2021年高考数学高考数学压轴题 多选题分类附解析

一、函I数的概念与基本初等国数多选题

|log(l-x)|,x<l

5[x+1-2]=a(a<1)的实根

1.已知/G）则关于x的方程/

-(x-2)2+2,x>1

个数可能为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABC

【分析】

画出了G）的图像，由。<1,可分类讨论。=0,。<。三种情况，令

f=x+：-2,并画出图像，结合两个函数图像以及/[x+g-2]=a,判断出实根个数

构成的集合.

【详解】

画出了G）的图像如图所示，令/=%+--2,画出图像如图所示.

x

由pog（1—*=1,解得：t=-4/=-,由—0—2》+2=1,解得t=1J=3”

15145567

由|logs（lT）|=0,解得：（=0,由_。_2»+2=0。21）,解得[=2+&.

（1）当0<。<1时，/0）=。，有3解，且T<f<0或0</<,或3</<2+JI,结

14

合t=x+—-2的图像可知，-4</<0时没有》与其对应，0</<=或3</<2+3■时

x5

每个/都有2个x与其对应，故此时/+。有4个实数根.

（2）当。=0时，/G）=。，有2解，且t=0或y2+石，f=0有一个x=l与其对

应，=2+g■有两个x与其对应，故此时/1%+；-2]=。有3个实数根.

（3）当a<0时，/（0=«,有1解，且t〉2+JI,结合2的图像可知，每个

X

t有两个X与其对应，故此时/1x+：-2]=。有2个实数根.

综上所述，关于％的方程f[x+^~2）=a的实根个数构成的集合为{234}.

故选：ABC

4

|y=log5(l-x)|3

【点睛】

方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求

函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后

在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结

合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题

2.已知函数/G）=<%2+ax,x<0

2-x-l,x>0'贝()

A./(T)的值域为(—1,+8)

B.当aWO时，f(x)>f(x2+l)

C.当a〉0时，存在非零实数尤0,满足/（—%）+/（%）=。

D.函数8（%）=/（尤）+。可能有三个零点

【答案】BC

【分析】

A.考虑。=2时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B.先根据条件分析/G）的单

调性，再根据X2+1与尤的大小关系进行判断；C.作出

y=X2+ax,y=—X2+ax,y=-％2+ax的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；

D.根据条件先分析出。£（。，1）,再根据有三个零点确定出。满足的不等式，由此判断出

。是否有解，并判断结论是否正确.

【详解】

A.当x>0时，y=2^-1>0-1=-1,当x<0时，y=x2+ax=[x+g；—取

a=2,止匕时y=（x+l）2—1»—1,

所以此时的值域为Ll,+a））,故A错误；

B.当aWO时，y=X2+ax=\x+—|——的对称轴为x=一厂之0,所以/G）在

I2J42

（-8,0〕上单调递减，

又因为/G）在（0,+»）上单调递减，且02+0xa=2-。-1,所以/G）在R上单调递

减，

又因为X2+1—x=[x—；；+:〉0,所以X2+1>X,所以/（X）>/、2+1）,故B正

确；

由图象可知：y=x2+ax,y=-T2+ax关于原点对称，且y=-X2与丁=2一1一1相

交于（鹏），

因为点（%,七）在函数y=-X2+ax的图象上，所以点（一%,一%）在函数y=X2+QX的图

象上,

所以/(X)+y(—x)=y+(—y)=0,

0000

所以当a＞0时，存在“使得了(―、)+/(%)=。，故c正确；

D.由题意知：/G)=一。有三个根，所以/G)不是单调函数，所以。＞0,

又因为y=2-x—le(T,0),所以—a式―1,0),所以ae(0,1),

r、

。2。2

且y=%2+axw--+°0,若方程有三个根，则有一。＞一一,所以〃＞4或。＜0,这

L4?)4

与ae(0,1)矛盾，

所以函数gG)=/G)+a不可能有三个零点，故D错误，

故选：BC.

【点睛】

思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相

互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围；

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

3.对于函数4)定义域中任意的12G/R有如下结论，当/G)=igx时，上

述结论中正确结论的序号是()

A.f(xi+X)=f(X).f(X)B./G-A：)=/G)+/G)

1212

/(x)—/(x)/G)+/G)

C.——1-------^->0]“2

X-X2'

12

【答案】BC

【分析】

由对数的运算性质判断A,B,由对数函数的单调性判断C,由对数的运算结合基本不等式

判断D.

