圆心角、弧、弦的关系-北京习题集-教师版

圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）一.选择题（共5小题）1.（2017秋•北京期末）如图，圆心角ZAO5=25。，将AB旋转废得到CD,则/COD等于（B.25。+废D.50。+废B.25。+废D.50。+废2.（2017秋•海淀区校级期中）如图,在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、。三点,那么AC所对的圆心角的大小是（3.（2016秋•大兴区期末）如图，A。是。。上三个点，ZAOB3.（2016秋•大兴区期末）如图，A。是。。上三个点，ZAOB=2ZBOC,则下列说法中正确的是（A.ZOBA=ZOCAB.四边形。钻。内接于。。C.AB=2BCD.C.AB=2BCD.ZOBA+ZBOC=90°（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15。的圆心角的扇形部分大约需A.AB=ACB.AB=2AC C.AB<2AC D.AB>2AC二.填空题（共6小题）（2019秋•西城区校级期中）已知弦池的长等于。。的半径，弦M所对的圆周角是一度.（2017秋•西城区期末）如图，。0的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120。，那么圆心O到弦AB的距（2008秋•怀柔区期末）如图，AC是OO的直径，AB=AC,AB交。0于E,BC交。0于D,AA=44。，则DE（2009秋•海淀区期中）一条弦AB将。0分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB所对的圆心角的度数是度.（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB是OO的直径，BC，CD,DA是。0的弦，且BC=CD=DA，则/BCD=.（2016秋•西城区期中）如图，CD是。0的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为.

三.解答题（共4小题）（2019秋•海淀区期末）如图，在中，AC=CB,CD，于点。，于点石.(1)求证：CD=CE；（2）若NA05=120。，04=2,求四边形。0£。的面积.（2019秋•西城区校级期中）AABC的三个顶点在。。上，ADLBC,。为垂足，石是2。的中点，求证：Z1=Z2（提示：可以延长40交。。于尸，连接班0.（2019秋•西城区校级期中）如图，以口ABCD的顶点A为圆心，筋为半径作。A,分别交5。，4）于石，尸两点，交区4的延长线于G,判断弧历和弧尸G是否相等，并说明理由.（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是OO的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.即 即 图3 图4证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG.mM是ABC的中点，...MA=MC请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知AABC内接于OO，BC>AB>AC，D是ACB的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为—.（2）如图4,已知等腰AABC内接于OO,AB=AC,D为AB上一点，连接DB,ZACD=45。,AE1CD于点E,ABDC的周长为4<2+2,BC=2，请求出AC的长.圆心角、弧、弦的关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析.选择题（共5小题）（2017秋•北京期末）如图，圆心角ZAO5=25。，将AB旋转废得到CD,则/COD等于（ ）B.25。+废B.25。+废D.50。+废【分析】根据旋转的性质得物=。，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答.【解答】解：•「将旋转废得到C。，AB=CD,:.ZCOD=ZAOB=25°,故选：A.【点评】本题考查的是旋转变换的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（2017秋•海淀区校级期中）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A、6、。三点，那么C.80°

弦的垂直平分线必过圆心,D.90°C.80°

弦的垂直平分线必过圆心,D.90°分别作的垂直平分线即可得到【分析】根据垂径定理的推论:圆心，进而解答即可.【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线,【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线,它们都经过。，所以点。为这条圆弧所在圆的圆心.连接AQ,CQ,在AAPQ与ACQN中AP=QN<ZAPQ=ZQNC,PQ=CNAAPQ=ACQN（SAS）,/.ZAQP=ZCQN,APAQ=ZCQN•「ZAQP+ZPAQ=90°,:.ZAQP+ZCQN=90°,/.ZAQC=90°,即AC所对的圆心角的大小是9。。，故选：D.【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心.这也常用来确定圆心的方法.（2016秋•大兴区期末）如图，A,B,。是。。上三个点，ZAOB=2ZBOC,则下列说法中正确的是（ ）A./OBA=ZOCA B.四边形OABC内接于。0C.AB=2BC D.ZOBA+ZBOC=90°【分析】过O作OD1AB于D交OO于E,由垂径定理得到AE=BE,于是得到AE=BE=BC，推出AE=BE=BC,根据三角形的三边关系得到2BC〉AB,故C错误；根据三角形内角和得到1 1 3ZOBA=-（180。一ZAOB）=90。一ZBOC,ZOCA=-（180。一ZAOC）=90°--ZBOC,推出ZOBA丰ZOCA,故A错2 2 2误；由点A,B,C在OO上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于OO，故B错误；根据余角的性质得到ZOBA+ZBOC=90°,故D正确；【解答】解：过O作OD1AB于D交OO于E,AE=BE,AE=BE,ZAOE=/BOE=-ZAOB,

