重难点15 三角恒等变换八大题型（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

Onn

题型1辅助角公式的运用..........................................................1

题型2辅助角公式与最值..........................................................4

题型3凑角求值(互余互补，拆角和与差，拆角30+-a,).........................................................9

♦类型1诱导公式法........................................................9

♦类型2拆角.............................................................11

题型4分式型凑角求值...........................................................14

题型5正切恒等变形.............................................................17

♦类型1正切化简求值.....................................................18

♦类型2与其他知识结合...................................................24

题型6正切求角.................................................................29

题型7二倍角公式与升施降幕.....................................................33

题型8正余弦和差积问题.........................................................38

题型1辅助角公式的运用

木我t点

非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tanp=T,但是处理拔高题，仅仅简单的用此公

式|是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会“化正”，

更要会"化余".

asina+bcosaW+炉(事sina+舟cosa)

令c°ss=/,S讥0=岛,

2222

asina+bcosa=Va4-b(_sina+节cosa)=Va+b(coscpsina+

Va2+b2Va2+b2'丁

sincpcosa)=\ja2+b2sin(a+q))

【例题1】(2023•全国•高三专题练习)用辅助角公式化简：sinj-

V3cos-=.

【答案】2sing4)

【分析】直接利用辅助角公式化简即可.

【详解】sin^-V3cos|=2Qsin|—YCOS|)=2(sin；cos^-cos|sin=2sinQ—

故答案为:2sinQ-；)

【变式1-1]1.(2023秋•湖南永州•高三校联考开学考试)已知cosa+遮sina=》贝！|

cos(a-g=()

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】B

【分析】利用辅助角公式进行求解.

【详解】cosa+V3sina=|,由辅助角公式得2cos(a*)=>故cos(a-,

故选：B.

【变式1-1】2.(2023秋・广东揭阳•高三校考阶段练习)已知三<a<y,-=<^<0,

且sina+sin/?=遍(cosa+cos/?),则下列结论一定不正确的是()

A.cos(a—/?)=一1B.sin(a—0)——0C.cos(<z+0)————D.sin(a+0)=—~~

【答案】D

【分析】根据辅助角公式化简，再根据角的范围找到和差角的关系判断各个选项即可.

【详解】sina+sin。=V3(cosa+cosj?),•••sina-V3cosa+sin/?-V3cos^=0,

•I12sin(a-、)+2sin(0-\)=0,二2sin(a—=-2sin(0—=2sinQ—0),

且2<a<],_q</?<0,则之<£一三<丁,一丁<._三<一』,

当a-X-0,a+B=争寸,cos(a+/=—>sin(a+£)=当C选项正确,D选项不正

确；

当a—：+T—S=TT,a—0=TT时,cos(a_0)=-1,

sin(a-S)=O,sin(a+6)=sin(n+20)=-sin20,-IT<2£<O,sin(a+6)=-sin2s<

O„A,B选项正确，D选项不正确.

故选:D.

【变式1-1]3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函数/(无)=sin2x+cos2x的一

条对称轴是()

A.%=--B.x=——C.%=-D.x=-

8484

【答案】C

【分析】利用辅助角公式，结合代入法、正弦型函数的对称性逐一判断即可.

【详解】/(x)=sin2x+cos2x=V2sin(2x+：).

A:因为/'(—>=&sin[2x(-^)+3=0*+V2,

所以本选项不符合题意；

B:因为/'(_》=V^sin[2x(-g+m=_l#±V^,

所以本选项不符合题意；

C:因为f(>=缶in(2x£+9=&,

所以本选项符合题意；

D：因为/"(；)=&sin(2x；+：)=1H±V2,

所以本选项不符合题意，

故选：C

【变式1-D4.(2023秋江西南昌•高三南昌二中校考开学考试)已知f(x)=singx+J)-

V3COSgx+小,则f(1)+/'(2)+…+/'(2023)的值为()

A.2V3B.A/3C.1D.0

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换得到/'(x)=2sin=x,求出最小正周期，并求出/(I)+f(2)+

/⑶+/（4）+f⑸+/⑹=0,利用周期分组求解，得到答案.

