2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-4　总体离散程度的估计 课件（73张）

9.2.4总体离散程度的估计新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）数据分析2.理解离散程度参数的统计含义数学运算知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

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有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125kg/mm2.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145

问题

哪种钢筋的质量较好？

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⁠知识点

总体离散程度的估计1.平均距离

绝对值2.方差、标准差

方差标准差3.总体方差、总体标准差

4.样本方差、样本标准差

提醒

标准差、方差的意义：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差；②标准差、方差的取值范围是[0，＋∞）.标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.⁠

⁠1.下列数字特征不能反映样本数据的离散程度、波动情况的是（

）A.极差B.平均数C.方差D.标准差解析：平均数描述数据的集中趋势，极差、方差、标准差描述数据的离散程度.故选B.2.已知有样本数据2，4，5，6，8，则该样本的方差为（

）A.5B.4C.2D.0

3.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁8.58.88.88方差s23.53.52.18.7则应派

⁠参赛最为合适.

解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适.答案：丙02题型突破·析典例⁠

⁠题型一标准差、方差的计算与应用【例1】

甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据如下：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100（1）分别计算两组数据的平均数及方差；

（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

通性通法

⁠

⁠1.现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（

）A.1B.2C.3D.4

2.一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（

）A.40.6，1.1B.48.8，4.4C.81.2，44.4D.78.8，75.6

题型二分层随机抽样的方差【例2】

甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？

通性通法

⁠

⁠

在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：班级人数平均分数方差甲302乙203

A.2.2B.2.6C.2.5D.2.4

题型三方差、标准差与统计图表的综合应用【例3】

甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数与方差；

（2）根据图形和（1）中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.

通性通法折线统计图中数学特征的求解技巧

根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.⁠

⁠甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（

）A.s1＞s2＞s3B.s1＞s3＞s2C.s3＞s1＞s2D.s3＞s2＞s1解析：比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多、最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1＞s3＞s2.⁠

⁠1.甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是（

）A.甲B.乙C.甲、乙相同D.不能确定解析：因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定.故选A.2.若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为（

）A.2B.4C.6D.8解析：数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.故选D.3.样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为（

）D.2

4.（多选）高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论.甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.”乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度.”丙同学说“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.”丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大.”其中说法正确的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确；方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误；方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确；两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大，丁的说法错误.故选A、C.

答案：乙

甲03知能演练·扣课标⁠

⁠1.已知一组数据为－1，1，2，4，4，8，通过该组数据得到如下结论：①中位数是4；②平均数是3；③极差是9；④方差是48.其中正确的序号为（

）A.①②③B.②③C.②③④D.③④

2.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（

）A.这五位同学年龄的平均数变为19B.这五位同学年龄的中位数变为19C.这五位同学年龄的方差仍为0.8D.这五位同学年龄的方差变为3.8解析：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差为0.8，三年后，这五位同学年龄的平均数变为16＋3＝19，故A正确；这五位同学年龄的中位数变为16＋3＝19，故B正确；这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D错误.故选D.3.已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所示，则标准差最大的是（

）解析：选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，故标准差最大的是D.也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从题图中可以看出D中的数据波动最大.

5.（多选）甲、乙两位同学6次的数学成绩统计如图，则下列说法正确的是（

）C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.乙成绩比甲成绩稳定

6.（多选）一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（

）A.这组新数据的平均数为6B.这组新数据的平均数为9C.这组新数据的方差为1D.这组新数据的方差为4

7.为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是

⁠.

解析：苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为19－8＝11.答案：11

答案：乙9.为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从（1）班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从（2）班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为

⁠，样本方差为

⁠.

答案：90.2

4.7610.某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）.去年测评的数据如下：甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106.（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；

（2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差；

（3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？解：（3）由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方差，故乙学校人民满意度比较好.

A.3.3或2.7B.3.3C.2.7D.4.5或3.2

12.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：甲：平均数为3，中位数为2；乙：中位数为3，众数为2；丙：中位数为3，极差为4；丁：平均数为2，方差为2.4.通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁

13.在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（

）A.平均分变大，方差不变B.平均分变小，方差不变C.平均分不变，方差变大D.平均分不变，方差变小

14.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.

15.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人射击成绩对应的条形图如图：以下关于四名同学射击成绩的数学特征判断不正确