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第二章导数和微分2.5微分目录二、微分的几何意义三、微分的运算法则一、微分的概念一、微分的概念假设一边长为x的正方形,它的面积为若边长x0增加Δx,相应地正方形面积的增量一、微分的概念引例:S=x2它由两部分组成,第一部分2x0Δx是第二部分(Δx)2是较Δx高阶的Δx的线性函数,如图故ΔS可以用2x0Δx近似代替.无穷小量(Δx)2=o(Δx),如图一、微分的概念定义1:设函数y=f(x)

在某区间内有定义,x0及x0+Δx其中A是不依赖于Δx的常数,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小记作,即在这区间内,如果函数的增量那么称y=f(x)在点x0是可微的.一、微分的概念可导与可微的关系:定理:函数在点可微的充要条件是证:必要性因为在点可微,则从而一、微分的概念即在点的可导,且充分性因为在点的可导,所以其中即y=f(x)在点x0可微.一、微分的概念例1:求函数在解:因为而处的微分.一、微分的概念故所以一、微分的概念从而该函数的导数,所以导数又叫做微商.通常把自变量x的增量Δx称为自变量x的微分,记作dx,即dx=Δx,则即函数的微分dy与自变量x的微分dx之商等于二、微分的几何意义当很小时,如图,当自变量由

x0增加到

x0+Δx时,函数增量为曲线在对应点处的切线增量为所以故微分就是曲线的切线上点相应的纵坐标的增量.三、微分的运算法则1.几种基本初等函数的微分公式三、微分的运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)的微分为一阶微分形式不变性3.复合函数微分法则,则复合函数2.微分的四则运算法则还是作为中间变量,此公式形式不变.在y=f(u)的微分公式中,无论u作为自变量三、微分的运算法则例2:已知函数解:

已知函数求微分.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分已知函数求微分.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分已知函数

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