广东省珠海市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省珠海市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则（）A.9 B.3 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得.故选：C.2.已知是第四象限角，且，则（）A. B. C. D.7〖答案〗A〖解析〗由得：，即，而是第四象限角，则有，，所以.故选：A.3.已知平面向量，，若，则（）A. B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，即，所以.故选：A.4.已知，且，则向量的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，所以，所以，又因为，所以.故选：A.5.下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗A：因为，则，由，得，所以单调递增，故正确；B：，则，由，得，所以不单调，故错误；C：，其图象如图所示：由图象知：，由，得，因为不单调，故错误；D：，其图象如图所示：由图象知：，由，得，因为不单调，故错误.故选：A.6.已知，，是一次函数图像上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则，由，，得，则，当时，取得最小值.故选：C.7.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，结合即可求得，由余弦定理可得，又∵，∴．故选：D.8.如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（）A.4 B.5 C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，，，其中，.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列三角式中，值为1的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A选项，，故正确；B选项，，故正确；C选项，，故正确；D选项，，故错误.故选：ABC.10.下列说法中错误的为（）A.已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是B.已知，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若与平行，则在方向上的投影数量为D.若非零，满足，则与的夹角是60°〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，因为与的夹角为锐角，所以，若与同向，则（），所以，解得，所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为，故A错误；对于B，因为，所以向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误；对于D，因为，两边平方得，，，，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故D错误.故选：ACD.11.的内角的对边分别为、，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若三角形为斜三角形，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，可得，由正弦定理得，所以A正确；对于B中，因为，由正弦定理，可得，因为且，所以，所以有两解，即有两解，所以B正确；对于C中，若为钝角三角形，当为钝角时，由余弦定理可得，所以C错误；对于D中，因为，可得，又因为，可得，所以，所以D正确.故选：ABD.12.已知函数，（）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称D.的图象关于点成中心对称〖答案〗AC〖解析〗根据函数的图象：，解得，根据图象的最低点可得：，当时，，由于，所以，则，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到；纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到，对于A：函数的最小正周期为，故A正确；对于B，由于，所以，根据正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故B错误；对于C：令（），解得（），即为的对称轴，当，，故C选项正确；对于D：令（），解得（），即为的对称中心为（），令，解得，故不是其对称中心，D选项错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量，则在方向上的投影向量坐标为________.〖答案〗〖解析〗由已知得在方向上的投影向量坐标为：.故〖答案〗为：.14.函数的最大值为________.〖答案〗〖解析〗由，其中，当时，即，函数取得最大值.故〖答案〗：.15.已知，，且，记与的夹角为θ，则__________．〖答案〗〖解析〗依题意，，，，，由于，所以.故〖答案〗为：.16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，则面积的最大值为__________．〖答案〗〖解析〗由题意可知，且，则，当且仅当即时，，且，符合题意.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因为在菱形中，，故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，，所以，故①式，故.18.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为.（1）求的值；（2）求的值．解：由条件得cosα＝，cosβ＝，∵α，β为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，因此tanα＝7，tanβ＝，（1）tan(α＋β)＝＝＝－3.（2）∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.19.已知向量，.设函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最小值及取到最小值时的值.解：（1）由向量，，可得，所以函数的最小正周期为.（2）由（1）知，当时，可得，所以当时，即，函数的最小值为.20.在中，内角、、所对边分别是、、，且.（1）求角；（2）若，，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为所以，.（2）因为，，由余弦定理得：，即，因为，所以，所以，所以.21.如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．（1）求小岛与小岛之间的距离；（2）记为，为，求的值．解：（1）由题意可知：，，因为角为钝角，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为2．（2）在中，由正弦定理，因为，所以，则，因为，所以为锐角，所以，因为，，所以．22.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若