【详解】/(X)=sinQx+-V3cos(枭+])=2sin(1+»(=2sin1x,

所以最小正周期为等=6,

I

且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)

n2n4Tl5n

=2sin—+2sin—4-2sinn+2sin—+2sin—+2sin2n

=V3+V3+0—y/3—V3+0=0,

所以/(l)+/(2)+f(3)+…+/(2023)

=[/(l)+=2)+/(3)+f(4)+/(5)+/(6)]

+…+[/(2017)+/(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)+f(2022)]+/(2023)

=/(I)=V3.

故选：B.

【变式1-1]5.（2023・全国•高三专题练习）设d为动点P（cosasin。）到直线％-y-2=0的

距离，贝!Id的最大值为（）

A.V2-1B.陋C.1+V2D.3

2

【答案】C

【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.

_|岳os(e++2|

【详解】点P（cos。,sin。）到直线x-y-2=0的距离d=\cosO-s\n0-2\

Vl2+(-l)2

因为-1Wcos(9+；)W1,则一—2<V2cos(9+；)—24A/2—2,

所以当COS(e+；)=-1时dmax=上等^=1+V2.

故选：C

题型2辅助角公式与最值

辅助角公式满足：

22

asina+bcosa=Va+b(f-^—sina^-^—cosa7=A/a2+b2sin(a+cp),

1Va2+d2>Ja2+b2/V、，

--\ya2+b2<asina+bcosa<\ja2+b2

【例题2］(2023•陕西宝鸡•统考二模)已知函数/(x)=2sinx+4cosx在x=9处取得最大

值，则COS0=()

A,正B.巡C.-立D.-延

5555

【答案】A

【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到sin仇cos。的值，然后由诱导公式化简即可得到

结果.

【详解】因为f(x)=2sinx+4cosx=2V5sin(x+0),

其中sin®=康=专,cos昨短=套，

当x=s时，/(x)取得最大值，

即W+6=鼻+2kH,kEZ］所以9=——。+2kTT,kE.Z,

所以cosa=cos-8+2kir)=sin0=卷=管

故选：A

【变式2-1］1.(2023・河南•校联考模拟预测)若关于x的方程sin2x+2cos2x=-2在［0M)

内有两个不同的解a,£,则cos(a-S)的值为()

A.B.-C.--D

5555

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得a-6,进而求得cos(a-夕).

【详解】关于%的方程sin2x+2cos2%=-2在［Ojl)内有两个不同的解a,/7,

即争皿2久+8)=-1(cos0=,,sin。=子,取。为锐角)

在[o,n)内有两个不同的解a,。,

即方程Sin(2x+。)=-等在[O,TT)内有两个不同的解a,0.

不妨令0<a</?<n,由xe[0,n),则2x+0G[0,2n+0),

所以sin(2a+。)=-sin(2^+。)=—,

所以sin。=—sin(2a+6)=-sin(2夕+0).则2a+6=Tt+420+8=2TT—8,

即2a—2.=—Tl+20,

所以a_/?=-1+&cos(a-B)=cos(J-以=sin©=等.

故选：D.

【变式2-1]2.(2023秋・江西吉安・高三吉安一中校考开学考试)已知/?6(0(),且

sin(a-20)+3sina=0,则tana的最大值为()

A「立BC在D

4Y4.—4Y4

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式展开，并利用同角三角函数的商数关系化为关于tana的方

程，根据已知角的范围和三角函数的性质得到tana>0，利用三角函数的辅助角公式和三角

函数的有界性得到关于tana的不等式，求得其最大值.