2\-AAOB=2ZB0C,:./AOE=/BOE=ZBOC,AE=BE=BC,AE=BE=BC,:.2BC>AB，故C错误;O0A=OB=OC,:ZOBA=2(180。—ZAOB)=90。—ZBOC,1 …3ZOCA=-(180O-ZAOC)=90。——/BOC,2 2:ZOBA丰ZOCA，故A错误；.点A,B,C在OO上，而点O在圆心,:四边形OABC不内接于OO，故B错误;ZBOE=ZBOC=1ZAOB,2.•ZBOE+ZOBA=90。，:.ZOBA+ZBOC=90。，故D正确;故选：D故选：D.【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键.4.（2016•海淀区校级模拟）如图，用不同颜色的马赛克覆盖一个圆形的台面，估计15。的圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片.已知每箱装有125片马赛克片，那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面（ ）6-7箱7-6-7箱7-8箱8-9箱【分析】设需要％箱马赛克片，由题意:360x34=125%，解方程即可.【解答】解：设需要％箱马赛克片.由题意:36015/.x由题意:36015/.x~6.5.x34=125%,••・需要马赛克片6-7箱.故选：B.【点评】本题考查圆心角、弧弦之间的关系，一元一次方程等知识，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题,属于中考常考题型.（2015•通州区二模）如图，中，如果AB=2AC,那么（ ）A.AB=ACB.AB=2AC C.AB<2AC D.AB>2AC【分析】取弧池的中点。，连接AD,DB,由已知条件可知AD=5。=AC,在AADB中由三角形的三边关系可知4）+&）〉筋，即问题得解.解：取弧4?的中点。，连接AD,DB,aAB=2AC,AD=BD=AC,在AADB中由三角形的三边关系可知AD+BD>AB,:.2AC>AB,即AB<2AC,故选：C.【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题.二.填空题（共6小题）（2019秋•西城区校级期中）已知弦AB的长等于。。的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度.【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60。，所以弦所对的圆周角为30。或150。.第8页（共16页）

【解答】解：如图示，AB=OA=OB:.ZAOB=60:.ZACB=30:.ZADB=150°.故弦池所对的圆周角是30或150度.故答案为：30或150.【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系.（2017秋•西城区期末）如图，。。的半径等于4,如果弦池所对的圆心角等于120。，那么圆心。到弦池的距【分析】由圆心角4405=120。，可得AA05是等腰三角形，又由OCLAB,再利用含30。角的直角三角形的性质,可求得OC的长.【解答】解：如图，；圆心角N495=120。,OA=OB,二.AOAB是等腰三角形•••OC1AB.../ACO=90。，ZA=30.二OC=oAA=2.2故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30。角的直角三角形的性质.注意根据题意作出图形是关键.8.（2008秋•怀柔区期末）如图，AC是OO的直径，AB=AC，AB交。0于E，BC交。0于D，/A=44。，则DE

