中考数学专题复习课件数与式因式分解专题练习

数与式——因式分解专题练习一．因式分解的意义二．因式分解三．因式分解四．提公因式法与公式法的综合运用五．因式分解六．因式分解七．实数范围内分解因式八．因式分解的应用一．因式分解的意义1.如果x-2是多项式x2-4x+k的一个因式．则k的值为(____)A.-4B.1C.4D.8【解析】解：设另一个因式是x+a,则(x-2)(x+a)=x2+ax-2x-2a=x2+(a-2)x-2a,∵x-2是多项式x2-4x+k的一个因式，C∴a-2=-4，解得：a=-2，∴k=-2a=4，故选：C．

【解析】解：A、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；B、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；C、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；D、从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意．A故选：A．

【解析】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故该选项错误；B、x3+x2=x2(x+1)，符合因式分解的定义，故该选项正确；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故该选项错误；D、整式的乘法，故该选项错误；B故选：B．4.下列因式分解正确的是(____)A.x2+1=(x+1)2B.x+2x-1=(x-1)2C.2x2-2=2(x+1)(x-1)D.x2-x+2=x(x-1)+2【解析】解：A．x2+1在实数范围内不能再进行因式分解，故A不符合题意；B．x+2x-1=3x-1，原题干计算错误，且等式的右边是合并同类项，不属于因式分解，故B不符合题意；C．2x2-2=2(x+1)(x-1)，从左边到右边的变形属于因式分解，C故C符合题意；D．x2-x+2=x(x-1)+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故D不符合题意；故选：C．5.下列各式从左到右的变形为因式分解的是(____)A.a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3aB.(a+2)(a-5)=a2-3a-10C.x2-6x+9=(x-3)2D.x2-y2=(x-y)2【解析】解：A中等号右边不是乘积的形式，它不符合因式分解的定义，则A不符合题意；B是乘法运算，它不是因式分解，则B不符合题意；C符合因式分解的定义，则C符合题意；D等号左右两边不相等，则D不符合题意；C故选：C．6.下列各等式从左到右属于因式分解变形的是(____)A.(y+2)(y-2)=y2-4B.(a-2b)2=a2-4ab+4b2C.x2-3x+1=x(x-3)+1D.m2-4mn+mn2=m(m-4n+n2)【解析】解：A．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；C．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；D．等式右边是几个整式积的形式，故是因式分解，符合题意；D故选：D．7.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的有(____)A.x2+x+1=x(x+1)+1B.(x+2)(x-2)=x2-4C.2x2-3xy=x(2x-3y)D.60=2×2×3×5【解析】解：根据因式分解的定义，A选项等式右边不是整式乘积的形式，故A错；B选项属于整式乘法，故B错；C符合因式分解的定义，故C正确；D选项属于因数分解，故D错．C故选：C．二．因式分解8.分解因式：2a(x-y)-(x-y)=_________________．【解析】解：原式=(x-y)(2a-1)．故答案为：(x-y)(2a-1)．(x-y)(2a-1)9.因式分解：x(x-1)+4(x-1)=_______________．【解析】解：x(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x+4)，故答案为：(x-1)(x+4)．(x-1)(x+4)10.分解因式：x2y-xy=___________．【解析】解：原式=xy(x-1)．故答案为：xy(x-1)．xy(x-1)11.因式分解：-2x2+18=__________________．【解析】解：-2x2+18=-2(x2-9)=-2(x+3)(x-3)，故答案为：-2(x+3)(x-3)．-2(x+3)(x-3)12.【问题提出】计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6【问题探究】为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为：l+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+a(1+a)4+a(1+a)5+a(1+a)6然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法；①1+a+a(1+a)=(1+a)+a(1+a)=(1+a)(1+a)=(1+a)2②由①知1+a+a(1+a)=(1+a)2，所以，l+a+a(1+a)+a(1+a)2=(1+a)2+a(1+a)2=(l+a)2(1+a)=(1+a)3(1)仿照②，写出将1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3进行因式分解的过程．【发现规律】(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n=