【详解】,.,sin(a-20)+3sina=0,/.sinacos20—cosasin2/?+3sina=0,

..tanacos2s—sin2/7+3tana=0,/.tanQ(3+cos2/7)=sin2/7,

,邙G(0,§,：.2pG(O,TT),.,.sin2/?>0,

又‘「3+cos2)5>3—1=2r/.tana>0,

由tanacos2(i—sin2夕+3tana=0得tanacos20—sin20=-3tana,

.・存在86R使得VtaMa+1cos(20+w)=-3tana,..cos(2/?+9)=--^=^==

.I3tano^i工j.gtan2a<tan?«+1.-.tana<—,

IVtan2a+ll4

由于20G(o,n),20+9的取值范围达到余弦函数的半个周期,|cos(2/?+租)|的值必能取到

1,因此这里能够取到等号，所以tana的最大值为当，

故选：B

【变式2-1]3.(2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=sinx+3cosx,

当f(x)取得最大值时，tanx=.

【答案"

【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得f(x)取得最大值有x+W=T+2kgkeZ,进

而求tanx.

【详解】由/'(K)=sinx+3cosx=V10sin(x+w)且tan>=3,

所以/'(x)max=V10(此时x+W=1+2fcn,/C6Z,

所以x=J+2/CTI—<p,k6Z,故tan(；+2/CTT—<p)=—

zztan<pJ

故答案为：I

【变式2-1]4.(2023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)已知函数/Xx)=sinwx-

百COS3X(3>0),若的图像在区间(0,n)上有且只有1个最低点，则实数3的取值范围

为.

【答案】二"

OO

【分析】根据题意，由辅助角公式化简，然后由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意得/(%)=sina)x—A/3COSCOX=2sin(3%—习，因为x€(Ojl),

所以g3TT一力

因为/(x)有且只有1个最低点，所以乎v3TT—标?，解得？V3W

N5ZOo

故答案为：?<3Wg.

00

【变式2-1】4.(2021秋•广西南宁•高三统考阶段练习)已知函数

f(x)=V3(sin2x+4cosx)+2sinx,则f(x)的最大值为()

A.4V3B.Y

C.6D.5V3+2

【答案】B

【分析】先将sin2x展开，提公因式并结合拼凑法可得/'(x)=2(V3cosx+l)(sinx+2)-4,

2

结合ab<(^)放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.

【详解】/(%)=V3(sin2x+4cosx)+2sinx=V3(2sinxcosx+4cosx)+2sinx

=2V3cosx(sinx+2)+2(sinx+2)—4=2(V3cosx+l)(sinx+2)—4,由sinx+2>0可

2

知，要求/(X)最大值，只需bcosx+1>。即可，结合基本不等式abS(等)可得

2

/、/=、/、(V3cosx4-14-sinx+2\

/(x)=2(V3cosx+l)(sinx4-2)-4<2•I-----------------------------I-4

」(V3cosx+1=sinx4-2，一.、.

W717，当且仅当|Sin(x+>1，时建7r+2km卜Z时等号成立,因此当xy7r+

2kmkez时f(x)的最大值为?

故选：B

【变式2-1]5.(2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)若函数

/(X)=sinx-V3cosx,x6[m,n]的值域为[-1,2],贝！|n-m的取值范围为.

【答案】殍等

【分析】由辅助角公式得到/(%)=2sin(x-》，结合函数图象得到m=声々£Z,

同时九W詈+2/rn,-1+(2k+2)nj,kEZ,从而得到n-mG肾，智.

【详解】由辅助角公式得f(%)=2sin(x-2),

令2sin(%)=-1,解得％=—+=—F2/cTl，/c€Z,

326

令2sin（%—；）=2,解得x=；+2/CTT,kEZ,

画出函数图象如下，

所以n-me停吊

故答案为：［y,y］

题型3凑角求值

C，*

木我t点

常见角的变换有：

a+Ba-B

®a=(a-p)+p;@a=-y-+—;③2a=(a+B)+(a-0);@2p=(a+p)-(a-p).