【详解】

对于A,/(x+x)=lg(x+x)*lgx-Igx,即/G+x),故A

1212121212

错误；

对于B,'//(x)=lg(xx)=lgx+lgx=/(%)+/(%),故B正确；

12121212

对于C,/(x)=lgx在定义域中单调递增，••・'”小)〉0,故C正确；

…X-X

12

对于D,X〉0(5力X),利用基本不等式知

/(x)；/G,)_1gX,；lg毛_lg?X,)_坨后

则

+x)、/G,)+/G,)

故D错误;

故选：BC

【点睛】

关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，

解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即lgq;lg3=坨品~,利用对数的运算结

合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属

于中档题.

4.设XGR,用k]表示不超过尤的最大整数，则,=1^]称为高斯函数，也叫取整函数.

令=x-以下结论正确的有()

A./(-1.1)=0.9B.函数/G)为奇函数

c./G+i)=/G)+iD.函数/G)的值域为hi)

【答案】AD

【分析】

根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项.

【详解】

对于A,/(-1.1)=-1,1-[-1.1]=-1.1+2=0.9,故A正确.

对于B,取X=-L1,则[(-1.1)=0.9,而1=0.1,

故/(—i.Dw—/(i.D,所以函数/G)不为奇函数，故B错误.

对于C,则/(x+l)=x+l—k+l]=x+l—LJ—l=/(x),故C错误.

对于D,由C的判断可知，/G)为周期函数，且周期为1,

当OWxWl时，则

当x=0时，则/(0)=0-[。]=0,

当0<x<l时，/(x)=x-[x]=x-0=x,

当x=l时，/(%)=1-[1]=1-1=0,

故当owxwi时，则有。w/G)<i,故函数/G)的值域为b,D,故D正确.

故选：AD.

【点睛】

思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨

论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性.

5.设s,t>0,若满足关于x的方程府7f+廊可=5恰有三个不同的实数解

X<尤<x=s，则下列选项中，一定正确的是（）

123

八64

A.x+x+x>0B.s-t=一

12325

t4144

C.­=一D.s+/=

s525

【答案】CD

【分析】

设/（尤）=』7』+市府，得出函数/G）为偶函数，从而有5+%2+己=0,因此方程

/（x）=s必有一解为0,代入得2«=s，分OVx"和两种情况得出函数/（X）的单

调性和最值，从而求得s，t,可得选项.

【详解】

设/（无）=J尤-0+[x+0,则函数/G）为偶函数，所以X]+匕+弋=。，

所以/G）=s,其中必有一解为0,则/（0）=而+J7[=s.•.2&=s,

①当OVxVf时，fG）=77^7+5/7+7<2^~x^t+x=24i,当且仅当X=0时取等号；

②当龙>/时，/G）=，^7+^/FT7在Q,+8）上递增，

/（%）=s=2xft,

/.yjx-t+\[x+t=2\[t=x一%+2yj（x—t）G+t）+%+♦=4/=4x=5%=x=},

又了（。在。，+8）上递增，：々=2/,^X=s=-t=24t=>t=—,s=-t=—,

34342545

f6454144

厂.—=x—=—,s+%=.

2516525

故选：CD.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最

值，属于较难题.

6.设图表示不超过龙的最大整数，如：t-2]=l,[-1.2]=-2,丁=口又称为取整函

数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按'取整函数"进行计

费，以下关于"取整函数”的描述，正确的是（）

A.VxeR,Lx]=2[%]

B.Vx,y€R,若Ld=[y],则x—y>—l

C.VxeR,L]+x+g=【2x]

D.不等式2h]-[J-3>0的解集为{xIx<0或x之2}

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2/2-1-320的

解后可得不等式-U-3>0的解集，从而可判断D正确与否.

【详解】

对于A,x=-1.5,则[2x]=[-3]=—3,2[x]=2x(—2)=-4,故[2x]w2[x],故A不成

立.

对于B,[xl=[y]=m,则根«x<m+1,mWy<机+1,

故一加一1<一丁《一加，所以x—y〉—1,故B成立.

对于C,设工二加+厂，其中mwZ/Joj),

则[%]1C1

+%+—=2m+/+一,[2x]=2m+[2r],

222

若0少＜；,则r+1=0,=[2x]；

若]<r<1，则=1，b/=l，故[x】+x+-=bx\,故c成立.

对于D,由不等式21x]2—[J—3»0可得[%]4—1或□>|.

故x<0或xN2,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部

分和小数部分的关系，本题属于较难题.

