高二期末数学试卷(含复习资料)

2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞02．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）3．已知等差数列{}的前n项和为，且a34567=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．724．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意2，则△的形态为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．46．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）A． B． C． D．7．如图，为测量塔高，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠30°，50米，则塔高（）A．50米 B．25米 C．25米 D．50米8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满意a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．① B．③④ C．①③ D．①②③9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6） B．（﹣3，6） C．（﹣6，6） D．（﹣6，6）10．已知实数x，y满意不等式组，则3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在11．已知函数f（x），g（x），若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥412．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点（1，2，3，4），1|•2（）A．0 B．7 C．14 D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是．14．“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安动身到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立即返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从动身到相遇的天数为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知曲线f（x）3﹣在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（I）求实数a，b的值；（）求曲线（x）在2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．18．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2．（I）求角C的大小；（）若2，，求a与△的面积．19．设p：集合{2﹣（31）2a（1）＜0}，q：集合{＜0}．（I）求集合A；（）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．已知数列{}的前n项和2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{}，{}的通项公式；（）若•，求数列{}的前n项和．21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要缘由．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？22．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．（i）若直线，的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1•k2为定值；（）若O为坐标原点，求△面积的最大值．2016-2017学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题p：“∃x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）A．∀x∈R，x2+2≥0 B．∀x∉R，x2+2＜0 C．∃x∈R，x2+2≥0 D．∀x∈R，x2+2＞0【考点】命题的否定．【分析】依据特称命题的否定是全称命题进行推断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2≥0，故选：A2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）【考点】抛物线的简洁性质．【分析】先依据标准方程求出p值，推断抛物线x2=4y的开口方向与焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2=4y中，2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1），故选C．3．已知等差数列{}的前n项和为，且a34567=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式得a34567=5a5=20，解得a5=4，从而S9=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{}的前n项和为，且a34567=20，∴a34567=5a5=20，解得a5=4，∴S936．故选：B．4．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意2，则△的形态为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】三角形的形态推断．【分析】利用正弦定理以与三角形的内角和，两角和的正弦函数化简2，求出B与C的关系，即可推断三角形的形态．【解答】解：2，由正弦定理可知，2，因为π，所以（）=2，所以2，（B﹣C）=0，B﹣π，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以．三角形是等腰三角形．故选：A．5．已知原命题“若a＞b＞0，则＜”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】依据逆否命题的等价性分别进行推断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则＜成立，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题为若＜，则a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，故真命题的个数为2个，故选：C6．已知函数f（x）=，则f′（x）=（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】利用导数除法的运算公式进行求导即可．【解答】解：f'（x）=；故选D．7．如图，为测量塔高，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又测得∠30°，50米，则塔高（）A．50米 B．25米 C．25米 D．50米【考点】解三角形的实际应用．【分析】设，则，，依据∠30°，50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设，则，，∵∠30°，50米，∴25002+3a2﹣2a，∴50m．故选A．8．已知命题p：可表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：若实数a，b满意a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）A．① B．③④ C．①③ D．①②③【考点】命题的真假推断与应用；双曲线的简洁性质．【分析】先分别判定命题p、命题q的真假，在依据复合命题的真值表判定．【解答】解：对于命题p：若可表示焦点在x轴上的双曲线，则3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；对于命题q：若实数a，b满意a＞b，则a2＞b2或a22或a2＜b2，命题q为假命题；①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）A．（﹣3，6） B．（﹣3，6） C．（﹣6，6） D．（﹣6，6）【考点】抛物线的简洁性质．【分析】利用抛物线的简洁性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：3，C上一点P到焦点F的距离为9，设P（x，y）可得﹣3=9，解得﹣6，则=9，可得．故选：D．10．已知实数x，y满意不等式组，则3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在【考点】简洁线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数3x﹣y变形为3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C11．已知函数f（x），g（x），若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4【考点】函数的最值与其几何意义．