♦类型1诱导公式法

【例题3-1】(2023•河南开封统考三模)已知sin(a+习—cosa=，则cos(a+=)=()

A.-B.-C.--D.--

5555

【答案】D

【分析】根据三角恒等变换得至(Jsin(a-5=］再利用诱导公式求出答案.

【详解】因为sin(a+2)—cosa=—sina+cosa—cosa=—sina--cosa='，即

X6/22225

所以cos(a+=)=cos[(a-;)+=]=一sin(a.

故选：D

【变式3-1】1.(2023秋•江苏南通・高三统考开学考试)已知sin(a+9=当，则

sin碧-2a)=()

A一2B.也C.-iD.i

3333

【答案】c

【分析】利用换元法，结合诱导公式及二倍角公式，即可求得本题答案.

【详解】设a+?=t,则a=t-psint=,

663

2

•••sin(个—2a)=sin-2(t—；)]=sin—2t)=cos2t=1—2sin2t=1—2x件)=

i

3,

故选：c

【变式3-l】2.(2023秋・山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试)已知sin(x+^)=-J,

赃os偿-2x)=()

A.-B.-C.--D.--

8888

【答案】C

【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案.

【详解】因为Sin(x+£)=—：,所以

故选：C.

【变式3-1]3.(2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习)设a为锐角，若

COS(a+L,则sin(a—g=()

AYB.—立C.立D.—0

101055

【答案】B

【分析】利用角的变换表示sin(a-i)=sin(a+^-9，再利用两角差的正弦公式，即可

求解.

【详解】因为ae(0,2a+*d),且cos(a+J=£

所以sin(a+加I，

sin(a—S=sin(a+k»

=^[Sin(a+J)-cos(a+=)]=^g-i)=-g.

故选：B

【变式3-l]4.(2023秋河北•高三校联考阶段练习)已知sing-a)=-乎，且ae(03,

则sin隽+2a)=()

A_2B.亚C.叱D.-亚

9999

【答案】A

【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】依题意,aW(0,/)彳一aW(―2以/

而sinC=-y<0,所以1a€(-20),

所以cosg-a)=Jl-sin^g-a)=卜|=?,

所以sinQ+2a)=sin[n-Q+2a)]=sin—2a)

=2sinQ—a)cos(]—a)=2x(一?)xy=—

故选：A

♦类型2拆角

【例题3-2](2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知a邛均为锐

角,且tana=3,sin(a+/?)=|,则cos/?=()

A13V1UB且c9屈D—

,5010501050

【答案】B

【分析】由条件结合三角函数同角关系式求Sina,cosa,再由三角函数的性质求出a+3的范

围,再利用两角差的余弦公式/由cos/?=cos[(a+夕)-a]求出结果.

【详解】因为a为锐角，且tana=3,所以sina=3cosa,又sin2a+cos2a=1,

所以sina=,cosa=噜.

因为sina>sin(a+0),且0<aVa+/?<Tl,所以a+夕为钝角.

因为sin(a+0)='所以cos(a+0)=-，

贝！Jcos/?=cos[(a+£)—a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+夕)sina=-^x詈4-1x=

Tio

"io"'

故选：B.

【变式3-2]1.(2022秋•陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习)若a邛都是锐角，

且cosa=，,sin(a+6)=|,贝UcosS=

A爱B.誓C.曾或管D.^g

【答案】A

【分析】先计算出cos(a+/?),再利用余弦的和与差公式，即可.

【详解】因为a,0都是锐角，且COSa=^<i,所以三<a<今又

sin(a+/?)=|<y,所以T<a+p<n,所以cos(a+0)=-Jl-sin2(a+0)=-：

sina=V1-cos2a=—,cos/?=cos(a+夕一a)=cos(a+Rcosa+sin(a+/?)sina=

龚，故选A.

【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大.

