导数的应用（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

2.7导数的应用温故知新

函数中关于的平均变化率为：

当即时，若平均变化率趋于一个固定值，则称这个值为函数在

点的瞬时变化率。

数学上称这个瞬时变化率为在

点的导数，用表示，记作＊

用导数求函数的单调区间：（1）求，并判断的符号；

（2）解不等式得的单调增区间；解得的单调减区间。温故知新

我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量，都可以用导数的概念来理解。比如在物理中，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中，降雨强度是降雨量关于时间的导数……

前面主要学习利用导数帮助我们研究了函数的单调性和极值，导数的应用不止这些，它在日常生活工作和科学研究中有着广泛的应用。引言例1、如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为W=W(t)=(1)

求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义(2)

求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义7.1实际问题中导数的意义1、功与功率分析：求功W关于时间t的平均变化率

=

所以需要找出自变量t的变化量（从1s变到3s），函数值W的变化量（W(1)到W(3)），导数W’(t)表示在t时刻的瞬时变化率解：（1）当t从1s变到3s时，功W从W(1)=11j变到W(3)=21j此时功W关于时间t的平均变化率为

它表示t从1s变到3s这段时间，这个人平均每秒做功5j。(2)W’(t)=W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s

W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这个人每秒做的功为7j和4j

在物理学中，通常称力在单位时间内做的功叫做功率，它的单位是瓦特。2，降雨强度

下表为一次降雨过程中某段时间内记录下的降雨量数据：t(单位：min)，y(单位：mm)

降雨量y

是时间t的函数y=

f(t)，（1）分别计算当t从0到10，从50到60时，y关于t的平均变化率，比较它们的大小，并解释实际意义；（2）假设得到降雨量y关于时间t的函数近似表达式为，求并解释其实际意义。

（1）t从0变到10时，和从50变到60时，降雨量

y关于时间的变化率分别为：

它们分别表示从0到10分和从50到60分两个时间段内，平均每分降雨量为1mm和0.2mm。

前10分钟的降雨强度比后10分钟的大，这说明刚开始的10分钟比后10分钟的雨下得大。降雨强度解：

（2）求导得

它值得是t=40分这一时刻，降雨量y关于t的瞬时变化率，即降雨强度为0.25mm/min。∴

建造一幢面积为的房屋需要成本y万元，y是

x的函数，设函数为

（1）当x

从100变到120时，建筑成本y

关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

（2）求并解释其实际意义。3.建筑成本（1）x从100变到120时，y关于x的平均变化率为：=

当建筑面积从100平米增加到120平米时，每增加1平米，成本平均约增加1050元。解：（2）求导得∴

，即面积为100平米时，每增加1平米的建筑面积，成本就要增加1050元。

当建筑面积为100平米时，成本增加的速度为

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方

s

元(以下称

s

为赔付价格):(1)将乙方的年利润

w(元)表示为年产量

t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额

y=0.002t2(元),在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格最大是多少?

变式：甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润

x(元)与年产量

t(吨)满足函数关系

x=2000

t

.解:

(1)∵赔付价格为

s

元/吨,∴乙方实际年利润

w=2000

t

-st.∵w=2000

t

-s(t

)2

=-s(

t

-

)2+.

s1000s10002

∴当

t=时,w

取得最大值.s210002

s210002

∴乙方获得最大利润的年产量为

吨.

另解:

∵赔付价格为

s

元/吨,∴乙方实际年利润

w=2000

t

-st.由

w

=-s=

,t1000t1000-st令

w

=0

得

t=t0=.s210002

∵当

t<t0时,w>0;当

t>t0时,w<0,∴当

t=t0时,w

取得最大值.

s210002

∴乙方获得最大利润的年产量为

吨.

(2设甲方净收入为

v

元,则

v=st-0.002t2,将

t=

代入上式得:s210002

又

v

=-+

s210002

s58

10003

v=-.s10002

s42

10003

s510002(8000-s3)

=.令

v

=0

得

s=20.∵当

s<20

时,v>0;当

s>20

时,v<0,∴当

s=20

时,v

取得最大值.

