重难点24 向量压轴小题十大题型（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总

题型1平面向■的线性运算........................................................2

♦类型1基底法.............................................................2

♦类型2三点共线方程蛆法..................................................6

♦类型3坐标法.............................................................8

♦类型4等和线法法.......................................................17

题型2向・数■积最值取值范围问题...............................................19

♦类型1定义法............................................................19

♦类型2基底法（线性表示）...............................................27

♦类型3坐标法............................................................31

♦类型4极化恒等式法.....................................................37

♦类型5几何意义法.......................................................39

题型3向■模长最值取值范围问题.................................................41

♦类型1坐标法............................................................41

♦类型2几何意义法.......................................................49

♦类型3三角换元法.......................................................56

♦类型4三角不等式法.....................................................58

题型4向■共线的应用...........................................................61

题型5向■夹角.................................................................69

题型6向■平行与垂直的应用....................................................74

题型7投影向*.................................................................78

题型8解析几何与向・...........................................................82

题型9奔驰定理与面积比.........................................................92

题型10向■四心................................................................95

题型1平面向■的线性运算

♦类型1基底法

弟知重点

平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）；若瓦、石是同一平面内的两个不共线向量,

则对于这一平面内的任一向量d,有且只有一对实数入1、入2，使占=入同+入2或

1.选定基底,则入1、入2,是唯一的

2.处理技巧：可"绕三角形"，可待定系数，可建系.

【例题1-1］（多选）（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形4BCD中，点E为边CD中点，

点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接4F,BE交于点M,连接4c，点N为AC上靠近点C的

三等分点，记荏=a,AD=b,则下列说法正确的是（）

A.点M,N,E三点共线

B.^AM=Xd+/xb,则4+〃='

C.前=2施

3

D.SA48M,S为平行四边形ABC。的面积

【答案】ACD

【分析】根据向量的线性运算，将需要的向量都用前，而来表示，设丽=mEB,MA=c~AF,

利用平面向量基本定理构造等式荏=ME-MA=^AB+AD,可确定点M的位置，依次判

定选项.

平行四边形4BCD中，因为点N为AC上靠近点C的三等分点，

所以而=押=|荏+|而，荏=+AD,

所以丽=AN-AE=-AB--AD,

63

设的=mEB=m（^AB-而）=3mEN,m*0,

所以由〃丽，又有公共点E,所以点KN,E三点共线，故A选项正确；

设a=cAF,

—>——♦——>/I—>—A—►/I―»—>\/—•1

AE=ME-MA=-m\^AB-ADj-cAF=-m\^AB-ADj-c（48+-

所以祠~^AF-^AB+^AD,A+n=,故B选项错误；

---->---->---->1----»7----»

BN=AN-AB=——AB+-AD,

33

因为丽=，而，所以的=,而=-^AB+^AD,

故丽=洒,C选项正确；

因为祠=^AF,SM8M=狞△ABF=|s△ABC=旨，故D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：此题主要是点M,点N在线段BE上的位置未给,所以通过平面向量

基本定理构造求解，设前=mEB,MA=cAF,利用族=-AM=^AB+AD,将所

有向量用而,而表示，求出m,C的值.

【变式1-1】1.(2022•全国•高三专题练习)如图,在平行四边形ABCD中，点E是CD的中

点,点F为线段BD上的一动点，若而=xAE+yDC,且x>m>0,y>0,则?ny(x-m)的

最大值为()

【答案】B

【分析】利用平面向量的基本定理可得出|x+y=l,分析可知0<小<|，由基本不等式

可得出my(x-m)<|mQ-m)利］用导数法求出函数/(m)=在区间(0,》上

的最大值，即可得解.

