《数理统计》期末考试题（卷）共5套

总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人《数理统计》期末考试题（卷）1（考试时间为120分钟）※符号说明：总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人《数理统计》期末考试题（卷）1（考试时间为120分钟）※符号说明：X,Y等大写英字母表示总体；(X1,X2, ,Xn)和,Y2, ,Yn)表示简单随机样本；1 n X和Y表样均，正样本差S*2= (XX)2．n n1 ii11101.设X~N，X= X~ ．ii12.设X N(,2)，YN(,2)且X,Y相互，X,X, ,X和Y,Y, ,Y为分别1 1 2 2 1 2 9 1 2 9S22来自于X和Y的样，x 1~ ．S22y 2据图所的q-q图，认（填号最可服正态布．考察5工的生产是相记每人4天产对进行因方分得到方分表由可到关他的动产的结是 ．105.知X~N(0,4)，i,10，YX2，求EY和DY．i ii16.已知X~t(10)，求YX2的分布．7设总体X的概率密度函数为),0x1f(x),求未知参数0.6,0.7,0.9,0.8,0.7,0.716（cm）为设元件直径X~N(,2)，分别在以下两个条件下求的置信水平为90%的置信区间：（1）204（）2未知．（注：U0.951.6449，t0.95151.7531；要求置信区间的结果精确到小数点后4位）XN(9.550.752假设方差无改变，分别在显著性水平=0.05和=0.01的条件下判断总体均值有无显著性差异．（注：U0.9751.9600，U0.9952.5758）为了检测两台测量材料中含有某种金属的光谱仪的质量有无显著性差异（即两台仪器有无系）X~N(,2，Y~N(,2=0.011 1 2 2数据确定这两台仪器质量有无显著差异．（注：t0.995(8)3.3554）一、客观题（4312）三、计算题（512602.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.1110.69.4710.5510.3710.711.429.558.42xi(%)0.20.30.40.50.60.70.80.91.0yi(%)1.11.210.851.320.780.590.680.770.89得分评卷人复查人得分评卷人复查人 Source 𝑆𝑆 𝑑𝑓 𝑀𝑆 𝐹 𝑃𝑟𝑜𝑏>𝐹 Columns6125.70004.00001531.43002.26000.1109Error10156.500015.0000677.1000 Total 16282.2000 19.0000 二、概念题（2816）《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第1页共2页得分评卷人复查人得分评卷人复查人xi(cm)158161162163165166169170172173174175176177179182yi(cm)97949710110210310310510610810710610811011111311.根据经验，人的身高x与腿长y之间存在线性关系，现测量了16名成年人的体征数据如下：（1）求y对x的回归直线；（271cm和18m0000．四、证明题（共1小题，每小题12分，共计12分）12.X的期望为，方差为2，令n nˆ=iXi，其中i，i, ,n，ii1 i1证明如下结论：（1）是（2）当仅当== ==1时，是的最小方无偏计．1 2 n n总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人得分评卷人复查人《数理统计》期末考试题（卷）2（考试时间为120分钟）※符号说明：总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人得分评卷人复查人《数理统计》期末考试题（卷）2（考试时间为120分钟）※符号说明：X,Y等大写英字母表示总；(X1,X2, ,Xn)和,Y2, ,Yn)表示简单随机样；*2 1 n 2X和Y表示样本均值，修正的样本方差Sn=n1(XiX)．i1一、客观题（共4小题，每小题3分，共计12分）101.设X~N，X=1X，EX2=， ．ii12.设X N(,2)，YN(,2)且X,Y相互独，X,X, ,X和Y,Y, ,Y为1 1 2 2 1 2 n 1 2 m分别自于X和Y的样，XY~ ．知X t(n),则YX2 ．察3条产产品品是相，录了个月的品据进行因方分，得到差析，此得到于3条产上品次率结是 ．二、概念题（共2小题，每小题8分，共计16分）XP()（on，求EX，DX和ES*2．n知Xi~N(0,4)，i,n，YcXi，求c的值得Y服从分布．2 2i1三、计算题（共5小题，每小题12分，共计60分）7设总体X的概率密度函数为ex,x0f(x)0,x0求未知参数MEMLE1.62,1.70,1.79,1.82,1.73,1.7516（cm2）为设元直径X N(,2)，别以两个件求的置水为90%的信间：（1）2=0.0016；（2）2未知．