【分析】若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论．【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）递增，f（1）=1是函数的最小值，当x2∈[1，4]时，g（x），在[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，∴g（2）=4是函数的最小值，若∀x1∈[1，3]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，即1≥4，解得：a∈[3，+∞），故选：C．12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2，离心率为，抛物线y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点（1，2，3，4），1|•2（）A．0 B．7 C．14 D．21【考点】双曲线的简洁性质．【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出，利用面积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，4，3，，双曲线的方程为=1，与圆x22=16，可得，∴1|•214，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线﹣=1的渐近线方程是±x．【考点】双曲线的简洁性质．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即±，故答案为±．14．“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．【考点】命题的真假推断与应用．【分析】依据全称命题的含义：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2）【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题⇔x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立⇔a≤（x2），又∵x∈[1，2]时（x2）1，∴a≤1，则实数a的最大值为1故答案为：1．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简洁性质．【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，可得：，，解得．故答案为：．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安动身到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立即返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从动身到相遇的天数为9．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}，其中a1=103，13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{}，其中b1=97，﹣0.5；设第m天相逢，则a12+…12+…=103×13+97×（﹣0.5）=200×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取9．故答案为：9三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知曲线f（x）3﹣在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．（I）求实数a，b的值；（）求曲线（x）在2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．【考点】利用导数探讨曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出原函数的导函数，由曲线在1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在1处的函数值相等求得b；（）求出曲线（x）在2处的切线方程，即可求曲线（x）在2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．【解答】解：（I）由f（x）3﹣，得y′=3x2﹣a，由题意可知y′1=3﹣1，即2．又当1时，0，∴13﹣1×20，即1．（）f（x）3﹣21，f′（x）=3x2﹣2，2时，f（2）=5，f′（2）=10，∴曲线（x）在2处的切线方程为y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，与两坐标轴的交点为（1.5，0），（0，﹣15），∴切线与两坐标轴围成的三角形面积．18．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2．（I）求角C的大小；（）若2，，求a与△的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2，结合＞0，可得，由于C∈（0，C），可求C的值．（）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）∵2，∴由正弦定理可得：2，可得：2（），∵＞0，∵C∈（0，C），∴…6分（）∵2，，，∴由余弦定理可得：72+4﹣2×，整理可得：a2﹣2a﹣3=0，∴解得：3或﹣1（舍去），∴△的面积…12分19．设p：集合{2﹣（31）2a（1）＜0}，q：集合{＜0}．（I）求集合A；（）当a＜1时，￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断．【分析】（Ⅰ）依据一元二次不等式的解法，探讨a的取值范围进行求解即可．（Ⅱ）依据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（31）2a（1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（1）]＜0，①若2a＜1，即a＜1时，2a＜x＜1，此时（2a，1），②若21，即1时，不等式无解，此时∅，③若2a＞1，即a＞1时，1＜x＜2a，此时（1，2a）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，（2a，1），{＜0}={﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），若￢q是￢p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，即A⊊B，则，即，则﹣≤a≤2，∵a＜1，∴﹣≤a＜1，则实数a的取值范围是[﹣，1）．20．已知数列{}的前n项和2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．（I）求数列{}，{}的通项公式；（）若•，求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（I）数列{}的前n项和2﹣n，当1时，a11；当n≥2时，﹣﹣1．可得．利用等比数列的通项公式可得．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{}的前n项和2﹣n，当1时，a11=0；当n≥2时，﹣﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．当1时上式也成立，∴2n﹣2．设正项等比数列{}的公比为q，则，b2，b32，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×62，得3或﹣4（舍去），∴3n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知•（2n﹣2）3n﹣1=2（n﹣1）3n﹣1，∴数列{}的前n项和2×0×30+2×1×31+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣2+2（n﹣1）3n﹣1，…①32×0×31+2×1×32+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣1，+2（n﹣1）3n，…②①﹣②得：﹣22×31+2×32+…+2×3n﹣1﹣2（n﹣1）3n=2×=3n﹣3﹣2（n﹣1）3n=（3﹣2n）3n﹣321．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要缘由．某科研单位进行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工产品价值为c（x）万元，其中c（x）=．设该单位的年利润为f（x）（万元）．（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；（）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）利用f（x）（x）﹣3000，即可得出结论；（）分段探讨，0＜x≤50时，f（x）（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，32时，f（x）（32）=92；x＞50时，f（x）（x）﹣3000=﹣﹣2640=640﹣（2），利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（I）0＜x≤50时，