2023年高考数学一轮复习 第8章直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

【知识梳理】

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定平面外一条直线与此平面内的一条直

bUa〃a

定理线平行，那么该直线与此平面平行

allb.

一条直线与一个平面平行，则过这条直alla

性质

线的任一平面与此平面的交线与该直

定理

线平行

面面用F行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直线与另b』

判定

一个平面平行，那么这两个平面aCb=Pa

定理

平行alla

一〃a>

a〃£]

性质如果两个平行平面同时和第三个

aC\y=a\=a〃b

定理平面相交,那么它们的交线平行6G尸）

【常用结论】

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,a邛,则a〃川.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃尸，p//y,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,b_La,则

(4)若a〃/,aUa,则。〃

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(X)

(2)若直线。〃平面a,PJa,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(X)

(3)若直线aU平面明直线6U平面£,a//b,贝la〃6.(X)

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（V）

I教材改编题】

1.下列说法中，与“直线。〃平面a”等价的是（）

A.直线a上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

答案D

解析因为a〃平面a,所以直线a与平面a无交点，因此。和平面a内的任意一条直线都

不相交.

2.已知不重合的直线a,b和平面a,则下列选项正确的是（）

A.若a〃a,bUa,贝!J

B.若a〃a,b//a,贝!J

C.若bUa,则a〃a

D.若a〃b,aUa,则b//a或bUa

答案D

解析若a〃a,bUa,则或异面，A错；

若a〃a,b//a,则a〃。或异面或相交，B错；

若々〃6,bUa,则a〃a或aUa,C错；

若0〃6,aUa,则6〃a或6Ua,D对.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为

答案平行四边形

解析:平面A8FE〃平面DCGH,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面平面DCGH=HG,

：.EF////G.同理EH//FG,

：.四边形EFGH是平行四边形.

・探究核心题型

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。是平行四边形，E,尸分别是BC,尸。的中

点，求证:

（1）尸8〃平面ACP；

(2)所〃平面PAB.

证明(1)如图，连接3。交AC于。，连接。尸，

四边形ABCD是平行四边形，

二。是8。的中点，

又•.•尸是尸。的中点，

：.OF//PB,

又,/OFU平面ACF,PB(t平面ACF,

；.PB〃平面ACF.

⑵取E4的中点G,连接GF,BG.

丁尸是尸。的中点，

是的中位线，

：.GF^~AD,

•.,底面A3CD是平行四边形，E是BC的中点，

：.BE^AD,:.GF统BE,

四边形BEFG是平行四边形，

.,.EF//BG,

又平面丛8,BGU平面

；.E尸〃平面PAB.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥尸一A2C。中，四边形A2C。是平行四边形，M是PC的中点，在

DM上取一点G,过G和必作平面交BD于点H.

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交BD于点0,连接0M,

四边形A2CD是平行四边形，

是AC的中点，

又M是PC的中点，

：.PA//OM,

又OMU平面8M。，朋C平面8MD,

；.以〃平面BMD,

又平面PAHGCy平面BMD=GH,

J.PA//GH.

【教师备选】

如图，四边形ABC。是矩形，P庄平面ABC。，过BC作平面BCFE交AP于点E,交。尸于点

F,求证：四边形2CFE1是梯形.

证明四边形ABCD为矩形，

J.BC//AD.

平面以。，8"平面B4D,

.•.8C〃平面PAD.

'：平面BCFED平面PAD=EF,

BCU平面BCFE,

J.BC//EF.

"JAD^BC,ADrEF,

J.BC^EF,

四边形BCFE是梯形.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(Ma,bUa,a//b=^a//a).

③利用面面平行的性质(a〃£,aUa与。〃£).

④利用面面平行的性质(a〃4a邛,a//a^fa//P).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图所示，已知四边形ABC。是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF

的中点.

(1)求证：AM〃平面8OE；

(2)若平面ADMH平面BDE=l,平面平面BDE=m,试分析/与m的位置关系，并证

明你的结论.