．【问题解决】(3)计算：1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6=

(结果用乘方表示)．【解析】解：(1)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3=(1+a)(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3=(1+a)2(1+a)+a(1+a)3=(1+a)3+a(1+a)3=(1+a)3(1+a)=(1+a)4；(2)由②③发现规律：1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n=(1+a)n+1；故答案为：(1+a)n+1；(3)1+3+3(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6=(1+3)(1+3)+3(1+3)2+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6=(1+3)2(1+3)+3(1+3)3+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6=(1+3)3(1+3)+3(1+3)4+3(1+3)5+3(1+3)6=(1+3)4(1+3)+3(1+3)5+3(1+3)6=(1+3)5(1+3)+3(1+3)6=(1+3)6(1+3)=(1+3)7=47．故答案为：47．三．因式分解

【解析】解：能用完全平方公式分解的是1-2x+x2=(x-1)2，故选：B．B14.若x2+mx+9=(x+3)2，则m的值是____．【解析】解：∵x2+mx+9=(x+3)2=x2+6x+9，∴m=6，故答案为：6．615.分解因式：4-n2=_______________．【解析】解：4-n2=(2+n)(2-n)，故答案为：(2+n)(2-n)．(2+n)(2-n)四．提公因式法与公式法的综合运用16.把多项式2x2-8分解因式，正确的是(____)A.2(x2-4)B.(x+2)(x-2)C.2(x+2)(x-2)D.(2x+4)(x-2)【解析】解：2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)，故选：C．C17.因式分解：m3-9m=_________________．【解析】解：原式=m(m2-9)=m(m+3)(m-3)，故答案为：m(m+3)(m-3)．m(m+3)(m-3)

19.把多项式mn2-9m分解因式的结果为_________________．【解析】解：原式=m(n2-9)=m(n+3)(n-3)．故答案为：m(n+3)(n-3)．m(n+3)(n-3)20.因式分解：3x2-12=_________________．【解析】解：原式=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)．故答案为：3(x+2)(x-2)．3(x+2)(x-2)21.因式分解：4a-ab2=_________________．【解析】解：原式=a(4-b2)=a(2+b)(2-b)，故答案为：a(2+b)(2-b)．a(2+b)(2-b)22.把下列各式因式分解：(1)x2-xy；(2)a2b-2ab2+b3．【解析】解：(1)x2-xy=x(x-y)；(2)a2b-2ab2+b3=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2．23.因式分解：(1)x2-9；(2)2x3-8x2y+8xy2．【解析】解：(1)原式=(x+3)(x-3)；(2)原式=2x(x2-4xy+4y2)=2x(x-2y)2．24.将下列各式因式分解：(1)a(x-3)+2b(x-3)；(2)2x3-8x；(3)(2x+y)2-(x+2y)2；(4)-x2-4y2+4xy.【解析】解：(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2)；(3)(2x+y)2-(x+2y)2=[2x+y+(x+2y)][2x+y-(x+2y)]=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y)；(4)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2．25.分解因式：(1)9m2-4；(2)2ax2+12ax+18a.【解析】解：(1)9m2-4=(3m+2)(3m-2)；(2)2ax2+12ax+18a=2a(x2+6x+9)=2a(x+3)2．26.分解因式：(1)(a-b)2+3(a-b)；(2)mx2-2mx+m.【解析】解：(1)(a-b)2+3(a-b)=(a-b)(a-b+3)；(2)mx2-2mx+m=m(x2-2x+1)=m(x-1)2．五．因式分解27.因式分解：4x3-2x2-9xy2-3xy.【解析】解：原式=(4x3-9xy2)+(-2x2-3xy)=x(4x2-9y2)-x(2x+3y)=x(2x+3y)(2x-3y)-x(2x+3y)=x(2x+3y)(2x-3y-1)．六．因式分解28.下列分解因式错误的一项是(____)A.x2-4=(x+2)(x-2)B.x2+4x=x(x+4)C.x2+7x+12=(x+2)(x+6)D.x2+2x+1=(x+1)2【解析】解：A、原式=(x+2)(x-2)，不符合题意；B、原式=x(x+4)，不符合题意；C、原式=(x+3)(x+4)，符合题意；D、原式=(x+1)2，不符合题意．故选：C．C29.把多项式x2+5x+m因式分解得(x+n)(x-2)，则常数m,n的值分别为(____)A.m=-14，n=7B.m=14，n=-7C.m=14，n=7D.m=-14，n=-7【解析】解：由题意得：x2+5x+m=(x+n)(x-2)，∴x2+5x+m=x2+nx-2x-2n,∴x2+5x+m=x2+(n-2)x-2n,A∴n-2=5，m=-2n,∴n=7，m=-14，故选：A．30.若多项式x2+mx-35分解因式为(x-7)(x+5)，则m的值是(____)A.2B.-2C.12D.-12【解析】解：∵多项式x2+mx-35分解因式为(x-7)(x+5)，即x2+mx-35=(x-7)(x+5)，∴x2+mx-35=x2-2x-35，系数对应相等，∴m=-2，故选：B．B31.因式分解：(x2-2x)2-7(x2-2x)-8．【解析】解：(x2-2x)2-7(x2-2x)-8=(x2-2x-8)(x2-2x+1)=(x-4)(x+2)(x-1)2．32.下列因式分解正确的是(____)A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.x2+4xy-4y2=(x-2y)2C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-9-6x=(x+3)(x-3)-6x【解析】解：A、x2+y2不能因式分解，错误，不符合题意；B、x2+4xy-4y2不能因式分解，错误，不符合题意；C、x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2，正确，符合题意；D、式子右边不是整式乘积的形式，式子变形不为因式分解，错误，不符合题意．C故选：C．33.数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学(