【详解】由题意可得荏=AD+DE=^AB+AD,

所以，AF=xAE+yDC=x6通+而)+yAB=(gx+y)近+xAD,

因为尸为线段BQ上的点，所以，存在4G(0,1),使得而=,

所以，而一而=X(AB-而),则而=AAB+(1-X)AD,

所以，伊+'='，则齐+y=i,

(x>0

因为［y=l_|x>0，则0<X<7/

所以，my(x-m)=HI(1-|x)(%-m)=|m(x-7n)

<-(x—m+^—x'j=Q-TrCj=1(m3-m2+rnj,

令f(?n)=|(m3-刎2+扣)，其中0<?n<|,

则广⑴1)=|(3m2-1m+i)=|(3m-|)(m-|),

当0<m<|时，/(m)>0,此时函数/(m)单调递增,

当|<m<：时，/(m)<0,此时函数/(m)单调递减，

所以，/'(m)max=fG)=击,

当且仅当m=|,x=：时，my{x-m)取最大值六.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量的基本定理求参数的最值，解题的关键在于推

导出枭+y=1,得出-m)=|m(x-m)Q-x)结合基本不等式得出?ny(x-m)<

22

|m(|-m),再转化为利用导数求函数f(m)=|m(|-巾)在区间(。，|)上的最大值来求

解.

【变式1-1]2.(2022秋•辽宁沈阳•高三东北育才学校校考期末)已知。是2MBe内一点,

且就+OB+OC=0,点M在40BC内(不含边界)，若前=2屈+〃无，则4+2〃的取值

范围是

A.(词B,(l,2)C.g(l)D.&1)

【答案】B

【解析】根据a+OB+OC=6可知O为2ABC的重心；根据点M在40BC内，判断出当

M与O重合时，2+2〃最小；当M与C重合时，A+2〃的值最大，因不含边界，所以取开

区间即可.

【详解】因为。是4ABC内一点，且耐+OB+OC=0

所以。为4ABe的重心

M在AOBC内(不含边界)，且当M与。重合时，A+2〃最小，此时

AM=AAB+nAC=|x+硝]=^AB+

所以A=：,"=[,即4+2“=1

当M与C重合时，A+2〃最大，此时

AM=AC

所以A=0,〃=1,即4+2〃=2

因为M在4OBC内且不含边界

所以取开区间,BPA+2〃e（1,2）

所以选B

【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题.

【变式1-1]3.（2020春•湖北襄阳•高三襄阳四中校考阶段练习在4ABe中,\AC\=2,\AB\=

2,ABAC=120。,荏=XAB.AF=日前，M为线段EF的中点，若|宿|=1,贝！U+〃的最大

值为（）

A*B.处C.2D.包

333

【答案】C

【分析】化简得到前=^AB+^AC,根据I询I=1得到"+不一加=1,得到入+〃的最

大值.

【详解】AM=^（AE+AF）=^AB+^AC,

故|前广=QAB+?正丫=A2+g2+yx4cosl200="+"2-a”=i

故1=A2+/z2—2/z=（A+〃）2—3An>（A+/z）2--（A+/z）2,故，+〃W2.

当，=〃=1时等号成立.

故选：C.

【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.

♦类型2三点共线方程组法

【例题1-2】（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图，在4ABC中，AD=而,E是线段BC

上的点，且满足前=2EC,线段CD与线段4E交于点F,则下列结论正确的是（）

A

A.4=浑+翔B,3DF=2CF

C.AF=^AB+^ACD.4AF=3AE

【答案】ACD

【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确油标与荏共线，可得方=AAE=

^AB+yAC,由C、凡。三点共线，得方=+(1-t)4C=+(1-t)AC,由平面

向量基本定理解出入t的值，可判断选项C、D；由C、F、。三点共线，得汴=，通过

转化求出k得值，即可判断选项B错误.

【详解】由题意，AE=AB+~BE=AB+1BC=AB+l(AC-AB)=^AB+'^AC,故选项

A正确；

由而与荏共线，可得

AF=AAE=A(浑+押)=浑+^AC,

由C、F、。三点共线，得

AF=tAD+(l-t^AC=|AB+(1-t)AC,

(-=-f/=-

由平面向量基本定理，可得2J2，解得：，

%=1T[t=2

所以,AF=^-AB+^AC,AF=^AE,4AF=3AE,即故选项C、D正确；

424

由c、F、。三点共线，得而=kDF,

即而-AC=k(AF-而)，化简为(1-k)AF=AC-kAD,

由选项C可得，(1-k)(；而+^AC-)=AC-^AB,

(1=_±

再由平面向量基本定理得，运_:,得k=一1,

所以，赤=一而，即DF=CF,故选项B错误.