7.设函数/(%)是定义在区间/上的函数，若对区间/中的任意两个实数,都有

12

“X+X、fix)+f(x)

/(—yj)<17则称为区间I上的下凸函数.下列函数中是区间(1，3)上

的下凸函数的是()

A./(x)=-2x+lB.f(x)=-\x-2\

、2x+l

C./(X)=%3+5D./(%)=——-

x-1

【答案】ACD

【分析】

X+Xf(x)+f(X)

根据函数的解析式，求得/(-y~)=122-可判定A正确；根据特殊值法,

可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.

【详解】

X+X

对于A中，任取€(1,3)且％0》,则/(十一)=—(X+X)+1,

1212212

"*)+仆)」(—2x+l-2x+1)=-(x+x)+1,

1

22212

“X+X、f(x)+f(x)+x、f(x)+f(x)

可得122，满足122，所以A正确；

35x+x

对于B中，取％=7,％=:7，则ic2=2,

12222

1g、Jx）+/（x）1〜x+x、FS、n

可得/(])=2，所以————29=。，

此时/(~^^)〉.2，不符合题意，所以B不正确；

对于C中，函数/(%)=X3+5,

由基函数y=x3的图象向上移动5个单位，得到函数/(x)=x3+5的图象，

如图所示，

、、

取C且,由图象可得“(X+X)f(x)+八f(x/)二

e(l,3)xwx/+L=y,yD,

12122c2

x+xf(x)+f(x)

因为所以、:，符合题意，所以是正确的；

DCZZ

3”、2%+1

由函数y=2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到/（%）=~~1的图

XX—1

象，

%+X

如图所示，取了2e（1,3）且广？由图象可得了（亍）口，

/(%)+/(%)

——；——^二，，

2D

x+xf(x)+fix)

因为所以।\J,符合题意，所以是正确的;

DC22

【点睛】

本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函

数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试

题.

8.若/CO满足对任意的实数。，%都有了（。+匕）=/（。）/（6）且/（1）=2,则下列判

断正确的有（）

A./G）是奇函数

B./G）在定义域上单调递增

C.当xe（0,+co）时，函数/G）＞1

f（2）/（4）/（6）/（2016）/（2018）/（2020）_

D，7n）+7（3）+7T5）+"f（2015）+f（2017）+f（2019）

【答案】BCD

【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断.计算出/（I）判断A；先利用/（1）=2＞1证明所有

有理数p,有/（P）＞I,然后用任意无理数口都可以看作是一个有理数列的极限，由极限

的性质得/（q）＞i,这样可判断c,由此再根据单调性定义判断B,根据定义计算

f(2n)

F—n(〃eN),然后求得D中的和，从而判断D.

【详解】

令。=0*=1,则〃D=/(l+0)=/W(0),即2=2/(0),二/(0)=1,/(无)不可

能是奇函数，A错；

对于任意xeR,/(x)w0,若存在使得了(、^二。，则

/(0)=f(XQ+(-xo))=fU)f(-xo)=0,与/(0)=1矛盾，故对于任意xeR,

/(x)w0,

...对于任意xeR,y(x)=f>0,

r/(l)=2〉l,.•.对任意正整数”,

c

1111

—+—++一=2>1,>1,

nnnnn

〃个上

n

同理/(〃)=/(1+1++1)=/(1)/(1)/(1)=2”>1,

m

对任意正有理数P,显然有。=一(根，〃是互质的正整数)，则

n

/(p)=/Q=/Ql>L

对任意正无理数q,可得看作是某个有理数列月,匕,匕，的极限，而/5)〉i,

123i

ieN,/⑷与/(。)的极限，/(q)>l,

i

综上对所有正实数X,有〃x)>l,C正确，…

设X<x,则X-X>0,/(x-x)>l,贝。

122121

/(X)=/(%+(x-X))=/(%)•/(%-%)〉/(%),二/⑴是增函数，B正确;

21211211

由已知/(2〃)=/(2〃-1+1)=/(2〃一1)/(1)=2/(2〃一1),二上空=2,

/(2)/(4)/(6)/(2016)/(2018)/(2020)°.°°…八、…

—+—f—+—f—+…—f+—f+—f=2+2++2=2x1010=2020

fW7T3)7V5)/(2015)712017)/(2019)

1010个2

,D正确.

故选：BCD....

【点睛］'-----------'

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能

力，对学生要求较高，本题属于难题.