（注：U0.951.64491.7531，4），分别在显著性水平=0.05和=0.01的条件下，判断总方差2有无显著性差异．（注：2 9，2 9，2 9，2 9AB）为：X~N(,2，Y~N(,21 1 2 2水平5（t0.975)2.306011.测得某物质在不同温度下吸附另一物质的重量如下表：利用以上数据，解决如下问题：（1）求y对x的回归直线；（2）利用回归直线分别计算温度为6.5C°和7.5C°时吸附另一物质的重量.（0.00 Source 𝑆𝑆 𝑑𝑓 𝑀𝑆 𝐹 𝑃𝑟𝑜𝑏>𝐹 Columns4900.56003.20001225.14401.80800.0287Error8125.200012.0000541.6800Total13025.760015.20003.663.593.643.683.643.633.643.593.683.633.663.593.643.613.663.611.121.551.361.071.701.421.851.461.121.55A2.46.2413.6867.28.49.610.812B13.214.5210.215.849.367.088.169.2410.68xi(温度/C°)1.51.82.433.53.94.44.85yi(重量/mg)4.95.778.310.912.413.113.615.1得分评卷人复查人得分评卷人复查人四、证明题（共1小题，每小题12分，共计12分）12.总体X N(,2)，于体差2的个计2 1 n 2 2 1n 2S1=n1(XiX)和S2=n(XiX)i1 i1证明：ES222ES222．1 2《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》期末考试题（卷）3（考试时间为120分钟）一、填空题（共《数理统计》期末考试题（卷）3（考试时间为120分钟）一、填空题（共12小题，每小题1分，共计12分）1．数理统计学的研究对象是 ．2．设总体𝑋𝑁(𝜇,𝜎2)，则P{̅>𝜇}= ．3图中表示了关于数𝜃的两个估计结果1和2则哪一个更有效 （注：填1或2）。4．正态分布的分位+𝑈1−𝛼= ．5．设总体𝑋~𝑁(𝜇,4)，从中抽取一个容量为𝑛的样本，则𝑛最小为 时才能使P{|̅−𝜇|<.}≥0.，（注：Φ(.)=0.）6．在进行参数的假设检验过程中，增大样本容量，可使犯第一类错误和第二类错误的概率同时 ．7．设0<α1<α2<1，若在显著性水平为α1时拒绝了原假设，则在显著性水平为α2时应 原假设.（注：填“接受”或“拒绝）组内偏差平方和SSE与组间偏差平方和SSA的关系是 注描述二者相关性）9．研究随机变量与一个或多个可控变量之间相关关系的统计方法称为 ．{𝑌=𝑎+𝑏𝑥+𝜀与分别是系数𝑎与𝜀~𝑁(0,𝜎2)𝑏的 估计.11．参𝜃的MLE结果为̂，则𝜃2的MLE为 ．125由此可得到5台设备的工作效率 ．二、概念题（共2小题，每小题8分，共计16分）13．设总体𝑋服从泊松分布𝑃(𝜆)，(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)为来自𝑋的样本.（1）写出(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)的联合分布律；（2）计算𝐸(̅和𝐷(̅．14．设总体𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛(𝑛≥2)为𝑋的一个样本。试确定常数𝐶，使𝑛−1𝐶∑(𝑖+1−𝑖)2𝑖=1成为𝜎2的无偏估计量.三、解答题（共5小题，每小题12分，共计60分）15．设总体𝑋的分布密度为1−𝑥𝑓(𝑥;𝜃)={𝜃𝑒𝜃,𝑥>0,𝜃>00,𝑥≤0(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是来自𝑋的样本观测值，求𝜃的ME和MLE，并样本观测值为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10时计算其对应的估计值．16．某车间生产的螺杆直径服从正态分布.现随机抽取5只，测得直径为（毫米）22.3 21.5 22 21.8 21.4试在满足不同条件时，对参数𝜇进行估计.(1)𝜎=0.3𝜇95%的置信区间；(2)𝜎𝜇95%的置信区间；（注：𝑼𝟎.𝟗𝟕𝟓=𝟏.𝟔𝟗𝟎𝟎，𝒕𝟎.𝟗𝟕𝟓(𝟒)=𝟐.𝟕𝟕𝟔𝟒，要求结果精确到小数点后4位）超过3ppm(1ppm=10-6=百万分之一)。该地区环保组织对沿河各厂进行检查，测定每日倾入河流的废水中该物质的含量(单位:ppm)为：总分题号一二三四评卷人题分总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分差异源𝑆𝑆𝑑𝑓𝑀𝑆𝐹𝑃−𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒组间6049.47641512.369145.70540.0062组内518.98185010.37964总计6568.45754𝑥𝑖289298𝑥𝑖289298316327329329331350𝑦𝑖43.542.942.139.138.538.038.037.03.1 3.2 3.3 2.9 3.5 3.4 2.5 4.3 3.0 3.42.9 3.6 3.2 3.0 2.7 3.5 2.9 3.3 3.3 3.1假定废水中有毒物质含量𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，试分别在显著性水平α=0.05和α=0.01上判断该厂是否符合环保规定．