故选：ACD.

♦类型3坐标法

【例题1-3】(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图，在菱形ABCD中,ABAD=60。，延

长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点4出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回至％点，

若而=AAB+iiAE，则()

EDPC

A.满足;I+n=1的点P有且只有一个

B.满足；I+n=2的点P有两个

C.A+〃存在最小值

D.A+〃不存在最大值

【答案】BC

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P的四种位置进行分类讨论即可.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1,P(x,y),则

4(0,0),8(1,0),C(|,纷,°&卑,E(一消),

所以布=(1,0),AF=<AP=(x,y),

由存=XAB+iiAE，得(x,y)=2(1,0)+(-py)=(A-%会),

(x=A—~ii

所以《62'所以，+〃=x+V3y,

(y=>

①当点P在ylB上时/0<x<lzHy=0/

所以2+〃=%+V3y=xE［0,1］；

②当点P在BQ不含点B止时则加=mBC所以(x-l,y)=m，化简y=V3(x-1),

所以A+〃=%+V3y=%+3(%—1)=4%—3,

因为1V%W|,所以1V4x—3W3,即4+/z6(1,3］；

③当点P在c。(不含点C)上时，?Wx<|,且〉=日，

所以3+|Wx+V3y<|+|,即2<x+y/3y<3,所以4+/z6［2,3)；

④当点P宙!。(不含点A、D)上时，则屁=nAD,所以(x,y)=n&苧)，化简y=V3x,

所以2+〃=%+V3y=%+3%=4x,

因为0<x<］所以0<4x<2,所以;l+〃e(0,2)；

对于A,由①知，当2+〃=1时，x=1,此时点P与点B重合；

由④可知当4+〃=1时，％=：,)/=¥，此时点P在40的中点处；

其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以A错误，

对于B,由②知，当4+〃=2时，x=J,y=¥，此时点P在BC的中点；

由③知，当；1+〃=2时，x=Jy=f,此时点P在点。处；

其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以B正确，

对于CD,由①②③④可得：

当x=y=0,即点P为点A时,A+〃取到最小值0；

当x=|,y=f，即点P为点C时，A+〃取到最大值3,所以C正确，D错误，

故选：BC.

E|。PC

【点睛】关键点睛此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，

然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.

【变式1-3】1.(多选)(2024秋•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试)古希腊数学

家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知4B=BC=

CD=1,AB1BC,AC1CD,AC与BD交于点。，若丽=AAB+fiAC，贝！M+〃=()

A.y/2—1B.1—V2C.V2+1D.—V2—1

【答案】A

【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据前=AAB+^AC,

结合向量坐标运算，即可求得答案.

【详解】以C为坐标原点，SC4所在直线分别为居丁轴建立如图所示的坐标系，

由题意得4c=V2,

则4(0,旬,B停用,(7(0,0),而=停-乎)，前=(0,-®.

因为CB=CD=1,Z.DCB=90°+45°=135°,故NBDC=22.5°,

因为tan45。==1,所以tan22.5。=a-1(负值舍去)，

1言-tan噂^22.5=

所以OC=DC-tan22.5°=V2-1,

故。(0,&-1).又D(-L0),则前=(1,V2-1),

一一一(1=—A

因为0。=AAB+iiAC,所以〈2,

-1——A-y/2/j.

解得，二3,所以，+〃=鱼-1,

故选：A.

【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标

运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.

【变式1-3]2.(多选)(2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)

重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.

古人曾有诗赞日："开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常，•金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长".

荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中“0。=与，。C=4。4=4,动点P在◎上(含

端点)，连结0P交扇形OAB的弧”于点Q,且丽=xOC+yOD,则下列说法正确的是

()

A.若y=x,则久+y=1B.若y=2x,则瓦5•OP=0

C.AB-OP>-2D.PA.PB>^

【答案】BD

【分析】作。E10C,分别以OC,OE为X,y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即

可.

