函数的概念与性质（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）

第1讲二次函数与一元二次方程、不等

式

日考纲考情

本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对

学生的逻辑思维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的

不同表示方法加深对函数概念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过

事函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。

合考点梳理

考点一函数的概念及其表示

1.函数的定义

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数y

=f(x),xGA

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y=f(x),xWA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做眼

数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)IxCA｝叫做函数的值

域.显然，值域是集合B的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断

两函数相等的依据.

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通

常叫做分段函数.

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发.

(2)如果函数y=f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域.

(3)如果函数y=f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定.

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数.

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函数的定义域不可以相交.

4.常用结论

(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；

(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；

(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；

(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义.

如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组).

考点二函数的基本性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上的任意

两个自变量的值X”X!

当汨＜及时，都有

定义

当汨〈生时，都有『(%)”(电),那么就说函数f(x)在区间。/'(小)＞「(入2)，那么

上是增函数就说函数f(x)在

区间〃上是减函数

用网

N里A的伊)

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间〃上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有

(严格的)单调性，区间〃叫做尸f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数“满足

对于任意都有对于任意x£/,都有f(x)，肱

条件

存在照£I,使得〃照)=M存在照£I,使得AAO)=M

结论”为最大值"为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数Ax)的定义域内任意一个X,都有A-x)=f(x),

偶函数关于y轴对称

那么函数/Xx)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有F(-X)=一

奇函数关于原点对称

f(x),那么函数/1(X)是奇函数

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值

时，都有/■(x+7)=F(x),那么就称函数尸/Xx)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数就叫做f(x)的最小正周期.

注意：

(1)如果一个奇函数F(x)在原点处有定义，即/X0)有意义，那么一定有/"(())=().

(2)如果函数/Xx)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反

的单调性.

(4)函数周期性常用结论

对Mx)定义域内任一自变量的值上

①若f(x+a)=—F(x),则7=2a(a〉0).

②若F(x+a)=、，则7=2a(a>0).

f(Jx)

③若F(x+a)=—贝ij7=2a(a>0).

f(.x)

5.对称性的三个常用结论

①若函数尸F(*+a)是偶函数，则函数尸f(x)的图象关于直线x=a对称.

②若对于R上的任意x都有f(2a—x)=f(x)或/X—x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于

直线x=a对称.

③若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(6,0)中心对称.

隹］题型剖析

高频考点一函数的概念及其表示

例1、下列命题中，正确的有()

A.函数y=\/x+l-Jx-l与函数y=Jx，—1表示同一函数

B.已知函数/(2x+l)=4x-6,若/(a)=1(),则。=9

C.若函数/卜5-1)=刀-3、片，则/(力=%2-%—2(乂..一1)

D.若函数/(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4]

【变式训练】

1、若函数y=GT^77^+ln(x+2)的定义域为口,+8),则”=()

A.-3B.3C.1D.-1

高频考点二函数的基本性质

例2：已知函数/(x)是奇函数，且在(0,+。。)上是减函数，且在区间切(a<b<0)上的

值域为[—3,4],则在区间[―4―。]上()

A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值一3D.有最小值一3

【变式训练】

1.设函数/(x)=?''々°,则满足/(x+l)<f(2x)的*的取值范围是()

[l,x>0

A.(—oo,—1]B.(0,+oo)

C.(—1,0)D.(—oo,0)

高频考点三中心对称性质：几个复杂的奇函数

例3、对于定义在。上的函数“X),点是/(x)图像的一个对称中心的充要条件是:

对任意xe。都有〃x)+/(2m—x)=2n,判断函数f(x)=d+2/+3x+4的对称中心.

【变式训练】

1、设函数〃x)=ln(77W-x),若“，b满足不等式/(/_24)+/(26-/)《0,则当

时，2a—b

的最大值为

A.1B.10C.5D.8

【基本规律】

(a+b

1、若/(x)满足/(a+x)+/(I)=勿，则/(x)关于〔三

，中心对称

2、特殊的奇函数：(考试难点)：

mn%m+nxJL,1-x,1-kxix-1

①、对数与反比例复合：y=loga>y=loga,

如：loga——,loga----，loga——

m+nxm-nxa1+xa1+kxdx+1

②、指数与反比例复合：y=£&,y=『L,y==l,1+优

K

2

③、对数与无理式复合：y=loga(J(与)2+1士kx),如：y=loga(7(x)+l+x)

3.形如y=《坦对称中心为(0,上巴)

优+12

高频考点四轴对称

例4:已知函数/（力=2『-2|一；4（2A2+22-，）_储有唯一零点，则负实数。=（）

A.-2B.--C.-1D.-'或-1

22

【变式训练】

1.已知函数〃力=（/一4q（/-2-62一）+》+1在区间［-1,5］的值域为［加,"］,则

m+M=（）

A.2B.4C.6D.8

【基本规律】

1.函数〃x）对于定义域内任意实数X满足/（"+力=/仅一力，则函数“X）关于直线

_a+b

“一丁对称，特别地当〃力=〃为一”时，函数AH关于直线Xj对称；

2.如果函数j=/（X）满足/（a+x）=f（a-x）,则函数j=/（x）的图象关于直线x=a

对称.

a+b

3y=