高中数学必修一函数知识点和练习

第第页高中数学必修一函数知识点和练习函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数*，在集合B中都有唯一确定的数f(*)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(*)，*∈A．其中，*叫做自变量，*的取值范围A叫做函数的定义域；与*的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(*)|*∈A}叫做函数的值域．

2．定义域：能使函数式有意义的实数*的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数需要大于零；

(4)假如函数是由一些基本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的*的值组成的集合.(5)指数、对数式的底需要大于零且不等于1.(6)指数为零底不能等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.3.相同函数的判断方法：〔满意以下两个条件〕①定义域全都(化简前)

②表达式相同〔与表示自变量和函数值的字母无关〕；

4．值域：先考虑其定义域

〔1〕图像观测法〔掌控一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、

ya*

b

(a,b0)三角函数等的图像，利用函数单调性〕*

〔2〕基本不等式〔3〕换元法〔4〕判别式法5.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(*),(*∈A)中的*为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(*，y)的集合C，叫做函数y=f(*),(*∈A)的图象．C上每一点的坐标(*，y)均满意函数关系y=f(*)，反过来，以满意y=f(*)的每一组有序实数对*、y为坐标的点(*，y)均在C上.(2)画法描点法

图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换6．区间的概念

〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间〔2〕无穷区间〔3〕区间的数轴表示．

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素*，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f〔对应关系〕：A〔原象〕B〔象〕”

对于映射f：A→B来说，那么应满意：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。8．分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值状况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．9．复合函数

假如y=f(u)(u∈M),u=g(*)(*∈A),那么y=f[g(*)]=F(*)(*∈A)称为f、g的复合函数。

函数的性质

1．函数的单调性(局部性质)〔1〕增函数

设函数y=f(*)的定义域为I，假如对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量*1，*2，当*1*2时，都有f(*1)f(*2)，那么就说f(*)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(*)的单调增区间。〔2〕减函数

假如对于区间D上的任意两个自变量的值*1，*2，当*1*2时，都有f(*1)＞f(*2)，那么就说f(*)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(*)的单调减区间。留意：函数的单调性是函数的局部性质；〔3〕图象的特点

假如函数y=f(*)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(*)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

〔4〕函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：

○1任取*1，*2∈D，且*1*2；○2作差f(*1)－f(*2)；

○3变形〔通常是因式分解和配方〕；○4定号〔即判断差f(*1)－f(*2)的正负〕；

○5下结论〔指出函数f(*)在给定的区间D上的单调性〕．(B)图象法(从图象上看升降)(C)导数法

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(*)]的单调性与构成它的函数u=g(*)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”

留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成其并集.

2．函数的奇偶性〔整体性质〕〔1〕偶函数

一般地，对于函数f(*)的定义域内的任意一个*，都有f(-*)=f(*)，那么f(*)就叫做偶函数。〔2〕奇函数

一般地，对于函数f(*)的定义域内的任意一个*，都有f(-*)=-f(*)，那么f(*)叫做奇函数。

注：假如奇函数在*=0处有定义，那么f(0)=0〔3〕具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．〔4〕函数奇偶性判定方法：(A)定义法

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2求出f(-*)，与f(*)进行比较；

○3作结论：假设f(-*)=f(*)，那么f(*)是偶函数；假设f(-*)=-f(*)，那么f(*)是奇函数．

留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的须要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，再依据定义判定。

(B)借助函数的图象判定.3、函数的解析表达式

〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.

〔2〕求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法4、函数最大〔小〕值

〔1〕一般的，设函数yf(*)的定义域为I，假如存在实数M满意

〔a〕对于任意的*I,都有f(*)M；〔b〕存在*0I，使得f(*0)M那么称M为yf(*)的最大值。〔2〕求函数最值的方法

○1利用二次函数的性质〔配方法〕○2利用图象求函数的最大〔小〕值

○3利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值：

假如函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=f(*)

在*=b处有最大值f(b)；

假如函数y=f(*)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增那么函数y=f(*)在*=b处有最小值f(b)；

函数的概念

一、选择题

1．集合A＝{*|0≤*≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，以下不表示从A到B的函数是()

A．f:*y

112

*B．f:*y*C．f:*y*D．f:*y*233

3

2．某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)t3t60，时间单位是小时，温度单位为℃，t0表示12:00，其后t的取值为正，那么上午8时的温度为()A．8℃