【详解】如图，作0E10C,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系，

则4(1,0),C(4,0),B(一，当),£)(-2,273),

设Q(cose,sin8),96［。号］,则P(4cos。,4sin6)

由而=xOC+y而可得cos。=4%-2y,sin©=275y,且％>0,y>0,

2

22

若y=xt则cos?。+sin0=(4x—2y)+(2>/3y)=1,

解得％=y=i(负值舍去)，故％+y=JA错误；

若y=2x,则cos。=4x—2y=0,0=,OA•加=0,故B正确；

AB-OP=~Y)0(4cos0,4sin0)=-6cos0+2V3sin0=4V3sin(8—g)

由于9e［°-T］-故"汨_*］，

故・6<4V3sin(6-§W6,故C错误；

由于可=(l-4cos0r4sin0),PB=(—|—4cos0,y-4sin0)

P/l•丽=(l-4cos0)x(一；—4cos6)+(-4sin0)x(亨一4sin6)=y-2cos0—2V3sin0=

y-4sin(0+*)而9+］£稳冷］，所以sin(。+，

所以PA,PB=--4sin(0+-4=,故D正确

2622t

故选:BD

【变式1-3]3.（2023•全国•高三专题练习）正方形ABCD的边长为4,E是BC中点，如

图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，屈=4荏+〃荏，则()

A.〃最大值为1B,而SB最大值是8

C.4最大值为，1~iD.AP•AC最大值是8+8^2

【答案】AD

【分析】建系，设P(2cosa2sinO),根据向量的坐标运算结合三角函数的有界性逐项分析运

算.

【详解】如图，以AB的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A(-2,0),B(2,0),E(2,2),C(2,4),

设P(2cosB,2sine)(Be[0,n]),

可得而=(2cos0+2,2sinG),AB=(4,0),瓶=(4,2),AC=(4,4),

贝！M而+fiAE=(44+4%2”),

由题意可得，4,=羿%+2,解得户2sin。+1)

(2〃=2sin0(〃=sin。

对于A：'：n=sin。,且。G[0,n],可得当。=，sin。取到最大值1,

最大值为1,故A正确；

对于B:ZP-AS=4(2cos0+2)=8(cos0+1),

-0e[0,n],可得当9=0时，cos。取到最大值1,

.,.丽•丽最大值是8(1+1)=16,故B错误；

对于C：'.'A=|(cos0—2sin0+1)=-ycos(0+伊)+；,其中tan<p=2,<p&(0,g),

由。e]0,川，则0<aW0+eWn+3〈三，

令s<e+(p<TX,解得o<e<n-(p令n<e+cp<n+(P,解得n-(p<e<n；

故a=yCOS（e+0）+g在[O,TT-9）上单调递减，在E-9,n]上单调递增，

当。=0时，则；I=1；当。=n时，则zl=0<1；

最大值是1,故c错误；

又寸于D：AP-AC=8cos0+8+8sin0=8V2sin（8+?）+8,

■'96[0,n],则0+34€LI4^，Y4」|<

则当e+：=g,即e=：时，sin（e+9取到最大值1,

.■■AP■尼最大值是8+8或，故D正确；

故选：AD.

【点睛】方法定睛：1,平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于"形"，通过作出

向量，结合图形分析；二是基于"数"，借助坐标运算来实现.

2.正确理解并掌握向量的概念及运算，强化"坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、

方程思想与转化思想的应用.

【变式1-3]4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，

点P是正方形ABCD所在平面内一点,|OP|=1,若而=AAB+nAD.

（1）4的取值范围是—；

（2）当；I+〃取得最大值时,|AP|=

【答案】口]2V2+1

44

【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程，由P的轨迹方程可知1<x<3,

即1W44W3从而得第一问答案将Z力代入P的轨迹方程得("1)2+-界=喜，

(4=-+-cos&_

设：：，。€[0,2砌，利用三角函数求得当。=泄，2+四取最大值，代入即可得

u=-+-sind

<24

第二空答案.