【变式3-2]2.(2022・云南•云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知sina=平，

cos(a—0)=半,且。<a<耳，0<夕<手，则sin/?=()

A源B叵D包

・35353535

【答案】A

【解析】易知sin夕=sin(a-(a-6)),利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和

sin(a-/?),分别在sin(a-夕)=乎和一?两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin/?,

结合夕的范围可确定最终结果.

【详解】sina=手<曰且。<a<*,：.0<a<彳，[cosa=V1—sin2a=

又0<0<詈，]一阡<a—£<^,sin(a-0)=i.^/l—cos2(a-=±

当sin(a-0)=乎时,

sin/?=sin(a—(a—夕))=sinacos(a-0)-cosasin(a—/?)=等X詈—x言——,

v0</?<y,sin0>0,sin£=-誉不合题意，舍去；

当sin(a-夕)=一?，同理可求得sin夕=誓，符合题意.

综上所述：sin0=空I

故选：4

【点睛】易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sina的值所确定的a的更小的范围，从而误

认为cosa的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.

【变式3-2]3,(2022秋・山东日照•高三校考阶段练习旧知afie(0,n),tan(a+=)=f,

cos(6+弓)=乎,则cos(2a-/?)=()

A.--B.C.—D.—

9393

【答案】D

【分析】根据待求式的结构，2a-/?=2(a+号一(0+J-3求解即可.

[详解]解：因为cos(2a-B)=cos[2(a+三)-(0+1)-3=sin[2(a+?-(/+1)]

=sin2(a+^)cosQ3+^)-cos2(a+^)sinQ3+；).

2tan(a+j)_2\[.

"巾（a+如2虫+粉风a+品

蓝:黑:潟）tan2(a+j)+l3

22l-tan2(a+^1

cos[2(a+割=cos2(a+§-sin2(a+$=cos(a+j)-sin(a+^)

cos2(a+j)+sin2(a+^)tan2fa+j)+l3

cos(/?+£)=乎,(6+9)e(0,9,

所以"n（6+5=日,

故cos(2a-/?)=y.

故选：D.

题型4分式型凑角求值

〕!我重怠

分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.

【例题4】（2021・湖北黄冈・黄冈中物考一模）求值：罂簿需需

A.—2—y/3B.V3—2C.2—V3D.2+V3

【答案】B

【解析】利用三角函数诱导公式将cos65。、sin65。转化为sin25。、cos25°,利用两角和与差

的正弦、余弦公式进一步化简分式，最后利用两角差的正切公式可求得-tanl5。.

00000

【详解】原式=sinl00cosl50-sin25°sinl0cosl5-sinl0cosl5-coslO°sinl5

sinlO°sinl50+cos25°sinl00sinl50+cosl00cosl50-sinl00sinl50

-cosl00sinl5。=-tan15°=tan45°-tan30°

cosl00cosl50l+tan450tan300

故选：B

【点睛】本题考查三角函数诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，属于基础题.

【变式4-1】1.（2023.吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）求值

taM7.5°+l_

tan27.50-8sin27.50+l--------------

【答案】竽彳8

【分析】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1,再利用倍角公式,

化为可以求值的角的三角函数.

tan27.5°+l_sin27.50+cos27.5°

【详解】tanz7.50-8sin27.5°+l-sin27.5°-8sin27.5°cos27.50+cos27.50

_1_1_243

~l-2sin2150-cos30°-3

故答案为：竽.

【变式4-1】2.（2022•全国•高三专题练习）计算求值：

（1）计算咨吟事产2的值；

（2）已知a、0均为锐角，sina=三,cos（a+S）=詈，求sin/?的值.

【答案】（1）2企

⑵皿

''98

【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果；

（2）利用同角三角函数的基本关系可求得cosa、sin（a+0）的值，再利用两角差的正弦公

式可求得3邛的值.