B．112℃C．58℃

D．18℃

3．函数y*＋1＋*的定义域是A．〔-1，1〕

B．[0，1]C．[-1，1]D．〔-，-1〕〔1，+〕

4．函数yf(*)的图象与直线*a的交点个数有()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个

D．可能两个以上

5．函数f(*)

1

的定义域为R，那么实数a的取值范围是()

a*24a*3

B．[0,]C．[,)D．[0,)

A．R

343434

二、填空题

6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数*(个)的函数，那么y＝________，其定义域为________．

7．函数y*＋11

2－*(用区间表示)________．

三、解答题

8.求函数y＝*＋

1

*－4

9.已知函数f(*)的定义域为[0，1]，求函数f(*a)f(*a)的定义域(其中

0a

12

).10.已知函数f(*)*2*1(1)求f(2)(2)求f(1*

1)(3)假设f(*)5,求*的值.

函数相等、函数的值域

1.以下各题中两个函数是否表示同一函数?

(1)f(*)1,g(*)*0

()

〔2〕f(*)*24

*2

,g(*)*2()

〔3〕f(*)*2

2*,g(t)t2

2t()

〔4〕f(*)|*1|,g(*)

*1(*1)

1*(*1)()

2.以下函数中值域是(0,+)的是

A．y2*1(*0)B．y*2

C．y

12

*21D．

*

(*0)

3.设函数f(*)*23*1,那么f(a)f(a)

A．0B．6aC．2a2

2D．2a2

6a2

4.已知f(*)满意2f(*)f(*)3*2,且f(2)

16

3

,那么f(2)*)*2

5.已知函数f(1*

2

(1)计算f(2)与f(1)(2)计算f(3)与f(123

)

(3)计算f(1)f(2)f(3)...f(2022)f(1)f(1)f(1)1234...f(

2022

)

6.求以下函数的值域:

(1)y

2*4*3

(2)y*24*6,*[1,5)(3)y1*2

,*{2,1,0,1,2}

7.求函数f(*)2*34*的定义域和值域.(提示:设t4*)

函数的表示法

1.某同学离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下列图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，那么下列图四个图形中较符合该同学走法的是(

)

2.已知f(2*)2*,那么f(*)

A．2*B．*C．

*

2

D．4*

3.已知函数f(*)＝*＋p*＋q满意f(1)＝f(0)＝0，那么f(4)的值是()A．5

B．－5C．12

D．20

2

4.已知f(*)是一次函数,假设2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1,那么f(*)的解析式为A．f(*)3*2B．f(*)3*2C．f(*)2*3

D．f(*)2*3

5．定义域为R的函数f(*)满意f(*)2f(*)2*1，那么f(*)＝()

1

B．2*－C．2*－1

3

1

D．－2*＋3

A．－2*＋1

6.假设g(*)12*,f(g(*))1*2

*2

,那么

f(12)的值是A．1

B．15C．4D．30

7.函数f(*)的图象经过点(1,1),那么函数f(*4)的图象过点8.已知f(*)是二次函数,f(0)0,f(*1)f(*)*1,求f(*).

9.假设f(f(f(*)))27*26,求一次函数f(*)的解析式.

分段函数与映射

*2

＋3(*＞0)，1．已知f(*)＝

1(*＝0)，

(－4)))＝()

*＋4(*＜0).

那么f(f(fA．－4

B．4C．3

D．－3

2已知函数f(*)2*1(*1)

*22*(*1)

,

(1)试比较f(f(3))与f(f(3))的大小.(2)假设f(a)3,求a的值.

3.画出以下函数的图象,并写出值域.

(1)f(*)|*|(2)f(*)|*22*|(3)f(*)|*5||*3|

函数的单调性

1.在区间〔0，+∞〕上不是增函数的是〔〕

A.y=2*-1B.y=3*-1C.y=

2

22

D.y=2*+*+1*

2.设函数f(*)(2a1)*b是〔-∞，+∞〕上的减函数，假设a∈R,那么〔〕

A.a

1111B.aC.aD.a2222

2

3.函数y=4*-m*+5在区间2，在区间，那么m=________;上是增函数，2上是减函数，

4.依据图象写出函数y=f(*)的单调区间：增区间；减区间：

5.函数f(*)=a*-(5a-2)*-4在2,上是增函数,那么a的取值范围是______________.

2

6.判断函数y*

4

在在2，上的单调性,并用定义证明.*

7.已知函数f(*)是定义在[1,1]上的增函数,且f(*1)f(13*),求*的取值范围.

