山东省临沂市2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省临沂市2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）A.7 B.9 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，故选：C.2.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据正态分布的概率密度函数的对称性可知，则，故选:B.3.4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件有种,取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”只有1种，故取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率.故选：C4.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得：，，解得：，，.故选：B.5.函数的导函数在区间上的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗∵，∴，∴，∴为奇函数，从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B，又∵，排除D，从而〖答案〗为C.故选：C.6.的展开式中，的系数为（）A.360 B.180 C.90 D.〖答案〗A〖解析〗的系数为.故选：A.7.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（）A.32 B.40 C.48 D.56〖答案〗C〖解析〗法一：分两种情况，①分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.②分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法.∴共有种分配方法.法二：先安排第一个社区，若没有女志愿者，则有种；若有1名女志愿者，则有种；若有2名女志愿者，则有种，∴不同的分配方法种数为，故选：C.8.已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨令，则，即在单调递增，因为，则在上恒成立，即，在上恒成立，则，又，∴．故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知随机变量的分布列为，k＝1，2，3，4，5．若Y＝2X－3，下列说法正确的是（）A.随机变量X的均值为3 B.随机变量Y的均值为3C.随机变量X的方差为2 D.随机变量Y的方差为9〖答案〗ABC〖解析〗由题可知：，故均值，A正确，B正确,C正确，D错误故选：ABC10.若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（

）A.B.各项二项式系数和为128C.二项式系数最大项有2项D.第4项与第5项系数相等且最大〖答案〗BC〖解析〗由题意，的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为，所以B正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；由展开式的第4项为，第5项为，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.故选：BC.11.一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为C.从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为〖答案〗ABD〖解析〗对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到白球的个数，故恰好有两个白球的概率为；对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，至少有一次取到红球的概率为，故D正确。故选：ABD12.已知函数以下说法正确的是（）A.函数在处取得极大值B.函数在处取得极大值C.函数在上单调递减D.函数的递减区间为〖答案〗AD〖解析〗，由，得或，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，故函数在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；B错误；函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；函数在上单调递减，故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.〖答案〗〖解析〗设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.故〖答案〗为：14.已知，若其展开式中各项的系数和为81，则________.〖答案〗〖解析〗由展开式中各项的系数和为，令，可得，解得.故〖答案〗为：.15.已知函数的导函数为，且对任意，，若，，则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗构造函数，则，故函数在上单调递减，由已知可得，由可得，可得.故〖答案〗为：.16.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以后再减去；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以后再加上；这样就可以得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为，则的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗抛掷两枚硬币，出现两个正面朝上或两个反面朝上的概率为，出现一个正面朝上，一个反面朝上的概率为，由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：①操作两次都是两个正面朝上或两个反面朝上，则，其出现的概率为；②操作两次，第一次是两个正面朝上或两个反面朝上，第二次是一个正面朝上，一个反面朝上，则，其出现的概率为；③操作两次，第一次是一个正面朝上，一个反面朝上，第二次是两个正面朝上或两个反面朝上，则，其出现的概率为；④操作两次，两次都是一个正面朝上，一个反面朝上，则，其出现概率为，因为乙获胜的概率为，即的概率为，因为，，则或，解得或.因此，实数的取值范围是.故〖答案〗：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知在的展开式中，第4项为常数项．（1）求的值；（2）求含项的系数．解：（1）的展开式通项为．因为第4项为常数项，所以时，，解得．（2）由（1）可知，令，解得．所以含项的系数为．18.已知函数在处取得极大值．（1）求实数的值，并求函数的单调递增区间；（2）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）由题意，因为函数在处取得极大值，所以即，解得，经检验，是函数的极大值点，所以．当时，，由可得或，所以的单调递增区间是；（2）由（1）知，则，所以曲线在点处的切线的斜率，所以切线的方程为，即，令，可得；令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形的面积．19.我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线，其中为总体平均数，为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数小时．（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．解：（1）由题知平均数，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A，B，C；没有超过2600小时分别为，，．则样本空间，三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件，所以；（2）20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组，所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值．20.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数．解：（1）由题意，在中，当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．综上所述，当时，R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）在中，

当时，，当时，无解，∴无零点．当时，．令，在中，，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且，∵当时，时，，∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．综上所述，当时，无零点；当或者时，有一个零点；当时，有两个零点．21.甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别求甲､乙两人正确完成面试题数分布列；（2）请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？解：（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，由题意可得的可能取值为：，所以，，所以的分布列为由题意随机变量的可能值为，可得，所以，，所以的分布列为：（2）由（1）可得，，，，，因为，，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．22.已知函数，且恒成立．（1）求实数值；（2）证明：．解：（1）