至解]/[\翻.2cos10°-2bcos(-100°)_2cos10°-2百coslOO°_2cosl0°-26cos(90°+10°)

L评廨」()W-Vl-sinlO°=Vl-sinlO°=Vl-sinlO0

_2cosl00+2V3sinlO°_4(2cos10+TSinl°)_4cos(60°-10°)

Vl-sinlO°一Vl-2sin50cos501cos5°—sin5°

_4COS50°_4COS50°_«rr

\/2(cos45<>cos50-sin45,>cos50)72cos500*

(2)解：：a、/?都为锐角，则0<a+/?<7T,

•••sin(a+0)=Jl-cos2(a+£)=Jl-(当)=蓝,cosa=Jl一(丁=一,

:.sin/?=sin[(a+0)-a]=sin(a+0)cosa—sinacos(a+夕)=£x竽­1x.

【变式4-1】3.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习）化简求值：

sin200-sin40°

cos20<>-cos400

z-'Cos40°+sin50o(l+V3tanl0°)

()sin700VTi<6s4^

【答案】(1)-V3

⑵V2

【分析】(1)将20。,40。看作是30。,10。的和差,再利用正余弦的和差公式化简分子分母，从

而求得结果；

(2)先利用三角函数的商数关系、辅助角公式、倍角公式、诱导公式化简

sin50o(l+V3tanl0°)^sin70oVl+cos40°,再代入化简，即可求得结果.

【详解】(1)因为sin20°-sin40o=sin(30o-10o)-sin(30o+10°)

=sin30°cosl0o-cos30osinl0o-(sin30℃osl0o+cos30osinl0°)

=-2cos30°sinl0°=-V3sinl0°,

cos20°-cos400=cos(300-10°)-cos(300+100)

=cos30℃osl0°+sin300sinl00-(cos30℃osl0°-sin300sinl00)=2sin3O°sinlO°=sinlO°,

er-pisin20"sin40。_-V3sinl00_

所以cos200-cos40。-sinlO。一7'

(2)0^sin50o(l+V3tanl0°)=sin50o(1+V3^^)=sin50°x彳"°°

_.500*2sin(10°+30°)_2sin50°sin40°_2sin50℃os50°_sinlOO0_sin(90°+10°)_coslO0

一coslO°-coslO°-coslO°-coslO0-coslO0-coslO0一

sin70°Vl+cos40o=sin70oJl+2cos220o-l=sin(90o-20°)x72cos20。=cos20°x

2

V2cos20°=V2cos20°z

er-piCOs40o+sin50°(l+\/3tanl0o)_cos40°+l2COS220°-1+1

所以sin70°VlTcos5^-V2cos220°

V2COS2200

【变式4-1】4.(2023•全国•高三专题练习)化简：

1+sina+1-sina

x/l+cosa-Vl-cosaVl+cosa+Vl-cosa(…若);

cos^-a)-tan^(l+cosa)

(2)(0<a<n).

【答案】Q)-&cos;

(2)—2>/2cos^

【分析】（1）先求出|的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可,

（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.

【详解】（1）因为TT<a<3,所以三,

siM2吟嘴+T।2s吟。s%T

所以原式=

J2cos2f-J2sin2fJ2cos2%Jzsin2m

(.aa\2

sin号+cos151nlYOS引

~a+

—V2cos多-V2sin-V2cos]+V2sin工

2

V2/aa\V2/aa\

=-T(sin-+cos-)+-(Sin--coS-)

-岳os/

(2)因为tan：=篝=孚誓=泮

2cos-2cos笑1+cosa

22

所以(1+cosa)tan^=sina.

又因为cos—a)=—sina,且1—cosa=2sin2,

-sina-sina_-2sina_2\z2sin-cos-

所以原式=

|si闻

因为0VaV71,所以0WV3,所以s呜>0.