函数的最大〔小〕值与值域

1.当*[0,5]时,函数f(*)3*2

4*1的值域为

A.[f(0),f(5)]B.[f(0),f(2)]C.[f(233

),f(5)]D.(f(0),f(5)]2.函数f(*)

1

*1

在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是A.1

15

,1B.1,

5C.17,1D.1,17

3.函数f(*)2*1*的值域是

A.[1,)B.(,122

]C.(0,)D.[1,)

2*4.f(*)

,0*12,1*2的值域是

3,*2A.RB.[0,3]C.[0,)D.[0,2]{3}

5.假设0t

1

4

,那么代数式1tt的最小值是

A.2B.

15

C.2D.04

6.函数yf(*)的定义域为[4,6],且在区间[4,2]上递减,在区间(2,6]上递增,且

f(4)f(6),那么函数yf(*)的最小值是最大值是7.函数y2*21,*N*的最小值为8.已知函数y*22*3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.

函数的奇偶性

1．下面说法正确的选项〔〕A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象肯定是奇函数的图象

2．函数f(*)*2*是

A．偶函数B．奇函数C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数

3．函数y*|*|p*，*R是

〔〕

A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．与p有关

4．假如偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[b,a]有

〔〕

A．最大值B．最小值C．没有最大值D．没有最小值

5．假如函数f(*),*R是奇函数,且f(1)f(2),那么必有

A．f(1)f(2)B．f(1)f(2)C．f(1)f(1)D．f(1)f(2)

6．函数f(*)在R上为奇函数，且f(*)*1,*0，那么当*0，

f(*)

7．〔12分〕判断以下函数的奇偶性

①f(*)*3

1

*

；②f(*)*12*；

③f(*)*4

*；④f(*)*2

|*2|2。

8．〔12分〕已知f(*)*2022

a*3

b

*

8，f(2)10，求f(2).

单元测试

1．设集合P=*0*4,Q=y0y2,由以以下对应f中不能构成A到B的映射的是．．〔〕

12

13

23

18

A．y*B．y*C．y

*D．y

*

2．以下四个函数:(1)y=*+1;(2)y=*+1;(3)y=*-1;(4)y=的是〔〕

2

1*

,其中定义域与值域相同

A．(1)(2)B．(1)(2)(3)C．2)(3)D．(2)(3)(4)

c*

3．已知函数f(*)a*b*

7

2,假设f(2022)10,那么f(2022)的值为〔〕

A．10B．-10C．-14D．无法确定

(ab)(ab)f(ab)1(*0)

(ab)的值为〔〕，那么

21(*0)

4．设函数f(*)

A．aB．bC．a、b中较小的数D．a、b中较大的数5．已知函数y=*-2*+3在[0,a](a0)上最大值是3,最小值是2,那么实数a的取值范围是〔〕A．0a1B．0a2C．a2D．0a2

6．函数yf(*)是R上的偶函数，且在〔-∞，0]上是减函数，假设f(a)f(2)，那么实数a的取值范围是〔〕

A．a≤2B．a≤-2或a≥2C．a≥-2D．-2≤a≤27．奇函数f(*)的定义域为(,0)(0,)，且对任意正实数*1,*2(*1*2)，恒有

f(*1)f(*2)*1*2

0，那么

2

A．f(3)f(5)B．f(3)f(5)C．f(5)f(3)D．f(3)f(5)

8．已知函数y=f(*)在R上为奇函数,且当*0时，f(*)=*-2*,那么f(*)在*0时的解析式

2

是〔〕

A．f(*)=*-2*B．f(*)=*+2*C．f(*)=-*+2*D．f(*)=-*-2*9．已知二次函数y=f(*)的图象对称轴是**0,它在[a,b]上的值域是[f(b),f(a)],那么〔〕

A．*0bB．*0aC．*0[a,b]D．*0[a,b]10．假如奇函数y=f(*)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上〔〕A．增函数且有最小值-5B．增函数且有最大值-5C．减函数且有最小值-5D．减函数且有最大值-5

*

22

2222

13．已知函数f(*)

1*

，那么f(1)f(2)f(3)f()f()

2

3

11

14．设f(*)=2*+3，g(*+2)=f(*-1)，那么g(*)=．15．定义域为[a23a2,4]上的函数f(*)是奇函数，那么．16．设f(*)*33*,g(*)*22，那么g(f(*))．

17．作出函数y*2*3的图象，并利用图象回答以下问题：

2

(1)函数在R上的单调区间；(2)函数在[0,4]上的值域．

*