⑴证明如图，记AC与8。的交点为。，连接OE.

因为。，M分别为4C,EF的中点，四边形ACEF是矩形，

所以四边形AOEM是平行四边形，

所以AM〃OE

又因为OEU平面BDE,WC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解l//m,证明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AWU平面ADM,平面ADA/A平面BDE=l,

所以1//AM,

同理，AM〃平面

又AMU平面ABM,平面ABMCI平面

所以加〃AM,所以/〃九

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图所示，在三棱柱ABC—ASG中，过BC的平面与上底面AiBCi交于GH（GH与

81cl不重合）.

⑴求证：BC//GH；

（2）若E,F,G分别是AB,AC,4当的中点，求证：平面£7%〃平面BCHG.

证明⑴：在三棱柱ABC—A向G中，

平面ABC〃平面A131G,

又•平面BCHGC平面ABC=2C,

且平面2CHGC平面ABCi=HG,

：.由面面平行的性质定理得BC//GH.

（2Y：E,尸分别为AB,AC的中点，

：.EF//BC,

；EF4平面BCHG,8CU平面8cHG,

:.EF〃平面BCHG.

又G,E分别为AiBi,AB的中点，AiBi^AB,

：.AiG统EB,

四边形4EBG是平行四边形，：.AiE//GB.

；AiE@平面BCHG,GBU平面8cHG,

；.AiE〃平面BCHG.

又,.,AiECEF=E,AiE,EPU平面E刑i,

平面£7%〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若将条件“E,F,G分别是A3,AC,AS的中点”变为“点。，D{

ATJ

分别是AC,AiG上的点，且平面8Ci。〃平面,试求反:的值.

解如图，连接A山交AS于。，连接。A.

由平面〃平面A81D1,

且平面48cle平面BC[D=BCi,

平面AiBCin平面ABiDi=£）iO,

所以BG/7D1。，则给

ZJlCiOD

-7上由、HDC

又由赵以AC一赤'

^,',-PC.„„AD.

所以而—1，即友一L

【教师备选】

如图，在三棱柱ABC—ASG中，E,F,G分别为SG，A1B1，AB的中点.

(1)求证：平面AC1G〃平面8EF；

(2)若平面4GGCBC=H,求证：”为BC的中点.

证明(1)V£,歹分别为BiCi,4Bi的中点，

：.EF//AiCi,

,.,AiGu平面AiGG,平面AiGG,

...石尸〃平面4。6,

又尸,G分别为AS,AB的中点，

：.AiF^BG,

^ArF//BG,

：.四边形4G8F为平行四边形，

则BF//A1G,

：AiGU平面AC1G,BRJ平面平GG,

.♦.8斤〃平面AiGG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面A1GG〃平面BEF.

(2)：平面ABC〃平面AiBiCi,平面AiGGC平面4道/1=4心,

平面4GG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H,如图，

则A1Q//GH,得GH//AC,

；G为的中点，为BC的中点.

思维升华证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/J_a,I邛na〃昨

(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃人

p//尸＞a〃y).

跟踪训练2如图，四棱柱ABC。-ALBICQI的底面48。是正方形.

(1)证明：平面4出。〃平面C0B1；

⑵若平面4BCDC平面。由1=直线/,证明：BiDr/Zl.

证明⑴由题设知221统。。1,所以四边形88。。是平行四边形，所以

又BDC平面CDiBi,8。1仁平面

所以平面CD\Bi.

因为AQi统BiCi统BC,

所以四边形ABC。是平行四边形，

所以4B〃QiC.

又48。平面CAS,DiCU平面CABi,

所以42〃平面CD®

又因为BDn4B=B,BD,A/U平面ABD,

所以平面A/D〃平面CAB,.