【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示：

由|而|=1可得P的轨迹是以。(2,2)为圆心，1为半径的圆,

设P(x,y),则有(x-2产+(y-27=1,

所以而=(x,y),

又因为四=(4,0),同=(0,4),

所蝶聋.

由P的轨迹方程可知1<x<3,

BP1<4A<3,所以3waW；,

所以a的范围为：[i；

将[；:,代入(X_2)2+(y-2)2=1,得("#+(“_]=?

所以点(九4)在圆(x-|)2+O-1)2=2上,

(A=-4--cosO

设｛\tfee[0,2n),

则入+/z=14-1(sin0+cos。)=14-,

所以当"押，取最大值，此时;I=〃=9,

所以而=AAB+（+AD）,

iiAD=—8AB

所以|同2=（竽）2（荏+而）2=9+4V2=（2V2+I）2,

所以|而|=2V2+1.

故答案为：日勺；2V2+1

44

【点睛】方法点睛：对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量

的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度.

【变式1-3]5.（2023•全国•高三专题练习）在直角梯形ABCD中,AB1AD.AB//DC,AD=

DC=1MB=2动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上或圆内移动设而=AAD+

6R）,则M+：加最大值是.

匚

【答案】J

【分析】建立合适的直角坐标系，求出各个点的坐标，根据点到直线的距离公式求得圆C的

方程，再求出P点坐标，建立关于尢〃的不等式，令t=2+4代入不等式，根据判别式大于

零可得t的范围，化简然+：川为关于2的二次函数，开口向下，可取得最大值，求出最大值

时尢〃」的值可证明其存在,即可得出结果.

【详解】解：以力为原点，分别以方向为x,y轴，建立如图所示直角坐标系：

所以4(0,0),B(2,0),C(l,l),0(0,1),所以而=(0,1),AB=(2,0),

因为圆C直线BD相切，而%D：x+2y-2=0,圆心C(l,l),

所以半径r=蠢=g，所以圆C：(x-l)2+(y-l)2=i,

因为而=AAD+fiAB=2(0,1)+〃(2,0)=(2%;I),

即P(2〃,/l),因为动点P在圆C上或圆C内移动，

所以(2〃-+Q-.，设t=A+〃，则A=t一,

所以不等式可化为：(2〃-l)2+(t-l-M)2<i,

所以5/一(2t+2)〃+(t-+gw0,易得不等式有解，则A20,

所以(2t+2)2-4X5x((t-I)2+Q>0,即t?-3t+2<0,解得1<t<2,

所以原式下+汾=M+“一乂=_*+他

=--(A--)2+-t2<-t2,

2\1074040

所以当t=2"=M即屋时，3+9〃)=黑

iu□□\z✓max1V

故答案为：意

【点睛】思路点睛:该题考直向量结合直线与圆的综合应用，属于难题，关于该题的思路有：

(1)图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；

(2)得到关于;1,4的不等式中没有；I-H,所以取t=a+4,建立九〃之间的关系；

(3)用判别式求得t的范围，化简所求式子至二次函数的形式；

(4)根据二次函数的最值及t的范围求出最值.

♦类型4等和线法法

等和线原理：OA=XOB+fiOC<=>a+〃=1

OF=XOB+jtzOCo4+〃=mm=黑,

【例题1-412023•全国•高三专题练习旧知4B、C是圆。:/+y2=4上的三点々OB=

斗,CO的延长线与线段48交于点。,若而=mOA-^nOB,则m+九的取值范围为

【答案】

【详解】解法一：如图1,不妨设4（2,0）,8（-1,次）,。（285/25m的，其中ae卜兀,一,，

贝！J而=(2cosa,2sina),oX=(2,0),OB=(-1,73),

因为0?=mOA+nOB，所以(2cosa,2sina)=(2m,0)+(一n，8n),从而[24^:,:北。

所以m=^sina+cosa,n=乎sina,故m+九=V3sina4-cosa=2sin(a+看)/因为aG

一兀3

,—，故sin(a+.)W[-1,即m+n£[-2,—1].