4

9.已知函数/（x）=x"+一（。为正整数），则下列判断正确的是（）

Xn

A.函数/（x）始终为奇函数

B.当n为偶数时，函数/（x）的最小值为4

C.当"为奇数时，函数“X）的极小值为4

D.当”=1时，函数y=/（x）的图象关于直线y=2x对称

【答案】BC

【分析】

由已知得/（—x）=JX）+QIF，分"为偶数和n为奇数得出函数/（x）的奇偶性，可判

断A和；当"为偶数时，x»>0,运用基本不等式可判断B；当“为奇数时，令2",则

4

x>0j>0;x<0j<0,构造函数g（t）=f+7，利用其单调性可判断C；当”=1时，取函

数/（x）=x+f上点P（L5）,求出点P关于直线y=2x对称的对称点，代入可判断D.

X

【详解】

因为函数/（X）=取+:（"为正整数），所以/（—X）=（―,

/\44

当”为偶数时，+=+=/（”），函数“X）是偶函数；

当"为奇数时，f（-x）=-xn+—=-f（x）,函数/（X）是奇函数，故A不正确；

~Xn

当〃为偶数时，x«>0,所以/（x）=x〃+±22jx〃•色=4,当且仅当血=士时，

Xn、XnXn

即称=2>0取等号，所以函数/⑴的最小值为4,故B正确；

当"为奇数时，令^=Q，则x>0,t>0;x<0j<0,函数/（X）化为g«）=t+7,

而gQ）=f+±在（_00,_2）,（2,+00）上单调递增，在（-2,0）,（0,2）上单调递递减，

t

44

所以g⑺=♦+—在f=2时，取得极小值g（2）=2+k=4,故c正确；

t2

当”=1时，函数/（x）=x+±上点P（15）,设点P关于直线y=2x对称的对称点为

X

P（X,y）,

000

V-5117

"G--------二元=一

X-12o517191719

则40「，解得彳19,叫，而将。代入

c1+X5+y5555

2x----9---------9-

22

4

f（x）=x+—不满足，

X

所以函数y=/（x）的图象不关于直线y=2x对称，故D不正确,

故选：BC.

【点睛】

本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题

io.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化,

相对统一的和谐美.定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。

的一个“太极函数"则下列有关说法中，正确的是（）

A.对于圆加+产=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数

B.函数/Q）=sinx+1是圆。：尤2+6-6=1的一个太极函数

c.存在圆。，使得/G）=£二是圆。的一个太极函数

ex+1

D.直线（加+1）］一（2根+l）y-1二°所对应的函数一定是圆。：

Q—21+（y—=R2（尺〉0）的太极函数

【答案】BCD

【分析】

利用"太极函数"的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.

【详解】

对于A,如下图所示，若太极函数为偶函数，且=S”“=S=s所以该函

ACEPCOPODDFB

数平分圆。的周长和面积，故A错误；

y

ER,

对于B,/G)=sinx+1也关于圆心(0,1)对称，平分圆。的周长和面积，所以函数

/G)=sinx+1是圆。：x2+(y-l»=1的一个太极函数；故B正确；

/\px-1Qr+1)—22

对于C,/(%)=—=--------=1--，.

e^+1e^+1e^+1

e.1—-1_

f(-x)=^—=^—=不l上ex=一/(x),该函数为奇函数，图象关于原点对称.

x+11+]1+e%

ex

*«

所以存在圆。：％2+山=1使得/(%)=3.是圆。的一个太极函数，如下图所示，故

e%+1

C正确;

对于D,对于直线。"+Dx—(2根+Dy—1=。的方程,

变形为

m(x-2y)+Q-y-l)=0,

令]"Ue，得厂一J直线(他+Dx—(2根+1)丁一1=0经过圆O的圆心，可以平

x-y-l=o[y=i

分圆。周长和面积，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推

理能力，属于较难题.