(2)由(1)知平面4出。〃平面。£)向，

又平面ABCDn平面cns=直线I,

平面ABCQC平面43。=直线BD,

所以直线/〃直线BD,

在四棱柱ABCD-AiBiCrDi中,四边形BDDiBi为平行四边形，

所以81£>1〃8。，所以

题型三平行关系的综合应用

例4如图，在正方体ABCO-AiSCQi中，P,Q分别为对角线8。，C5上的点，且济=

BP_2

~PD~y

(1)求证：PQ〃平面A1DQA；

4/?

(2)若R是AB上的点，标的值为多少时，能使平面尸QR〃平面4AD4?请给出证明.

⑴证明连接C尸并延长，与D4的延长线交于M点，如图，连接M。］,因为四边形ABC。

为正方形，

所以BC//AD,

瞅APBCsAPDM,

济i、0_2

m^PM~PD~y

又因为空=空=2

乂因为。口一尸。—3'

crp,CQCP2

m^QDi~PM~3,

所以尸。〃

又MDiU平面AiDJDA,平面4D1D4,

故尸0〃平面AiOiZM.

AR3

解当其的值为三时，能使平面〃平面.如图，

(2)/\DDPQR

证明如下:

BRBP

故丽=而

所以PR//DA.

又D4<=平面AiOQA,PR：平面AiDQA,

所以尸R〃平面4POA,

又尸。〃平面A1O1D4,PQCPR=P,PQ,PRU平面PQR,

所以平面PQR〃平面AiDiDA.

【教师备选】

如图，四边形ABCD与4DEE均为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,所的中点.求

证：

⑴演〃平面DMF；

⑵平面8DE〃平面MNG.

证明(1)如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点。，

连接M0,则A/。为△ABE的中位线，所以BE〃A/Q

又B项平面DMF,MOU平面DMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因为N,G分别为平行四边形AOEF的边A。，EF的中点，所以DE〃GN,

又DEC平面MNG,GNU平面MNG,

所以OE〃平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为的中位线，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,8DC平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又DE,BDU平面BDE,DECBD=D,

所以平面〃平面MNG.

思维升华证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题

的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

跟踪训练3如图所示，四边形EFG”为空间四边形A8C。的一个截面，若截面为平行四边

形.

(1)求证：43〃平面EFGH；

(2)若AB=4,CD=6,求四边形瓦GH周长的取值范围.

⑴证明：四边形EFG8为平行四边形，

：.EF//HG.

：HGU平面AB。，EFC平面ABD,

；.EF〃平面ABD.

又平面ABC,

平面ABOn平面

J.EF//AB,

又；ABC平面EFGH,EFU平面EFGH,

〃平面EFGH.

(2)解设所=尤(0a<4),

由(1)知EF//AB,

.CF=EF=x

•奇一踵一不

与(1)同理可得CD//FG,

.FGBF

,,C5=BC,

,FGBFBC—CF,x

则n可一反——BC~1-41

3

.*.FG=6—^x.

J四边形EFG”的周长

L=2(x+6—|x)=12—x

XV0<x<4,

.*.8<£<12,

故四边形E尸周长的取值范围是(8,12).

课时精练

1.(2022•宁波模拟)下列命题中正确的是()

A.若a,6是两条直线，且。〃6,那么a平行于经过6的任何平面

B.若直线。和平面a满足。〃a,那么。与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,b和平面a满足a〃b,aUa,b@a,则6〃a

答案D

解析A中，。可以在过b的平面内；B中，a与a内的直线也可能异面；C中，两平面可能

相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知6〃a,正确.

2.（2022•呼和浩特模拟）设a,6是两条不同的直线，a,/是两个不同的平面，则a〃//的一

个充分条件是（）

A.存在一条直线a,a//a,a//［）

B.存在一条直线a,aUa,a//P

C.存在两条平行直线a,b,aUa,a//p,b//a

D.存在两条异面直线a,b,aUa,bu/3,a//p,b//a

答案D

解析对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；

对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；

对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；

对于D,如图，在直线b上取点8,过点8和直线a确定一个平面交平面£于a',

因为所以,

又a'Ca,aUa,所以a'//a,

又因为6〃a,bQa'=B,b",a'u£,所以£〃a.

