江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高一下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）1.化简等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.在中，是的中点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故选：D.3.已知平面向量，且，则（）A. B. C.1 D.3〖答案〗A〖解析〗由题意知，所以，解得，故A正确.故选：A.4.已知是非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足；必要性：当时，即，解得或，故必要性不满足；所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.故选：A.5.若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A B.2C. D.〖答案〗D〖解析〗A选项，，所以共线，不能作为基底；B选项，，所以共线，不能作为基底；C选项，，所以共线，不能作为基底；D选项，易知不共线，可以作为基底.故选：D.6.设，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，所以原式.故选：B.7.如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以，所以，所以，.故选：D.8.若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知在区间上有且仅有两个零点，当时，，则，解得，所以实数的最小值为，故C正确.故选：C.二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）9.对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B结论正确，A结论错误；因为，，且，所以，即C结论正确；因为，，所以D结论正确.故选：BCD.10.在中，下列命题正确的是（）A.B.若，则为等腰三角形C.D.若，则为锐角三角形〖答案〗BC〖解析〗对于A，由向量的线性运算法则，可得，所以A错误；对于B，由，得，即，所以为等腰三角形，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，在中，，则，可得A为锐角，但不能确定其它角是否是锐角，所以D错误．故选：BC.11.已知向量，满足，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为，所以，即，整理可得，再由，且，可得，所以，，A选项正确，D选项错误；，即向量，的夹角，故向量，共线且方向相反，所以，B选项正确；，C选项正确.故选：ABC.三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把〖答案〗写在答题纸的指定位置上．）12.若与反向，且，则＝________．〖答案〗2〖解析〗依题意，.故〖答案〗为：.13.已知为一个单位向量，与的夹角是，若在上的投影向量为，则________．〖答案〗4〖解析〗因为为一个单位向量，与的夹角是，所以，，又在上的投影向量为，即，所以，即，所以，则.故〖答案〗为：.14.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，存在这样的点，使得，则的长度等于________．〖答案〗或〖解析〗如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，则，设，，，，，，又，，由，解得，，由题得，①当点在上时，设，，；②当点在上时，设，∴，，舍去；③当点在上时，设，∴，，舍去；④当点在上时，设，∴，，综上，存在，或者，.故〖答案〗为：或.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（1）已知向量与相等，其中，，求的值．（2）已知点，，且，求点的坐标.解：（1）因为，，所以，又，所以，解得.（2）因为，，所以，设，则，又，所以，所以，解得，所以.16.已知向量，，当k为何值时：（1）？（2）与的夹角是钝角？解：（1）因为，所以，所以.（2）若与的夹角是钝角，则，且，所以，且，所以取值范围为且.17.如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点，如果点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标.解：（1）因为锐角，的终边分别与单位圆交于，两点，且点的纵坐标为，点的横坐标为，所以，，则，，所以.（2）依题意可知所对应的角为，所以，，所以点的坐标为.18.已知向量和，则，，.求：（1）的值；（2）的值；（3）与的夹角θ的余弦值．解：（1）∵，，，∴.（2）∵，