角平分线的性质与判定

第第页角平分线的性质与判定已知:∠AOB求作：∠AOB的平分线做法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N。(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。(3)作射线OC。射线OC即为所求。M0

A

CB

仔细观察步骤.

A

MC

B

N

O

折一折AADPOOC

EB将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后开展,观测两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.

B

画一画根据做一做的顺次画∠AOB的折痕OC,过点P的垂线段PD、PE,并度量所画PD、PE是否等长？

同学甲、乙谁的画法是正确的?

议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？

角平分线上的点到角的两边的距离相等.

于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表：

OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足.

PD=PE

角平分线的性质定理：定理1角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；DA

OE

P

C

(3)垂直距离。定理的作用：证明线段相等。推理的理由有三个，需要写完全，不能少了任何一个。

B

应用定理的书写格式：

∵

OP是AOB的平分线PDOA

\PD=PE

PEOB

(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)

∵如图，AD平分∠BAC(已知)

∴

BD=CD,(在角的平分线上的点到这)个角的两边的距离相等。

()A

BDC

不必再证全等∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)

∴

DB=DC,(在角的平分线上的点到这个)

√

角的两边的距离相等。B

AD

C

∵如图，DC⊥AC,DB⊥AB(已知)

∴

BD=CD,(在角的平分线上的点到这)个角的两边的距离相等。AB

()D

C

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否肯定在这个角的平分线上呢？

已知：如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足，QD=QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.

已知：如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足，QD=QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.证明:∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知),∴∠QDO=∠QEO=90(垂直的定义)在Rt△QDO和Rt△QEO中QO=QO(公共边)QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)∴∠QOD=∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上

这样，我们又可以得到一个结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

例已知：如图，△ABC的角

平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)同理PE=PF.∴PD=PE=PF.A

即点P到边AB、BC、CA的距离相等想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？BDNPM

FC

E

知识应用1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB,垂足为E,DE与DC相等吗？为什么？2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,那么，PE=__________cm.EADEBCOADC

PB

思索：如下图OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?EAOPC

D

B

PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不肯定相等.

思索：要在S区建一个集贸市场，使它到马路，铁路距离相等且离马路，铁路的交叉处500米，应建在何处？(比例尺1:20000)O马路铁路

S

如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证：点F在∠DAE的平分线上.证明：过点F作FG⊥AE于G,GFH⊥AD于H,FM⊥BC于M∵点F在∠BCE的平分线上，MFG⊥AE,FM⊥BC∴FG=FMH又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD,FM⊥BC∴FM=FH∴FG=FH∴点F在∠DA