（注：𝒕𝟎.𝟗𝟕𝟓(𝟏𝟗)=𝟐.𝟎𝟗𝟑𝟎，𝒕𝟎.𝟗𝟗𝟓(𝟏𝟗)=𝟐.𝟖𝟔𝟎𝟗；要求计算结果精确到小数点后4位）18．（长度服从正态分布89个产品，测得长度如下（单位：mm甲：𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎2)观测值：150 145 152 155 148 151 152 148乙：𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎2)观测值：152 150 148 152 150 150 148 151 148请根据假设检验原理，在显著性水平为0.01的条件下，判断长度的期望值是否具有显著性差异？在显著性水平为0.05的条件下结论又当如何？（注：𝒕𝟎.𝟗𝟕𝟓(𝟏𝟓)=𝟏.𝟕𝟓𝟑𝟏，𝒕𝟎.𝟗𝟓(𝟏𝟓)=𝟐.𝟏𝟑𝟏𝟒；要求计算结果精确到小数点后4位）19.与其的燃料消耗量单位：L）之间存在某种相关关系，由以往的生产记录得到如下数据：（1）求𝑦对𝑥的回归直线；（2）利用回归方程计算，燃料消耗量分别为360L和365L时有害物质的重量．（注：计算结果精确到0.0001g四、证明题（共1小题，每小题12分，共计12分）20．设(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)为来自总体𝑋的样本，总体期望为𝜇，总体方差为𝜎2，令𝑛 𝑛𝑆2= 1 ∑(𝑋−̅)2,𝑆2=1(𝑋−̅)21 𝑛−1 𝑖 2 𝑛 𝑖𝑖=1 𝑖=1证明：𝑆2为总体方差𝜎2的无偏估计，𝑆2为总体方差𝜎2的渐近无偏估计．1 2《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》试题第2页共2页总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分差异源𝑆𝑆𝑑𝑓𝑀𝑆𝐹𝑃−𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒组间69.90545106.9905450.047331总分题号一二三四评卷人题分12166012复查人得分差异源𝑆𝑆𝑑𝑓𝑀𝑆𝐹𝑃−𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒组间69.90545106.9905450.0473310.1193组内6498.55244147.6944总计6568.457542.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.1110.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.710.5《数理统计》期末考试题（卷）4（考试时间为120分钟）一、填空题（共12小题，每小题1分，共计12分）1．数理统计学是探讨随机现象 的一门学科．2．已知..𝑋𝑁(,，则𝑃{̅≤}= ．3在进行参数的区估计时在置信水平不变的条件下随机区间[𝐿,𝑈]的平长度𝐸[𝐿−𝑈]越 越好。4．𝑡分布的分位数𝑡𝛼(𝑛)+𝑡1−𝛼(𝑛)= ．5．设总𝑋𝑁(𝜇,𝜎2，(1,2,⋯,𝑛为来自𝑋的一个样本，则̅ ．6．在进行参数的假设检验过程中，若要使得犯第一类错误和第二类错误的概率同时降低，可行的方案是 ．7．设0<α1<α2<1，若在显著性水平为α2时接受了原假设，则在显著性水平为α1时应 原假设.（注：填“接受”“绝设总偏差平方和为组内偏差平方和为组间偏差平和为则用一个表达式给出三者的关系 ．9．在回归分析中，利用控制残差的方法求解回归系数，该方法称为 ．10在一元线性回归模型{𝑌=𝑎+𝑏𝑥+𝜀中̅与̂ （注描二者相关性）𝜀~𝑁(0,𝜎2)11．正态总𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，方差𝜎2的MLE𝑆2，则𝜎的MLE为 ．125由此可得到5台设备的工作效率 ．二、概念题（共2小题，每小题8分，共计16分）13．设总体𝑋服从0-1分布𝐵(1,𝑝)，(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)为来自𝑋的样本．（1）写出(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)的联合分布律；（2）计算𝐸(̅和𝐷(̅．14．设𝑋1,𝑋2,𝑋3,𝑋4是来自正态总体𝑁(0,4)的简单随机样本，令𝑿=𝑎(𝑋1−2𝑋2)2+𝑏(3𝑋3−4𝑋4)2求𝑎,𝑏使得统计量𝑋服从𝜒2，并指出其自由度．三、解答题（共5小题，每小题12分，共计60分）15．