高等数学 课件 王震 第六章 定积分的应用

第六章定积分的应用6.1定积分的元素法6.2定积分在几何学中的应用目录二、定积分在几何上学中的应用——平面图形的面积一、定积分的元素法——微元法利用微元法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用自学一、微元法回顾曲边梯形求面积的问题abxyo引例曲边梯形的计算问题？……＋＋记作面积微元即1、什么问题可以用定积分解决?1)所求量

U是与区间[a,b]

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过若干小区定积分定义一个整体量;求和获得：间3)记2、如何应用定积分解决问题?第一步根据问题的具体情况，选取一个变量例x为积分变量，并确定它的变化区间如[a,b].第二步设想把区间[a,b]分成若干小区间，取其任一区间[x,x+dx],求出局部量的近似值U的微元第三步以所求量U的微元dU作为积分表达式，在区间[a,b]作定积分2、如何应用定积分解决问题?这种分析方法成为微元法微元的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等*二、平面图形的面积面积元素

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x

=

a,x

=

b(a

<

b)及

x

轴所围成的平面图形的面积面积微元法：yo*若f(

x

)有正有负，则曲边梯形面积为xyoab*直角坐标系：X—型平面图形的面积xyoab面积元素：所围成的平面图形的面积：*cxyoab一般地，*直角坐标系：Y—型平面图形的面积dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为xyodc一般地，*围成的平面图形的面积为dcxyodcxyo一般地，*例1

*解选x为积分变量,例1

由得交点例2

解由对称性知,例2

总面积等于第一象限部分面积的4倍,*利用圆面积解由对称性知,例2

总面积等于第一象限部分面积的4倍,xya*例3

*解两曲线的交点例3

此法麻烦。*此题选y

为积分变量比较好,选择积分变量的原则：

(1)尽量少分块；(2)积分容易.*例4

围成的平面图形的面积.

*例4

围成的平面图形的面积.

xoy解

由对称性,交点*例5*例5解求曲线与以及轴围成的图形面积.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求曲线与直线以及围成的图形面积.主观题10分极坐标系：求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为

某些平面图形，用极坐标来计算它们的面积会比较方便，而用直角坐标却往往非常繁琐.对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2

所围图形面积.作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂

主观题10分

第六章定积分的应用6.2定积分在几何学中的应用(二）目录一、定积分在几何上学中的应用——旋转体的体积二、平面曲线的弧长一、旋转体的体积2圆柱圆锥圆台最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。◆旋转体的定义旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴。可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴xyo旋转体的体积为取积分变量为xoxyP(h,r)◆旋转体的体积计算公式例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥，计算圆锥的体积。解：如图所示直线OP的方程为，

所求体积为

例2计算由曲线y=x2

与x=y2

所围成的平面图形绕y

轴旋转一周而成的立体的体积。例2计算由曲线y=x2

与x=y2

所围成的平面图形绕y

轴旋转一周而成的立体的体积。解：如图所示V2V1作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂绕x轴旋转一周◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本此处添加答案解析答案解析主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式可为此题添加文本、图片、公式等解析，且需将内容全部放在本区域内。正常使用需3.0以上版本此处添加答案解析答案解析轴绕y轴旋转一周轴绕y轴旋转一周主观题10分21例3：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周的体积。21例3：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周的体积。二、平面曲线的弧长定义:

若在弧AB上任意作内接折线

,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限

,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):以对应小切线段长代替小弧段长因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):机动目录上页下页返回结束一段弧的长度.相应x于从a到b的例4

计算曲线解:一段弧的长度.相应x于从a到b的例4

计算曲线例5.

计算摆线一拱的弧长.例5.

计算摆线一拱的弧长.解:作答正常使用主观题需2.0以上版