【分析】通过ZA的度数，可求出底角^ABC.又通过ZAEC=90。，求出ZECB.而DE的度数是ZECB的两倍.【解答】解：:AB=AC,ZA=44。:.ZABC=（180。—44。）+2=68。又•.•AC是。。的直径:.ZAEC=90。:.ZECD=90。一68。=22。DE的度数为44。.故填44。.【点评】掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，弧的度数等于它所对的圆周角度数的两倍.（2009秋•海淀区期中）一条弦AB将。0分成两条弧，其中一条弧是另一条弧的4倍，则弦AB所对的圆心角的度数是72度.【分析】根据题意知，弦AB将圆周分成了5等分，而弦AB所对的圆心角占了其中的1,由此可求出此圆心角的度5数.【解答】解：由于弦AB将。0分成了1:4两段弧，.AB所对的圆心角ZAOB=1x360。=72。.5【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系.（2007•海淀区校级自主招生）如图，AB是OO的直径，BC,CD,DA是OO的弦，且BC=CD=DA，则ZBCD=120。.【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得ZBCD的度数.【解答】解：连接OC、OD,BBC=CD=DA,

AD=DC=CB,.•.弦BC、CD、QA三等分半圆，弦BC和CO和DA对的圆心角均为60°,1,:./BCD=2（180。+60°）=120。.故答案是：120。.【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°.（2016秋•西城区期中）如图，CD是。0的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为—2v2_.【分析】本题是要在CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A，是A关于CD的对称点，连接4B，与CD的交点即为点P.此时PA+PB=AB是最小值，可证△GA'B是等腰直角三角形，从而得出结果.【解答】解：作点A关于CD的对称点A'连接4B，交CD于点P，则PA+PB最小，连接OA,AAL■.点A与A，关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，:•乙AOD=ZAOD=60°,PA=PA,■.•点B是弧AD的中点，:'乙BOD=30°,.:/AOB=/AOD+/BOD=90°,又・J04=OA'=2,.:AB=2,2.•:PA+PB=PA'+PB=AB=2v2.故答案为：2<2.

【点评】此题主要考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，正确确定月点的位置是解题的关键,确定点户的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要.三.解答题（共4小题）12.（2019秋•海淀区期末）如图，在中，AC=CB,CD，于点。，于点石.（1）求证：CD=CE；（2）若NA05=120。，04=2,求四边形。0£。的面积.C【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到ZAOC=ZBOC，根据角平分线的性质定理证明结论;（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案.【解答（1）证明：连接OC,AC=BC,:.ZAOC=ZBOC，又CD1OA,CE1OB,CD=CE；（2）解：-,-ZAOB=120°,:.ZAOC=ZBOC=60°,/CDO=90°,:.ZOCD=30°,OD=-OC=1,2CD=OCC2-OD2=J22—12=33,TOC\o"1-5"\h\z3/.AOCD的面积=-xODxCD=一，2同理可得，AOCE的面积=1xODxCD=立，2 2/四边形DOEC的面积=——+——=--'3.2 2【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（2019秋•西城区校级期中）AABC的三个顶点在。。上，ADLBC,。为垂足，石是2。的中点，求证：Z1=Z2（提示：可以延长40交。。于尸，连接班0.【分析】连接0£,利用垂径定理可得5。，再利用可得OE//AD,然后即可证明.【解答】证明：连接0£,•.•石是的中点，.•・弧庞=弧£。，OELBC,ADLBC,OE//AD,:.ZOEA=ZEAD,•「OE=OA,:.ZOAE=ZOEA,【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线.（2019秋•西城区校级期中）如图，以口ABCD的顶点A为圆心，筋为半径作分别交5。，4）于石，尸两点，交区4的延长线于G,判断弧历和弧尸G是否相等，并说明理由.【分析】要证明历=依，则要证明ND4E=NG4D,由筋=AE,得出乙吃由平行四边形的性质得出ZB=ZGAF,ZFAE=ZAEB,ZGAF=ZFAE,由圆心角、弧、弦的关系定理得出£尸二尸G.【解答】解：EF=FG,理由：连接AE.：.AB=AE,:.ZB=ZAEB,v四边形ABCD是平行四边形，/.AD//BC,:.ZB=ZGAF,ZFAE=ZAEB,:.ZGAF=ZFAE,EF=FG.【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是求出/DAE=ZGAD，题目比较典型，难度不大.（2018秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是。0的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA,MB,MC和MG.・.・M是ABC的中点,...MA=MC请按照上面的证明思路， 写出该证明的剩余部分；实践应用：(1)如图3，已知AABC内接于。0,BC>AB>AC，D是