所以原式=-2或COS会

题型5正切恒等变形

弟F电重点

两角和的正切公式的常见四种变形：

T(a+.:

①tana+tan£=tan(a+£)(l・tan6rtan价;

(2)tancr+tan夕+tanatan〃tan(a+©=tan(a+©;

tana+tan0

③④tanatana+＞，

tana+tan0

@1-tanatanB---------------;

tana+p

T(a-@:

①tancrltan/?=tan(al/?)(l+tancrtan£);

②tana-tan/?-tanatan万tan(a-£)=tan(a-0;

x-vx—\J..ooon-onno•«

③④tanatan

④"anatang器鬻；

♦类型1正切化简求值

【例题5-112023秋♦湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习浩a

且cos2a+cos(兴+2a)=—1,贝!Jtan(a—?)=

【答案】2

【分析】由已知可得cos2a+sin2a=-1分母"1〃化平方关系、弦化切得tan2a+4tana+

3=0,结合范围求得tana=-3,最后应用差角正切公式求值.

【详解】由cos2a+cos0+2a)=cos2a+sin2a=—|,则，:os2a+2sin(zcosal+2tana1

cos2a+sin2al+tan2a2

所以tan2a+4tana+3=(tana+3)(tana+1)=0,贝［Jtana=-3或tana=-1

又a65，-；)，故tanae(-oo,-l),则tana=-3,

由tan(a*)=?^=Eh2.

故答案为：2

【变式5-1]1.（多选）（2023•河南信阳・信阳高中校考模拟预测）已知。6（0,2TT）,。为

坐标原点，。终边上有一点M（sin詈-cos期,sin票+cos等则（）

A.0=yB.\0M\=V2

C.tan。<1D.cos0>-

2

【答案】AB

【分析】对于A,利用任意角的三角函数的定义结合已知条件分析判断，对于B,利用距离

公式求解判断，对于CD,利用三角函数的单调性分析判断即可

sin等+cos毛ta喏+1ta吟+t吗

【详解】tan。-ta.n—5n=t.an—3n故e=?+

si喏—COS等tan^-11-tan^tan^88o

kn(kGZ),

又sin—cos-->0,sin—4-cos—>0,故6是第一象限角，

oooo

又ee(0,2n),故8=?,故A正确；

o

22

对于B,|0M|2=(sin詈—cos引+(siny+cosy)=2,故|0M|=夜，故B正确;

对于c,因为y=tanx在(o,9上单调递增，且心>；,所以tan。=tan詈〉tan?=1,故C

错误；

对于D,因为y=cosx在(0占)上单调递减，系>》所以cos。=cos詈<cosg=J故D

错误.

故选：AB.

【变式5-1]2.(2023・全国•高三专题练习)当x=与时，函数/(X)=sinx-2cosx取得最

大值，则tan(&+手)=-

【答案】-3

【分析】利用辅助角公式得出f(x)=V5sin(x-中),分析可得出&=s+；+2/cn-(fcGZ),

利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.

【详解】利用辅助角公式f(X)=sinx-2cosx=V5sin(x-<p),其中tanp=2

当x=与时，函数/'(x)取得最大值，则X。一*=]+2kn(kGZ),

所以&=w+；+2krt(kGZ),

所以tan+?)=tan(9+[+2kn+巧=tan(9+。+9=:*左之]

-sin(>+为tan(w+苧)

又tan(s+生)=幽曰=0=工，

4)l+tan<p1+23

所以tan国+^)=-3

故答案为：-3.

【变式5-1]3.（2023春・江西赣州•高三校联考阶段练习）已知角a16（0,TI）,且

sin(a+0)+2cos(a-/?)=O/sinasin/?+2cosacos/?=0,则tan(a+/7)=()

A-B-CD.-2

323

【答案】C

【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由sin(a+/?)+2cos(a-0)=0可得::;:累北=

-2,再根据sinasin夕+2cosacos£=0可得tanatan/?=-2,进而求解即可.

【详解】由sin(a+夕)+2cos(a—夕)=0可得sinacos/?+cosasin/?+2cosacosP+

2si3in”0,即级鬻端=-2,故黑黑=-2.