设总体𝑋的概率密度函数𝜆𝑒−𝜆𝑥,𝑥>0𝑓(𝑥;𝜃)={0,其他(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛)是来自𝑋的样本观测值，求参数𝜆的ME和MLE，并在样本观测值为0.6 0.7 0.8 0.7 0.7 0.8 0.6 0.7 0.6 0.6时计算其对应的估计值．16．随机地从一批设备元件中抽取了一个样本，测得其直径（单位：cm）为设元件直径𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，分别在以下两个条件下求𝜇的置信水平为90%的置信区间：（1）𝜎2=10−4；（2）𝜎2未知．（注：𝑼𝟎.𝟗𝟓=𝟏.𝟔𝟒𝟒𝟗，𝒕𝟎.𝟗𝟓(𝟏𝟒)=𝟏.𝟕𝟓𝟑𝟏；要求计算结果精确到小数点后4位）17．某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.50cm，标准差是0.014cm，今从一批产品中随机抽取样本进行测量，其结果如下（单位：cm）（1）α=0.1；（2）α=0.05．（注：𝑼𝟎.𝟗𝟓=𝟏.𝟔𝟒𝟒𝟗，𝒕𝟎.𝟗𝟕𝟓=𝟏.𝟗𝟔𝟎𝟎；要求计算结果精确到小数点后4位）（即两台xi(%)0.20.3xi(%)0.20.30.40.50.60.70.80.91.0yi(%)1.11.210.851.320.780.590.680.770.89𝑥𝑖(温度/C°)1.51.82.433.53.94.44.85𝑦𝑖(重量/mg)4.95.778.310.912.413.113.615.1仪器有无系统误差），经过测量得到数据如下设两个总体𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎2)，Y~𝑁(𝜇1,𝜎2)，且相互独立，在显著性水平为0.01的条件下，根1 2据以上数据确定这两台仪器质量有无显著差异．（𝒕𝟎.𝟓=𝟑.𝟑𝟓𝟓4位19.测得某物质在不同温度下吸附另一物质的重量如下表：利用以上数据，解决如下问题：（1）求y对x的回归直线；（2）利用回归直线分别计算温度为6.5C°和7.5C°时吸附另一物质的重量.（注：要求计算结果精确到0.0001四、证明题（共1小题，每小题12分，共计12分）20．设(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)为来自总体𝑋的样本，总体期望为𝜇，总体方差为𝜎2，令𝑛 𝑛𝑆2= 1 ∑(𝑋−̅)2,𝑆2=1(𝑋−̅)21 𝑛−1 𝑖 2 𝑛 𝑖𝑖=1 𝑖=1证明：𝐸[(𝑆2−𝜎2)2]>𝐸[(𝑆2−𝜎2)2]．1 2《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第1页共2页《数理统计》试题第2页共2页《数理统计》试题第2页共2页总分题号一二三四评卷人总分题号一二三四评卷人题分10304020复查人得分差异源𝑆𝑆𝑑𝑓𝑀𝑆𝐹𝑃−𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒组间3217.70009.00001437.43002.73000.1009组内5840.500013.0000258.1000总计12345.200017.00002.212.222.282.292.312.192.332.172.252.2823.0122.2222.0422.6222.5922.5823.0622.37𝑥𝑖55.9557.7561.3563.5563.9563.9564.3568.15𝑦𝑖117.45115.83113.67105.57103.95102.6102.699.9《数理统计》期末考试题（卷）5一、填空题（共10小题，每小题1分，共计10分）1．在数理统计学中从总体抽取若干个个体进行检查或观察，用所获得的数据对总体进行统计推断的方法称之为 ．2．设总体𝑋𝑁(,2)，则𝑃{̅>}= ．3．简单随机样本必满足的两个性质是 ．4．某工厂生产一种电子元件，从生产线上随机抽取4个，称其净重(单位:g)为351347355351则其经验分布函数= ．5．在进行参数的假设检验过程中，增大样本容量，可使犯第一类错误和第二类错误的概率同时 ．若在显著性水平0.01时拒绝了原假设则在显著性水平为0.05时应 原假设.（注：填“接受或“拒绝7．研究随机变量与一个或多个可控变量之间相关关系的统计方法称 ．8在一元线性回归模型中回归系数的估计量̂与̂分别是系数𝑎与𝑏的 估计.9．参𝜃的MLE结果为̂，则𝑒𝜃的MLE为 ．因此，可认为在显著性水平为0.01条件下这批设备的工作效率 ．二、计算题（共3小题，每小题10分，共计30分）11．设总体𝑋服从𝑁(𝜇,𝜎2)，(𝑋1,𝑋2,⋯,𝑋𝑛)来自𝑋的一个样本，在𝜇=0的条件下，求参数𝜎2的置信度为1−𝛼的置信区间。12．设𝑋1,𝑋2,𝑋3,𝑋4是来自正态总体𝑁(0,4)的简单随机样本，令𝑌=𝛼(𝑋1−2𝑋2)2+𝛽(3𝑋3−4𝑋4)2求𝛼,𝛽使得统计量𝑌服从𝜒2，并指出其自由度．13𝑋𝑈(𝜃,𝜃+1(1,2,⋯,𝑛是来自𝑋𝜃的ME．三、应用题（41040（服从正态分布𝑁(𝜇𝜎2)，现随机抽取10台机器人，测得其最大承重量分别为试在满足不同条件时，求