3.（2022•成都模拟）如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，AM=2MAi，BN=2NBi，过MN作一

平面分别交底面△ABC的边8C,AC于点E,F,贝火）

A.MF//EB

B.AiBi//NE

C.四边形MNEF为平行四边形

D.四边形为梯形

答案D

解析由于8,E,F三点共面，FG平面小平面8£凡故MREB为异面直线，

故A错误；

由于Bi,N,E三点共面，BiG平面BiNE,4停平面SNC,故4修，NE为异面直线，故B

错误；

;在平行四边形A41B由中，AM=2MAi,

BN=2NB\,

J.AM//BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

：.MN//AB.

又平面ABC,A8U平面ABC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

J.MN//EF,：.EF//AB,

显然在△ABC中，EFWAB,

:.EF#MN,

，四边形MNE尸为梯形，故C错误，D正确.

4.（2022.杭州模拟）已知P为△ABC所在平面外一点，平面a〃平面4BC,且a交线段B4,

PB,PC于点A',"，C',若B4'：44'=2：3,则SMBC：SAABC等于（）

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析•平面a〃平面ABC,

.♦.A'C//AC,A'B'//AB,B'C//BC,

:.SAA，B，c：S^ABC=（PA'：PA）2,

又PA'：AA'=2：3,

：.PA'：PA=2：5,

5AA'B'C:5AABC=4:25.

5.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线与平面MN。不平行的是（）

答案D

解析A项，由正方体性质可知AB〃N。，NQU平面MN。，ABC平面MN。，AB〃平面MN。,

排除；

B,C项，由正方体性质可知A8〃MQ,MQU平面MNQ,ABC平面MNQ,〃平面MNQ,

排除；

D项，由正方体性质易知，直线A8与平面MN。不平行，满足题意.

6.如图，透明塑料制成的长方体容器4BGP内灌进一些水，固定容器一边于

地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③随着容器倾斜程度的不同，4G始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的

公共边都互相平行），结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFG8的边EF的长保持不

变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为4ci〃AC,ACU平面4BCD,4G

ABCD,所以4G〃平面ABCD,当平面EPGX不平行于平面42co时，4cl不平行

于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图（3）所示时，因为水的体积是不变的，所以棱

柱AEH—8FG的体积V为定值，又V=SAAEH/8,高AB不变，所以心.也不变，即AEAH

为定值，故④正确.

mUa]I//m

7.考查①②两个命题，①l//m,今/〃a；②m//a>=/〃a,它们都缺少同一个条件，

补上这个条件就可以使其构成真命题（其中/,加为直线，a为平面），则此条件为.

答案14a

解析①由线面平行的判定定理知la；②由线面平行的判定定理知/Ga.

8.如图所示，在正四棱柱ABCD-AiBrCiDr中，E,F,G,H分别是棱CQ,Gd，D{D,

OC的中点,N是8C的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件,

就有MN〃平面2山£>。1.（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M在线段FH上（或点M与点”重合）

解析连接HN,FH,FN（图略），

则也〃皿，HN//BD,

平面FHN//平面BrBDDi,只需MGFH,

则MNU平面FHN,；.MN//平面BiBDD「

9.如图，在正方体ABCD—A1B1GA中，E,F,G,"分别是8C,CCi，Gd，AAi的中点,

求证：

⑴BF〃HDi；

（2）EG〃平面BBtDiD；

（3）平面8。尸〃平面BiDiH.

证明如图.

（1）取2山的中点M,

连接HM,MCi,易证四边形HMCid是平行四边形，

：.HDi//MCi.

又MCJ/BF,

：.BF//HDi.

⑵取8。的中点。，连接OE,ODi,

则OE尾DC

又AG^DC,

：.OE^DiG.

