湖南省部分学校2024届高三下学期一起考大联考模拟（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校2024届高三下学期一起考大联考模拟（二）数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，从而是的子集.故选：C.2.设为复数z的共轭复数，若，，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设，则∴∴∴z在复平面内所对应的点在第一象限.故选：A.3.已知平面向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设与的夹角为，则在上的投影向量为.故选：B.4.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，则，由题可知，∴，侧面积为，故选：C.5.已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数的最小正周期为，所以，解得或，当时，由，可得，显然在上单调递增，则在上单调递增，不符合题意，当时，由，可得，显然在上单调递减，则在上单调递减，符合题意，所以，令，解得，即的零点为，当时为.故选：D6.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（）A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗设,，由，根据抛物线定义可得，故，，过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为，明显，所以故选：D7.有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，满足的数组有：，共4个，所以，满足数组有：，，共18个，所以，满足的数组有：，，，，共24个，所以，满足的数组有：，，，，，，共18个，所以，所以X的数学期望.故选：D.8.已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗根据题意，函数的周期为8，图象关于点对称，又，所以函数的图象也关于点对称，由，，，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，在同一个坐标系中，作出函数与图象，如图，由图可得，函数与在上有两个交点，因为函数与图象均关于点对称，所以函数与在上有两个交点，又，所以函数在内的零点个数为5.故选：C.二、选择题9.设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果内有两条相交直线与平行，那么.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由线面垂直的性质知A正确对于B，由面面平行的性质知B正确对于C，若，，，可得或，而位置关系不确定，故C错误对于D，由面面平行的判定定理知D正确，故选：ABD10.已知，双曲线C：，则（）A.可能是第一象限角 B.可能是第四象限角C.点可能在C上 D.点可能在C上〖答案〗BD〖解析〗根据题意，可得，即，即且，所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；当在第三象限时，有，，，双曲线方程为，当即，时，方程为，所以点在双曲线上，故D正确；当在第四象限时，有，，，双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误.故选：BD.11.已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AD〖解析〗选项A：因为为等差数列，所以，得，因函数是上的奇函数，，所以是的必要条件，故A正确；选项B：若，则时满足，此时，故不是的必要条件，故B错误；选项C：若，满足，但，故不是的必要条件，故C错误；选项D：由且为等差数列可得，因函数是上的奇函数，所以，故，故是的必要条件，故D正确；故选：AD.三、填空题12.的展开式中的系数是___________.〖答案〗40〖解析〗因为，所以的展开式中的系数是40.故〖答案〗为：40.13.设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________.〖答案〗〖解析〗设函数在点处的切线为，函数在点处的切线为，因为，则，因为，所以，所以，而，所以，依题意可知，对，总，使得，所以，所以且，解得所以实数的最小值为，故〖答案〗为：14.过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是______.〖答案〗〖解析〗设点，则以为直径的圆的方程为，与圆O的方程相减得，即是过切点的直线方程，，令，得，所以，令，得，所以，所以，所以点到直线的距离，所以，因为点在椭圆C：（）上，所以，即，等号成立当且仅当，所以，等号成立当且仅当，综上所述，面积的最小值是.故〖答案〗：.四、解答题15.在中，角的对边分别是，且．（1）求；（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．解：（1）在中，，由正弦定理可化简得，又，所以，化简得到，又在中，，所以，得到，即，所以，即，又，所以，得，即（2）由（1）知，又的角平分线交于点，且，所以，得到整理得到①，又在中，，得到②，联立①②解得所以的周长为.16.如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．（1）求该圆台的体积；（2）点E在圆上，且，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为，，所以四边形为平行四边形，又，在中，，，所以，则，所以圆台的体积为；（2）在圆上过点作的垂线作为轴，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则则，设，则，由点E在圆上和，可得，得，由于圆锥的对称性，不妨取，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则.17.已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.解：（1）设，因为，所以，平方化简，得；（2）直线与双曲线：的方程联立，得，设，所以有且，所以，，因为，所以，化简，得，把，代入，得，化简，得，因为且，所以有且，解得，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以点A到直线距离的最大值为，最小值为，所以点A到直线距离的取值范围为，18.将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．（1）求样本（，2…，15）的相关系数；（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．（ⅰ）求（）的表达式；（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．附：相关系数．解：（1）由，，，得相关系数.（2）（ⅰ）依题意，，又，则，当时，把换成，则，两式相减，得，即，又，于对任意都成立，从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，所以；

（ⅱ）由定义知，，而，显然，于是，两式相减得，因此，当足够大时，，，则，可认为．所以该植物寿命期望的值是10.19.超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（JosephLiouville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：已知函数（）只有一个正零点．（1）求数列的通项公式；（2）（ⅰ）构造整系数方程，证明：若，则为有理数当且仅当．（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．（1）解：若只有一个正零点，可得令，，令，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，可得在处取得最大值，且最大值为，而当时，，当时，，由题意得，当最大时，符合题意，故，即.（2）（ⅰ）证明：若，则为有理数；若正整数，假设为有理数，则，则方程的根中有有理数，又在方程中，发现是它的根，而