所以a

oL6o

解法二：如图2，由等和线定理，当点C与点G或点。2重合时,m+n取得最大值，设直线。停2

与直线。。交于点E,/-A0B=y=>乙BOD=g=\0D\=\0B\-cos乙BOD=1=>\0E\=1n

㈣=1

\0D\'

所以巾+n的最大值为-1；将直线4B向下平移至直线使（与圆。相切于点,

当点C与。3重合时，m+兀取得最小值，当点C与重合时，m+71取得最小值,

题型2向量数■积最值取值范围问题

*E划重点

求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）

（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；

（3）利用向量三角不等式

♦类型1定义法

【例题2-1】（2023•全国•高三专题练习）如图，△ABC中，“=彳，4C=2,BC=后+夜.

在44BC所在的平面内，有一个边长为1的正方形力DEF绕点力按逆时针方向旋转（不少于1

周），则荏•丽的取值范围是（）

【答案】A

【分析】由余弦定理求得4B=2V2，由正方形4CEF的边长为1，求得4E=牝乙DAE=45°,

利用向量的数量积的公式，化简得到荏-BD=AE-（AD-AB）==1-4cos/B4E,结合

COSNBAEG[-1,1],即可求解.

【详解】在^ABC中，乙C=三，AC=2,BC=强+&,

4

由余弦定理得4'2=AC2+BC2-2AC-BCcosC=4+（V6+V2）2-2X2（V6+夜）x

¥=8,

所以4B=2V2,

又由正方形/WEF的边长为1,可得4E=a/DAE=45。，

贝（IAE'BD=AE-（AD-AB）=AEAD-AE-AB=\AE\\AD\COS^DAE-

\AE\\AB\COS^BAE

=V2x1xcos45°—V2x2&cos4BAE=1—4cosZ_BAE,

正方形ADE尸绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），可得cos/BAEG[-1,1],

所以1-4COSNB4Ee[-3,5j,即荏■前的取值范围是[一3,5].

故选：A.

【变式2-1]1.（2023・全国•高三专题练习）在4ABC中，2=60。，BC=，。为^ABC

的外心，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，且前2+市2+次2=-则a.OB+OB-

OC+OC-OA=.

【答案】-4

【分析】先求出I市I=|0B|=|oc|=2.设44。8=a/BOC=丛则〃0C=2n-a-d由

0D2+0E2+OF2=4,利用二倍角公式求出cosa+cos。+cos(a+0)=-1,根据数量积

的定义直接求解.

【详解】如图示，作出△ABC的外接圆O,设半径为R.

由正弦定理得：生；=2R,即有=2R,解得：R=2,所以|市|=\0B\=|0t|=2.

51nzioinou

设乙4。8=a,LBOC=3,则〃。C=2TT—a-

所以OAOB^-OBOC+OCOA=\OA\-\OB\cosa+\0B\•|OC|cos/?+\0C\•

|flX|cos(2n—a-/?)

=4cosa+4cos£+4cos(a+£).

因为0为AABC的外心，所以乙4。。=^AOB=*所以|而|二|0C4|cosj=2cos|.

同理：\0E\—2cosp|0F|=2cos

因为^^2+市2+而2=4,所以@COS9+(2cosf)+(2cos=4,

所以COS2]+COS2g+COS2=1.

由二倍角的余弦公式可得：cosa+cos。+cos(a+£)=-1.

所以瓦？•OB+OF•OC+OC•0^4=4cosa+4cos£+4cos(a+夕)=—4.

故答案为：-4.

