偏微分方程的离散化方法

关于偏微分方程的离散化方法一、离散化的概念油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分法等。离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的，并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均质的问题——非线性问题线性化。计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变差些。微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化

第2页,共30页，2024年2月25日，星期天（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格，大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通常采用矩形网格（正方体）。（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段，在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。第3页,共30页，2024年2月25日，星期天离散空间第4页,共30页，2024年2月25日，星期天tP离散时间第5页,共30页，2024年2月25日，星期天1、网格系统它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格，如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三维z→k）。

节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。2、等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是相等的，反之称为不等距网格。第6页,共30页，2024年2月25日，星期天3、网格类型常规网格系统：（1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标

（2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界，点中心网格比较容易处理定压边界。非常规网格系统：（1）局部网格加密（2）混合网格（3）多边形网格

第7页,共30页，2024年2月25日，星期天无效网格有效网格点中心网格块中心网格xy第8页,共30页，2024年2月25日，星期天yzx局部网格加密第9页,共30页，2024年2月25日，星期天第10页,共30页，2024年2月25日，星期天模拟区网格图（井位、边界、断层）第11页,共30页，2024年2月25日，星期天五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图第12页,共30页，2024年2月25日，星期天五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图第13页,共30页，2024年2月25日，星期天rz混合网格第14页,共30页，2024年2月25日，星期天二、有限差分法----导数的差商逼近Px第15页,共30页，2024年2月25日，星期天第16页,共30页，2024年2月25日，星期天第17页,共30页，2024年2月25日，星期天第18页,共30页，2024年2月25日，星期天Δx1Δx2Δx第19页,共30页，2024年2月25日，星期天三、有限差分方程的建立第20页,共30页，2024年2月25日，星期天第21页,共30页，2024年2月25日，星期天第22页,共30页，2024年2月25日，星期天第23页,共30页，2024年2月25日，星期天第24页,共30页，2024年2月25日，星期天第25页,共30页，2024年2月25日，星期天第26页,共30页，2024年2月25日，星期天第27页,共30页，2024年2月25日，星期天四、边界条件的处理（一）、内边界条件处理第28页,