9.5 十字相乘法 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练

专题9.22十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1.熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2.基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3.对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、十字相乘法分解因式步骤:1、把二次项系数和常数项分别分解因数。2、尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数。3、确定合适的十字图并写出因式分解的结果。4、检验。【典型例题】类型一、因式分解➽➼十字相乘法➽➼1．阅读与思考：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，所以．解：．上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）若可分解为两个一次因式的积，写出整数P的所有可能值．【答案】（1）；（2）；（3）±16，±8【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（3）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．解：（1）（2）（3）∵15=1×15；15=-15×（-1）；15=-3×（-5）；15=3×5，则p的可能值为1+15=16-1+（-15）=-16；-3+（-5）=-8；3+5=8；．∴整数p的所有可能值是±16，±8【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．举一反三：【变式1】分解因式：；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；（2）利用十字相乘法即可得出答案．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【变式2】因式分解：【答案】【分析】将（x-y）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．解：=．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用．类型二、因式分解➽➼十字相乘法➽➼2．因式分解：【答案】【分析】观察到二次项系数2=1×2，常数项-9=-3×3，一次项系数-3=2×（-3）+1×3，因此用十字相乘法进行分解即可．解：=．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．举一反三：【变式1】分解因式：．【答案】【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可解：故答案为：；【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键【变式2】运用十字相乘法分解因式：； （2）； （3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；（3）同（2）；（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可解：（1）．（2）．（3）．（4）．【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．类型三、因式分解➽➼十字相乘法➽➼拓展提升3．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】(1) (2)

(3)②43或【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．解：（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．故答案为：．（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．故答案为：．②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，所以．故答案为：．（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，所以．故答案为：．②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，所以m=或m=，故m的值为43或-78．【点拨】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．举一反三：【变式1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x2)(x3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）=；（2）=．【探究与拓展】对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnxqyk，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式=；（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．【答案】阅读与思考：图见分析，x-3x2；理解与应用：（1）x12x7；（2）2xy3x2y；探究与拓展：（1）x2y13xy4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．【分析】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．【阅读与思考】画十字交叉图：∴=（x-3)(x+2)故答案是：x-3x2；【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）画十字交叉图：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究与拓展】（1）画十字交叉图：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值为：43或－78；（3）∵，∴，画十字交叉图：∴，∴或，∵x，y为整数，∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式以及应用，理解并掌握阅读材料中的“画十字交叉图”，是解题的关键．【变式2】阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．解：（1）①如下图，其中，所以，；②如下图，其中，而，所以，；（2）如下图，其中，而或，∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法➽➼应用4．我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：已知，，是的三边且满足，判断的形状；两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．【答案】(1)等边三角形 (2)【分析】（1）先根据单项式乘多项式把原式化简，再根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性得到，，根据等边三角形的概念求解；（2）由于含字母的二次三项式的一般形式为其中、、均为常数，且，所以可设原多项式为看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．（1）解：，，，，，，，为等边三角形；（2）解：设原多项式为其中、、均为常数，且．，，；又，，原多项式为，将它分解因式，得：．【点拨】本题主要考查的是因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．举一反三：【变式1】有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②请写出，，三个代数式之间的等量关系：________．若，求的值．如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：________．【答案】(1)①，；② (2)20图见详解，【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可