BCD的距离为挈.故B正确.

当P.Q分别为线段GD,AC的中点时，则PQ为△BGD的中位线，

所以PQ〃BG，所以PQ〃平面ABCD,,故C正确.

过P作PM±CD于M,过M作MQ丄AC于Q,连接PQ（图略）.此时PQ最短.

设DP=z,因为为等腰直角三角形，所以PM='^-x,CM=CD-DM=2-x.

因为△CQM也是等腰直角三角形，所以乂＜2=亲河=专乂（2—理）=&-步.

因为△PMQ为直角三角形，

所以PQ=PAf+MQ=（g.r）z+（五一|•了》=4^一夜r+2=U（工一零）z十4,

cZ4433

当工=挈时,PQ“““=^，所以D正确.

13.3因为a—£＞=（2,-l-；D,所以4+0+1）2=10+1+2,解得;1=3.

14.3（或4,5,6,只需填写一个答案即可）圆心C（—3,1）到直线4H+3y+2m=O的距离4=超专义•，由

也色里＜1,得2＜小＜7,所以整数m的所有可能取值为3,4,5,6.

15.靑等设容器底面的长、宽分别为工一+l.则容器的高为I1一m（H+D=Q一2工.

记容器的体积为丫⑴.则V（J-）=zO+1）（4-2z）=-2/一■^+】工（0＜了＜卷），因为V，（了）=

一6経一』工+[=一:（22-1）（122+7）.所以V（外在（0,春）上单调递增，在（焉，《）上单调递减,所以

乙44乙L.O

V（z）“*x=V（+）=看.此时高为亳

16.竽当球的表面积最大时.该球的球心即半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为（）'.该半正

多面体所在的正四面体的高为乃.点。到正六边形所在平面的距离为呼，到正三角形所在平面的距离为

嗜.故当球的表面积最大时，该球的半径为多表面积为当.

17.解：（1）因为cZ=aZ+〃-2McosC,且a=4,6=5四,C=45°,

所以僕=16+50-2X4X5贬义号=26,...................................................................................................3分

所以c=侬..........................................................................4分

（2）因为且a=4,c=-/2^,

sinAsinC

所以...........................................................6分

c13

因为aV仇所以A为锐角，所以cosA=*夢，..................................8分

19

故sin2A=2sinAcosA=y^........................................................................................................................10分

18.解：（1）由题意可得0.002X10+0.012X10+0.020X10+0.022X10+0.020X10+0.014X10+aX10=1,

解得a=0.010,...............................................................................................................................................2分

【高三数学•参考答案第2页（共4页）】•23-319C-

估计该地区的观众收看《回望2022——国内国际十大考古新闻》的平均时间为彳=0.002X10X25+0.012

X10X35+0.020X10X45+0.022X10X55+0.020X10X65+0.014X10X75+0.010X10X85=57.8.

...................................................................................................................................................................4分

⑵“考古热爱者”对应的频率为0.01X10=9...........................................................................................5分

用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中,随机抽取1名观众，该观众是“考古热爱者”的概率为靑,

则X〜B(103)，所以X的数学期望E(x)=ioxt=l........................................................................7分

⑶根据分层抽样原则知,抽取的10人中，有“考古热爱者"10X4=l人，非“考古热爱者"10X今=9人，

.........................................................................................................................................................8分

则丫所有可能的取值为0,1............................................................................................................................9分

因为p(y=o)=急=存卩(丫=1)=豊=赤...........................................11分

所以y的分布列为

丫01

73

ploTo

12分

19.解：(1)当”=1时,S=az+1,解得例=1....................................................................................................1分

当时.《二，"।丄1'两式相减得a.+i=2a”，所以a”=<22寸—=2"-、.....................4分

ST=%+1,

由=2不满足上式，故a,,={f:「工。...................................................5分

⑵“尸师=小2........................................................................................................................6分

T„=2+2X2n+3X2'+4X22H•2"一"

6

2T„=4+2X2l+3X22+4X23H-----k”•2,1-l............................................................................................

两式相减得一T”=-2+2+21+2?+23H-----i-2"-2-n-2"T=(1-”)•...............................10分

夕

所以T,,=S-1)•2”T+2........................................................................................................................12

分

20.(1)证明：因为PB=PC,O为8c的中点，所以OP丄BC............................................................................1

分

因为OP丄AC,且ACflBC=C，所以OP丄平面ABCD,...........................................................................3分

因为。PU平面PBC,所以平面PBC丄平面ABCD....................................................................................4

(2)解:连接OA.因为△AEC为等边三角形，所以OA丄BC,所以OB,QA,OP两两垂直.以。为原点，

次，示分别为了轴i轴.匸轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系....................5分

设OP=，.则P(0,0,z),B(l,0,0),C(-1.0,0),A(0.y3,0),t'

因为3=2遂，所以E(F《,0,第,...............................6分/头

所以差=(一告,0,专).防=(-1,卮0)........................................................7分、丁奕「落/\

设平面EAB的法向量为m=(z,y,z),--------

Itn•BE=—^-x+^-z=0,zTT,卜

则，33令之=2.得.37,2).................................9分

--Ar~,5

'm•8入=—«r+為y=0,

平面ABD的一个法向量为〃=(0,0,l),

因为二面角E-AB-D的大小为60°,

所以cos60。=尸W=-^=^==-1-,...................................................................................................10分

lmllnl71^

解得£=3,11分

【高三数学•参考答案第3页(共4页)】•23-319C•

0fUZVP-AK*D=SABCDX3=2^/3................................................................................................................12分

21.解：(D因为双曲线E的右顶点为A(2,0),所以。=2................................................................................1分

当直线/与双曲线E有且仅有一个公共点时,直线/平行于双曲线E的一条渐近线...............2分

不妨设直线I的方程为)=?■(2—4),即/忧一”一46=0,

所以点A到直线/的距离〃=^^=2=缗，所以。=百厶...............................3分

Vlr+a-'5

因为,2=<?+/，所以Z>=l,c=75,

故双曲线E的方程为4-y=i....................................................................................................................5分

(2)设直线I的方程为/=my+4,M(ii，券),N(i2,北),

仔=加？+4,

)〃

联立方号程，组f得G/_4V+&N+12=0,...............................................................................7分

则M+yz=-^^,yiyz=^|zp，"2-4#0且4>0............................................................................8分

因为NMQP=NNQP,所以直线/与双曲线E的右支交于M,N两点，

19

所以巾北=；^^<0,即/e[o,4)・...........................................................................................................9分

因为NMQP=NNQP,

所以1Qw+kQV="T■―=----$4_-------$7~：=0,...............................................................10分

JCi-IJ?2~t4-1my2H-4-Z

所以(my>-F4—z)+jr2(tny\+4-Z)=2myiy2+(4—E)(yi+y?)=〃，？1一(4一/)〃?竺.="：；；_:)=0,

所以C=L..........................................