：.四边形OEGDi是平行四边形，

.,.EG/ZDiO.

又AOu平面BBiDiD,EG1平面BBQiD,

；.EG〃平面BBiDiD.

(3)由(1)知8/〃HOi,由题意易证

又Bid,HDiU平雷BiDiH,BF,BOu平面且2。1口加1=。1,DBCBF=B,

平面〃平面BiDiH.

10.如图，在四棱锥尸一ABC。中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,H分别为线段A。，PC,

C。的中点，AC与BE交于O点、,G是线段。尸上一点.

(1)求证：AP〃平面BEP；

⑵求证：GH〃平面朋D

证明(1)如图，连接EC,

因为AD〃BC,BC=%D,

所以8C〃AE,BC=AE,

所以四边形A8CE是平行四边形，

所以。为AC的中点.

又因为尸是PC的中点，

所以FO//AP,

因为EOu平面BEF,

APC平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)连接FH,OH,因为尸，“分别是PC,CO的中点，

所以FH//PD,

因为PDu平面PAD,FHQ平面PAD,

所以FH〃平面PAD.

又因为。是BE的中点，》是CD的中点，

所以OH〃AD,

因为AOu平面E4£),0加平面RID,

所以08〃平面PAD.

又FHC0H=H,FH,OHu平面OHF,

所以平面OHF〃平面PAD.

又因为GHu平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

11.（2022•福州检测）如图所示，正方体ABC。一A181GD1中，点E,F,G,P,。分别为棱

AB,G。，DiAi,DiD,GC的中点，则下列叙述中正确的是（）

A.直线8。〃平面EFG

B.直线42〃平面EFG

C.平面APC〃平面EFG

D.平面A/。“平面EFG

答案B

解析过点区F,G的截面如图所示（X,/分别为A4i,BC的中点），连接42,BQ,AP,

PC,易知B。与平面EFG相交于点Q,故A错误；

'：AiB//HE,AiBC平面EFG,HEU平面EFG,

〃平面EFG,故B正确；

APU平面HGU平面AOO14,延长HG与BL必相交，故C错误；

易知平面42。与平面EFG有交点。，故D错误.

12.如图所示，正方体ABC。一A1SGA的棱长为3,M,N分别是棱49，BiG的中点，P

是棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于尸。，。在CD上，则尸Q=.

答案2\[2

解析因为平面ABC。〃平面AiBiCid,平面ABC£）n平面PQVM=P。，

平面AiBiCiDiA平面PQNM=MN,

所以MN〃PQ,

又因为MN〃AC,所以PQ〃AC.

又因为AP=1,

所以9=型=9=2

历以A。CDACy

22

所以PQ=?4C=,><3娘=2巾.

13.在正四棱柱ABCO-AiBiCid中，。为底面A8C。的中心，尸是。。的中点，设。是

CG上的点，则点0满足条件时，有平面。出。〃平面出O.

答案。为CG的中点

解析如图所示，设。为CC1的中点，

因为P为。。1的中点，

所以.连接。2,

因为尸，。分别是。。1,的中点，所以。山〃尸。，

又ABC平面RIO,QBC平面B40,POU平面B40,B4U平面%O,

所以。出〃平面B4。，QB〃平面E40,

又DiBnQB=B,DiB,QBU平面。出。，

所以平面。出。〃平面PAO.

故。为CG的中点时，有平面。18Q〃平面E40.

14.如图，在长方体ABC。一4B1CQ1中，AD=DDi=l,AB=小,E,F,G分别是A8,BC,

CiDi的中点，点P在平面ABCD内，若直线01P〃平面EFG,则线段DiP长度的最小值是

姣案或

口木2

解析如图，连接口4AC,DiC.

因为E,F,G分别为AB,BC,CQi的中点，

所以AC〃EF,

又ERI平面ACA,ACU平面ACDi,

则£F〃平面ACA.

同理可得EG〃平面ACA,又EFCEG