【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：

Q)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理

【变式2-1]2.(2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试)"圆幕定理”是

平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条

相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆。的半径2，点P是圆。内的定点，

且OP=V2,弦AC,BD均过点P,则下列说法错误的是()

A.同•无为定值B.OA-沆的取值范围是[-2,0]

C.当AC1BD时，AB■前为定值D.|前“而忖勺最大值为12

【答案】B

【分析】过。,P作直径EF,利用向量加减几何意义得对•无==-(|OF|-|OP|)(|OF|+

|而I)判断A；若M为4c中点，连接OM,应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、

圆的性质得a-OC=2OM2-4进而求范围判断B根据垂直关系及前CD=(AP+PB)-

(CP+PD),数量积得运算律化简判断C；若N为BD中点,连接ON,圆的性质易得

2

[AC\2-\BD\=16(4-。用2).(4-。22),应用基本不等式及0河2+。722。「2求最值，

注意取值条件判断D.

【详解】如图，过O,P作直径EF,

由题意可,无=-\PA\\PC\=-\PF\\PE\=-\OF-OP\\OE+~PO\,

所以两•正=-\OF-OP\\-(OF+0?)\=-\OF-OP\\OF+OP\

=-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)=-(|OF|2-\OP\2)=-2为定值，A对；

若M为4c中点，连接。M,则

OA-OC=(OM+MA)■(OM+MC)=OM2+OM-(MA+MC)+MA-MC

=OM2-(4-OM2)=2OM2-4,

由题意0<OM2<OP2=2,则成•OCG［一4,0］,B错；

若4c1BD,故而CP=APF^D=O,

贝！|荏~CD=(AP+PB)■(CP+PD)=AP-CP+~PBCP+AP+PBPD,

又或PC=-2,则而CP=-2,同理可得丽•丽=-2,故而•而=-4,C对;

若N为BD中点,连接ON,则

|前『•\BD\2=16(4-OM2)-(4-ON2)<16■空电:一)：,

当且仅当4-OM2=4-ON2,即。“2=ON?时等号成立，

22

此时。“2+0N2>OP=2,BP|4C|•|而『<144,贝［||亚|•|而|<12,

综上,当且仅当。"2=0N2=1时|一|.|前|的最大值为12,D对.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项

数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.

【变式2-1]3.(2023春福建福州•高三校考阶段练习)圆。为锐角44BC的外接圆，AC=

24B=2,点P在圆。上，则而•南的取值范围为()

A.[-1,4)B.[0,2)C.[-1,2)D.[0,4)

【答案】C

【分析】把前•前转化为前-AO+OP-AO，由余弦定理、数量积的定义得前•而=产-1

讨论P的位置得前•AOe[-1,2r2-J结合锐角三角形BC=2rsm^BAC<迷恒成立，即

可得范围.

【详解】由△ABC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，

又加AO=(Bd+OP)Ad=BdAd+OP-Ad,而4c=2AB=2,若外接圆半径为r,

贝U2r2(1—cosZ.AOB)=2r2(l-cos2C)=1,故cos2c=1—,且2r>2,即r>1,

由B。■AO=\BO\\AO\cos/.AOB=r2cos2c=r2—|,

对于诃■前宜P在圆。上,当AP为直径时而•布=",当4P重合时和A0=-r2,

所以而•AOe[-r2,r2],

综上，丽.前，

锐角三角形中NB4C<90°,则BC<\/AC2+AB2=圾,即BC=2rsin/.BAC<遍恒成立，

所以1<r<苧,则2r2_1<2恒成立,

综上,BP-AO6[―p2).

故选:C

【变式2-1】4.(2023•全国•高三专题练习)已知△4BC中，乙4=60。，4B=6,4C=4,

0为4ABC的外心,若布=AAB+nAC,贝！U+〃的值.

【答案】J

【分析】由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，过O作。。1AB.OEVAC,已知等式两

边同乘以前,结合数量积定义得64+2〃=3,同理得3/1+4〃=2,从而两式联立即可求得

A+〃的值.