)董天宇：a(x+y)=ax+ay；秘锦航：x2-4x+4=x(x-4)+4；夏渤骅：10x2-5x=5x(2x-1)；武帅：x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x.A.董天宇B.秘锦航C.夏渤骅D.武帅【解析】解：董天宇：a(x+y)=ax+ay,他利用了乘法公式，最后的结果是和的形式，分解不正确；秘锦航：x2-4x+4=x(x-4)+4，他把前两项提取了公因式，最后的结果是和的形式，分解不正确；夏渤骅：10x2-5x=5x(2x-1)，他运用了提公因式法，分解正确；武帅：x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x,前两项他运用了平方差公式，最后的结果是和的形式，分解不正确．故选：C．七．实数范围内分解因式34.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2+i)+(3-4i)=5-3i.i3=i•i•i=i2•i=-1•i=-i；(1+i)(2+3i)=1×2+1•3i+i•2+i•3i=2+3i+2i+3•i2=2+3i+2i+3×(-1)=-1+5i.(1)填空：i5=____，2i4=____；(2)计算：①(2+i)(2-i)；②(2+i)2；(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，i2完成下列问题：已知：(x+3y)+3i=(1-x)-yi,(x,y为实数)，求x+y2的值；(4)试一试：请你参照i2=-1这一知识点，将m2+25(m为实数)因式分解成两个复数的积．【解析】解：(1)i5=i4•i=(i2)2•i=(-1)2•i=i；2i4=2(i2)2=2•(-1)2=2．故答案为：i,2．(2)①(2+i)(2-i)=22-i2=4-(-1)=5；②(2+i)2=22+4i+i2=4+4i-1=3+4i.

八．因式分解的应用35.仔细观察下图，各块图形面积之和为a2+3ab+2b2，则因式分解a2+3ab+2b2=_________________．【解析】解：经过观察发现：a2+3ab+2b2是这个大长方形的面积，而这个大长方形的长为a+2b,宽为a+b,面积为(a+2b)(a+b)，∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)，故答案为：(a+2b)(a+b)．(a+2b)(a+b)36.一个自然数若能表示为两个连续偶数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：42-22=12，则12就是智慧数；32-12=8，则8就不是智慧数．不大于100的智慧数共有____个．【解析】解：设两个连续的偶数为2k,2k+2，k为非负整数，(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=4(2k+1)，令4(2k+1)≤100，2k+1≤25，∴k≤12，k可取0到12的自然数，13所以一共有13个，故答案为13．37.已知：a-b=2，则a2-b2-4b-1=____．【解析】解：∵a-b=2，∴a=b+2，∴a2-b2-4b-1，=(b+2)2-b2-4b-1，=3，故答案为：3．338.已知x-y=2，y-z=-1，求x2+y2+z2-xy-yz-xz的值．