又sinasin夕+2cosacos/?=0,故sinasin^=-2cosacos0,即tanatan夕=-2,代入

tana+tan^

=—2可得tana+tan夕=2.

1+tanatan/?

tana+tan/?2

故tan(a+/?)=

1-tanatan/?3

故选：c

【变式5-1]4.（2023•四川成都•校联考二模）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别

为a,b,C,tanAsin4（tanBtanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC，且bsinB+csinC=masinA,

则实数ni的取值范围为.

【答案】。,鱼）

【分析】由两角和的正切公式化简可得si/A=2sinBsinC,再根据三角形形状以及正弦、余

弦定理可限定出£G(1,1+V2)，将参数TH表示成爪=逃+£)再利用函数单调性即可求得其

范围.

【详解】在44BC中，由4+B+C=TT可得tanA=-tan(B+C)=霁陪，

tanBtanC-1

又因为tan4sinA(tan8tanC-1)=2tanBtanC,

所以sin4(tan84-tanC)=2tan^tanC,即tan'+tanc=_L_

tanfitanCsm4

贝2_1+1_cosB+cosC_sinCcosB+cosCsinfi_sin(C+fi)_sinA

Jsini4tanBtanCsinBsinCsinSsinCsinFsinCsinFsinC'

所以可得sin2A=2sinBsinC,由正弦定理得M=2bc.

又sinB>sinC可知8>C.又448C为锐角三角形，所以cosB>0,

由余弦定理得cosB=哼卫>0.所以弋，3>o

2ac2ac

2

即2儿+c2—炉>0,所以VI+2(3,

解得1—V2<-<1+V2.

c

又g>1,所以ge(1.1+V2).

又因为bsinB+csinC=masinA,所以坟+c2=ma2,

即加=注=芋=兆+)

a22bc2\cbJ

令g=X,则xe(1.1+V2),则m=f(x)=I(x+^)-

因为f（x）在（1,1+四）上单调递增，又f⑴=1,/（I+迎）=鱼,

所以实数小的取值范围为（1,或）,

故答案为：（1.V2）

【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余

弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等

求出参数取值范围.

【变式5-1】5（2023•全国•高三专题练习在锐角△ABC中，三内角4B,C的对边分别为a,b,c,

且a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】首先由正弦定理和三角恒等变形得到tanB+tanC=2tanBtanC,再根据正切公式

得至lltanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC="nB+tanc._tanBtanC,最后再换元，利用基本

tanHtanC-1

不等式求最小值.

【详解】由正弦定理可知2RsinA=2x2RxsinBsinC<=>sin4=2sinBsinC,

又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinBcosC+cos^sinC=2sinBsinC,

因为△ABC是锐角三角形，所以cosBcosC>0,

上式两边同时除以cosBcosC,可得tanB+tanC=2tanBtanC,①

又因为tanA=Tan(B+C)=^^>°，

・•・tanB+tanC=tanyl(tanBtanC-1),

：•tanA+tanB+tanC=tan/ltan^tanC=中'+匕吟.tanBtanC,

tanfitanC-l

令tanBtanC-1=m>0,由①可知tanB+tanC=2(m4-1)

所有tan。+tanB+tanC=弛f.(m4-1)=乂怨。-,

mm

岂

=4+2nl+—m4+2-yj/2,TH.x-m•=8,

当且仅当2m=5时，即m=1时，取等号，此时tanBtanC=2,

所以tanA+tanB+tanC的最小值是8.

故选：D

【点睛】本题考查解三角形，三角恒等变换，基本不等式求最值，重点考查转化，变形，计

算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.

【变式5-1]6.（2023春•上海闵行•高三上海市中学校考阶段练习）已知△ABC的三个

内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是（）

命题p：对任何锐角A,都存在△ABC,使得cosA+cosB=cosC；

命题q:对任何锐角A,都存在△ABC,使得tan力+tanB=tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题,q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命