【详解】由题意可知，。为△ABC的外心，

设半径为r,在圆。中，过0作0。1AB.0E1AC,垂足分别为。，瓦

因为同=AAB+nAC,两边乘以南,即函■AB=AAB2+nAC-AB,

6

而，前的夹角为/OAD,而cosNQW=^=1=|,

则rx6x7=364+〃x4x6xT，得6A+2〃=3①，

同理而=AAB+〃前两边乘正,即亚•AC=AAB-AC+nAC2,cos^OAC=|,

贝（Irx4x：=/lx6x4x1+16/z,彳导34+4〃=2②，

①②联立解得4=：,“=；,

7O

所以，+〃♦+沪M

故答案为：3

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将而=AAB+〃而两边分别乘以前，正，结合数量

积定义化简得到关于尢〃的方程，求得答案.

【变式2-1]5.（2023・全国•高三专题练习）如图，菱形力BCD的边BC上有一点E,边DC上

有一点F（E产不与顶点重合＞\DF\AEF是边长为国的等边三角形，则瓦5-BE

的范围是

AD

【分析】过4作4G1BC于G,AH1CD于H,根据已知得出Rt△AGE=Rt△AHF,即可得

出NG4H=Z.EAF，则”=，设4B=a,BE=b，可得|<b<a，且根据余弦定理在△ABE

可得3=a2+b2-ab,i^ab=S,根据:<b<a结合不等式性质得出S<X<2S,设函

数g(x)=9+%-2S，根据对钩函数单调性得出g(2S)<g(F)<g(s),根据3=a2+b2-

ab结合=S得出3=^-+b2-2S,即可由g(2S)</非)<g(S)解出S的范围，再根据

向量数量积的定义得出而BE=lab=S即可得出答案.

【详解】如图所示：过4作4G1BC于G,AH1CD于H,

・••ABC。为菱形，

AG=AH,

•・•△4EF是等边三角形，

AE=AF,Z.EAF=-3，,

・•・Rt△AGE=Rt△AHF,

・・・/LGAE=乙HAF,

・・・£.GAE+/.EAH=Z-HAF+Z-EAH,即4G/1H=Z.EAF=g,

二在四边形G4HC中，“=2兀一Z.AGC-/.AHC-/.GAH=2"：*一^=亨，

c八2nli

乙B=7T-ZL=7T--------=-,

33

设4B=a,贝!]BC=a,BG=ABcos乙B=1,

vBG<BE<BC,设BE=b,

9vbvQ

2'

22

在aABE根据余弦定理：3=Q2+/?2—2abcos^=ab—ab,

BA•BE=abcos-3=-2ab,

设工ab=S,贝！Jab=2s,则3=a24-h2-ah=+b?-2ab=与+〃一2S,

W<bVa,且b>0,

2

・•・2<b<ab,

・•・b2<ab=2S<2b2,即S<b2<2S,

设函数g(x)='+%-2S,

根据对钩函数性质可得g(x)在(S,2S)上单调递减，

•••5(25)<gg<g(S),即2s<^-+b2-2S<3S,即2s<3<3S,解得SG(1,|),

则称雇=*=Se(W)，

故答案为：(1,|).

♦类型2基底法(线性表示)

【例题2-2](2023•全国•高三专题练习)已知菱形ABCD的边长为2,^BAD=120°,点E

在边BC上，BC=3BE,若G为线段DC上的动点，则而•林的最大值为()

A.2B.-

3

C.-D.4

3

【答案】B

【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知，如图所示

因为菱形ABCD的边长为2,ABAD=120°,

所以|而|=|而|=2,荏-AD=|万||而|cosl20。=2x2x=-2,

设而=4觉€[0,1],则

AG=AD+DG=AD+ADC=AD+AAB,

因为BC=3BE,所以屁=|BC=

…,...♦--»..，1---»

AE=48+BE=ZB+-AD,

3

1

'-z'>，'(♦1''1fr■■■■»_A/一，…，

AG-AE=(AD+XAB}•(48+,㈣=-AD2+XAB24-(1+^)AD-AB

=ix^+Ax^+(l+|)x(-2)=^-|,

当4=1时，而♦荏的最大值为*

故选：B.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出而，版，结合向量数量积定

义和运算即可.

【变式2-2】1.(2023•全国•高三专题练习)在直角△4BC中,AB1AC,AC=W