39.交换一个两位数的十位数字和个位数字后得到一个新的两位数．若将这个新的两位数与原两位数相减，则所得的差一定是(____)A.11的倍数B.9的倍数C.偶数D.奇数【解析】解：设原两位数十位上的数字是a,个位上的数字是b,则原两位数为10a+b,新两位数为10b+a,∴这两个数的差为10b+a-(10a+b)=9b-9a=9(b-a)，∴所得的差一定是9的倍数，B故选：B．40.已知xy=-2，x+y=4，则-x2y-xy2的值是(____)A.-8B.-2C.8D.2【解析】解：∵xy=-2，x+y=4，∴-x2y-xy2=-xy(x+y)=2×4=8，故选：C．C41.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：学、我、爱、数、游、美，现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(____)A.我爱美B.数学游C.我爱数学D.美我数学【解析】解：∵(x2-y2)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)，C又∵a-b,x-y,x+y,a+b分别对应下列四个个字：学、我、爱、数，∴结果呈现的密码信息是：我爱数学．故选：C．

【解析】解：∵a2+b2=9-2ab,∴a2+b2+2ab=9，A

43.已知实数a,b,c满足：4a+4b+c=0，4a-4b+c＞0，则(____)A.b＞0，b2-4ac≥0B.b＞0，b2-ac≤0C.b＜0，b2-4ac≤0D.b＜0，b2-ac≥0

D

∴D正确；故选：D．44.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ac=b2-bc,则△ABC一定是(____)A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.等腰三角形【解析】解：由题意，∵a2-ac=b2-bc,∴a2-b2-ac+bc=0．∴(a-b)(a+b-c)=0．又∵a+b＞c,即a+b-c＞0，D∴a-b=0，即a=b.∴△ABC是等腰三角形．故选：D．

∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=6×52=150．

根据以上材料，解决下列问题：(1)请判断3512、6846是不是“阶梯数”，请说明理由；如果是，请求出对应的G(A)的值；(2)已知C、D是“阶梯数”，其中C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m(m是整数且5≤m≤9)．若M(C)+M(D)能被11整除且n＜m,求满足条件的G(D)的最大值．

(2)∵C的千位数字为n(n是整数且1≤n≤7)，十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m,∴C的百位数字为n+2，个位数字为7，D的百位数字为6，十位数字为m-2，∴M(C)+M(D)=10n+7+10(n+2)+5+40+m+60+m-2=20n+2m+130，由题意得：20n+2m+130是11的倍数，且n是整数且1≤n≤7，m是整数且5≤m≤9，n＜m,∴当m=5时，n=4，此时D=4635，G(D)=191，当m=6时，n=5，此时D=4646，G(D)=202，当m=7时，n=6，此时D=4657，G(D)=213，当m=8时，n=7，此时D=4668，G(D)=224，∴G(D)的最大值为：224．47.发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如(3+2)2+(3-2)2=26为偶数．请把26的一半表示为两个正整数的平方和；探究：设“发现”中的两个已知正整数为a,b,请论证“发现”中的结论正确．【解析】解：(a+b)2+(a-b)2=a2+b2+2ab+a2+b2-2ab=2a2+2b2∵2a2是偶数，2b2是偶数，∴2a2+2b2是偶数．∵两个正整数的平方和表示为：a2+b2又∵(2a2+2b2)÷2=(a2+b2)∴该偶数的一半是两个正整数的平方和．48.如果有两个正整数，则这两个正整数满足下面两个结论：结论(一)两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数；结论(二)结论(一)中这个偶数的