故甲方应向乙方要求的赔付价格为

20

元/吨.

在自行车比赛中，运动员的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)的函数关系是求并解释其实际意义。动手做一做它表示第20秒时的瞬时速度是

210m/s。小结＊导数在实际问题中的意义：

当导数为正数时，实际意义是自变量每增加一个单位时，函数值增加（或升高）个单位；当为负数时，自变量每增加一个单位，则函数值减小（或降低）个单位。

导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率，速度和降雨强度等。在讨论实际问题时：具体问题具体分析

在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.7.2实际问题中的最值问题例4

如图2-23(1),一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图2-23(2).所得容器的容积V(单位:cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数.(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少?解(1)首先写出V关于x的函数解析式.根据题意，可得V=V(x)=(48-2x)2x.由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}.根据导数公式表及导数的运算法则，可得v'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).解方程 V'(x)=O,得 x1=8,x2=24.根据x1,x2,列出表2-12,分析V'(x)的符号、V(x)的单调性和极值点.根据表2-12可知,x=8是函数V=V(x)的极大值点，相应的极大值为V=V(8)=(48-16)2×8=8192(cm3).V=(48-2x)2x的大致图象如图2-24.根据对函数变化规律的讨论可知：当0<x≤8时，函数V=V(x)单调递增；当8≤x＜24时，函数V=V(x)单调递减.(2)区间(0,24)上任意点的函数值都不超过V(8),因此，x=8是函数的最大值点.此时V=V(8)=8192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0,24)内的最大值.即当截去的小正方形的边长为8cm时,得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3.

变式：某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.

已知

AB⊥BC,OA//BC,且

AB=BC=2AO=4

km,曲线段

OC

是以O为顶点且开口向右的抛物线的一段.OABC

如果要使矩形的相邻两边分别落在

AB、BC

上,且一个顶点落在曲线段

OC

上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0.1

km2).OABCxyQPN解:

以

O

为原点,OA

所在直线为

y

轴,建立直角坐标系,如图所示.依题意可设抛物线方程为

y2=2px(p>0),且C(4,2).∴22=2p42p=1.∴曲线段

OC

的方程为

y2=x(0≤x≤4,y≥0).设

P(x,

x

)

(0≤x<4)

为曲线段

OC

上的任意一点,则矩形

PQBN

中,|PQ|=2+

x

,|PN|=4-x,工业区面积

S=|PQ||PN|=(2+

x

)(4-x)=-x-2x+4x+8,2321∴S=-x-2+2x-

,212132令

S=0

得

-x-2+2x-

=0.212132即

3x+4x-4=0.21∴(3

x

-2)(x

+2)=0.∴x=

.49∵当

x(0,)

时,S>0;当

x(,4)

时,S<0,4949∴当

x=时,S

取到极大值,49=

,83此时|PQ|=2+

x|PN|=4-x932=.∴S=

=83932272569.5.∵当

x=0时,S=8<9.5,∴Smax9.5(km2).83932故把工业园区规划成长

km,宽km

的矩形时面积最大,最大面积约为

9.5

km2.xy变式:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是练习:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.例3

对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.

对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数，分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.⑴试写出该企业获得的生产利润ω(单位:万元)与产量x之间的函数关系式；⑵当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？解(1)因为总利润=总收入一总成本，即ω=z-y,所以ω=ω(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),

即ω=-x3+24x2-45x-10(x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则，可得ω'(x)=3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程 ω'(x)=0,得 X1=1,X2=15.由图2-25可知，当x≥15时，ω'(x)≤0,所以ω(x)<ω(15).比较x=0,x=l和x=15的函数值ω(0)=-10,ω(l)=-32,ω(15)=l340可知，函数ω=ω(x)在x=15处取得最大值，此时最大值为1340.即该企业的产量为15t时，可获得最大利润，最大利润为1340万元.

1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4s时的瞬时速度为(

)A．1