二、导数及其应用多选题

11.关于函数，Q)=aex—cosx,xe(一兀,兀)下列说法正确的是()

A.当.=1时，/Q)在x=0处的切线方程为丁=工

B.若函数/G)在(一兀，兀)上恰有一个极值，则。=0

C.对任意。＞0,/（x）20恒成立

D.当a=l时，/G）在（一兀，兀）上恰有2个零点

【答案】ABD

【分析】

直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数

法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构

造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,当a=l时，/G）=ex—cosx,尤6（一兀,兀），

所以/（0）=e。—cosO=。，故切点为（o,o）,

则/'G）=ex+sinx,所以/'（O）=eo+sin0=1,故切线斜率为i,

所以/G）在％=0处的切线方程为：y-0=lx（x-0）,即丁=%,故A正确；

对于B,/（x）=ae*-cosx,xe（—兀,兀），则/''（x）=ae*+sinx,

若函数/G）在（一兀，兀）上恰有一个极值，即r（Q=o在（一兀，兀）上恰有一个解,

令/'（x）=0,即aex+sinx=0在（一兀，兀）上恰有一个解，

-sinx

贝"Q二------

ex

即y=a与g（%）=-sinx的图象在（一兀,兀）上恰有一个交点,

ex

g,Q”sin—,石岛,兀),

ex

X=J

令g(x)=。，解得：i~~”2=4,

gf(x)>0,当xe

上单调递减，在上单调递增,

而g（一兀）=o,gG）=o,g（o）=。，

作出gQ）=二^,%€（—兀,兀）的大致图象，如下:

ex

由图可知，当。=0时，y=a与gQ）=二吧的图象在（一兀，兀）上恰有一个交点,

ex

即函数/G）在（一兀，兀）上恰有一个极值，则。=0,故B正确；

对于C,要使得了（x）20恒成立，

即在xe（-71,兀）上，/（x）=aex—cosx20恒成立,

/、cosXCOSX

即在xe（一私兀）上，a>----恒成立，即

ex

max

,(\COSX(\"\-sinx-cosxA：e(-71,71),

设无⑴=----XGV-7l,7l7,则=-------------

713兀

令//(%)=0,解得：X]=—x=—

424

,h1(x)<Q,

3兀）

彳，兀1上单调递增,

所以"(%)=竺2在%£(—兀,兀)上的最大值为"1_2]=2>o，

”(4J公

'e~4

g

所以a2N_时，在xe(一兀,兀)上，/(x)=aex—cosx»0恒成立,

e4

显

即当022时，/G)WO才恒成立,

e4

所以对任意a〉0,/(尤)20不恒成立，故C不正确；

对于D,当a=l时，y(x)=e，—COS龙，%e(-71,71),

令/(x)=0,贝ij/(x)=e*—cosx=。，gpQX=cosx,

作出函数丁=八和丁=。05%的图象，可知在XG(—兀,兀)内，两个图象恰有两个交点,

【点睛】

本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法

的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运

算能力和数形结合思想.

Y1

12.已知函数/0)="，8(工)=1"5+5的图象与直线)/=01分别交于/18两点，则()

A./(x)图像上任一点与曲线g(x)上任一点连线线段的最小值为2+/2

B.m使得曲线g(x)在B处的切线平行于曲线/(x)在A处的切线

C.函数/(x)-g(x)+m不存在零点

D.m使得曲线g(x)在点B处的切线也是曲线/(x)的切线

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/W与g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程

尸(加⑼=g'(2e%：)，可判断出8选项的正误；利用导数判断函数y=/a)-g(x)+机的单

调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y=g(x)相切于点C5,

g(")),求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项

的正误.进而得出结论.

【详解】

在函数〃无)=ex,g(x)=l"[+；上分别取点P(O1),0(2,；),则|PQ|=H,而

2222

Y<2+ln2(注ln2e0.7),故A选项不正确；

2

x11

f(x)=ex,g(x)=In—+—,则/(x)=e%,g(x)=-,

JC

曲线y=于(x)在点A处的切线斜率为f'(lnm)=m,

J1

曲线y=gM在点B处的切线斜率为gQe%2)=----,

m

2e-2

_11

令f'(btm)=g'(2eT)，即加了，即=「则机=或满足方程2机eK=「

2em~2

,■,3m使得曲线y=f(x)在4处的切线平行于曲线y=g(x)在B处的切线，B选项正确;

Y11

构造函数/(%)=f(x)~g(x)+m=ex-ln-+m—,可得F(x)=e%——,

22x

函数尸(x)=ex」在(0,+8)上为增函数，由于/d)="-2<0,F'(1)=e-l>0,

xe

则存在teg,1),使得F(r)=e「；=0,可得r=

当0<x<f时，F'(x)<o；当X>r时，F'(x)>0.

「•F(x)=FQ)=et-In-+m--=et-lnt+m+Ini--

min222

17cl37cC

=-+£+机+历2—>2At-Fm+Ini—=~+Ini+m>0,

t2Vt22

•••函数FM=f(x)-g(x)+m没有零点,C选项正确；

设曲线y=/(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)相切于点c(”,g(”)),

则曲线y=/(X)在点A处的切线方程为y-m=e痴"-历〃?),即y=mx+m(l-Inin),

1n1

同理可得曲线y=g。)在点C处的切线方程为y=-x+ln---,

n22

1

m=­

<n，消去〃得加一(加一1)/几根+Ini+—=0,

八丁、7〃12

m(1—lnm)=/n---

1Y—11

令G(x)=x-(x-1)1nx+ln2+—,则G'(x)=1-------Inx--Inx,

2xx

函数y=G'(x)在(0,+8)上为减函数，G'(1)=l>o,G'(2)=；-山2<0,

则存在se(1,2),使得G'(s)=1-山s=0„且

S3一，

当0<x<s时，G'(x)>0,当x>s时，G'(x)<0.

函数y=G(X)在(2,+oo)上为减函数，

517

G(2)=~>0,G(8)=y-20/n2<0,

?

电零点存定理知，函数3=6(%)在(2,+00)上有零点，

即方程M-(，〃-1》，"九+)2+1=。有解.

2

-3m使得曲线y=/(X)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转

化思想和数形结合思想，属难题.

13.关于函数/(x)=e，+asinx,xe(一兀，+8),下列说法正确的是()

A.当.=1时，/(尤)在(0)(0))处的切线方程为2x—y+l=0；

B.当。=1时，/(x)存在唯一极小值点力,且一1</(々)<°；

C.对任意。>0,/(X)在(-兀,+8)上均存在零点；

D.存在a<0,/(x)在(-兀,+℃)上有且只有一个零点.

【答案】ABD

【分析】

当a=l时，f(x)=ex+sinx,求出尸(x),/'(0),/(0),得到了(无)在(。,/(。))处的切线

的点斜式方程，即可判断选项A；求出尸(了)〉0,。(％)<0的解，确定/(无)单调区间，进

而求出Ax)极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令/(x)=ex+asinx=O,当

1sinxsinx

时，分离参数可得一-=-设g(x)=--,xe(-n,+co),求出g(x)的极值

ae*e*

最值，即可判断选项c,D的真假.

【详解】

A.当a=l时，/(x)=ex+sinx,所以/'⑸=ex+cosx,尸(0)=eo+cosO=2,

/(O)=eo+O=l,所以/(x)在(OJ(O))处的切线方程为2x—y+l=0,故正确；

71

B.因为r'(x)=久—sinx>0,所以尸(x)单调递增，又/'(—,)=2>0,

r(e)=e-*(4.凹=e4一直,"初■¥""aIT

又64=64>e>2,即e?〉。，则

4I4J2

\7

尸（一六）＜0,所以存在X。1拳—9,使得了'（冗0）=0,即&o+cosXo=0,则在

（f,、）上了'G）＜0,在（q,+8）上，f'（x）＞0,所以“X）存在唯一极小值点%,因

为/（x）=ex（）+sinx=sinx-cos%=J2sin[xj,xefj,所以

兀

x一一£\/2sinLo-lG(-1,0),故正确;

。4

[sinx

C.令/（x）=e尤+〃sin%=。，当"W。时，可得一一二----,设

aex

/、sinx

<?(%)=----,xG(-7i,+oo),则cosx-sinx令

exg⑴=-------

n

g'(x)—0,解得％=kTt+—,GZ,左1当］£—+2左兀,7-+2左兀时g'(x)<0,当

4

5兀〜9兀…

xe—+2%兀,—+2%兀时，g'（x）＞0,所以当x=2左兀+一,左wZ,左2—1时,

44」，

g（X）取得极小值，即X=—N~，7~,…，gG）取得极小值，又g[—彳）＜g[彳）＞…，

J1皿

_3兀G）递减，所以gG）^g'3兀

因为在一兀，一彳上，g^-64,所以当

x心。时，g（x）取得极大值，即耳…gG）取得极大值,

又…，所以=所以xej,+oo）时，

一ge4Vg,当」〈—巫£,即时，/（x）在（-兀，+°°）上不存在

2^4a乙64

零点，故C错误；

、_0仃1r\sinx

D•当一；；=兀，即〃——、恁：时，y=一一与——的图象只有一个交点，所以

〃兀a-ex

4a

存在a<0,7（x）在（-兀，+s）上有且只有一个零点，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定

理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.

14.对于函数/'（%）=——，下列说法正确的有（）

X2

A./（无）在％=正处取得极大值3B.7（无）有两个不同的零点