中南大学 数学建模 lingo matlab 优化建模 数模培训论文 基金投资优化模型

基金的优化投资摘要校基金会面临最有投资方案的选择，本文在尽力满足题目要求的前提下，通过分析银行存储与购置国库券的原理及过程，对已有的数据进行归类和处理，以我国资本市场的实际情况为依据，对题目进行适当的简化和补充，建立合理的基金优化投资模型，提出实际可行的投资最优方案。针对问题一，通过单纯存款方式获得最佳的投资方案。我们把年内资金从一个资金起点到一个资金终点转化成了一个资金起点到多个资金终点，并提出了存入年的最大收益率。考虑当第年有元到期的基金取出后，可以得到的最大本息和。可以将元分为份，分别记作，并将元存入银行k年，到期时取出，将本息和作为第年的奖金，第n年时取出的本息和扣除当年的奖金外，还要生下原始本金元。针对问题二，通过存款和购买国库券的方式获得最佳的投资方案。仍将分成共份，可作存款或购买国库券用，其本息和用作第k年的奖金，最后一年的本息和除作奖金外，还应留下基金本金元。由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，巧妙的将这笔钱以半年定期存入银行。这样若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年，因此购买一个k年期的国库券实际需要k+1年。针对问题三，基于百年校庆的最佳投资模型。由于校庆，因此第三年的奖金应比前两年的奖金增加0.2，而校庆之后各年份的奖金恢复校庆前的水平。由前面的分析可知，存款与购买国库券的混合模式可以获得更优的投资方案，可采取前面的记号和处理方法，只需将第三年的奖金额增加20%即可。关键词：基金优化投资多个资金终点最大收益率问题重述1.1基本信息考虑某校基金投资合理安排的数学建模问题。该校基金会可供投资的基金总额为M元，在年底一次性到位，可以通过存入银行获得利息或者是通过购买国库券的方式获利，并将每年获得的利息作为奖金发给教师们，每一年发放的奖金数额是固定的。银行存款可分为活期，半年定期，一年定期，两年定期，三年定期和五年定期六种存款方式，存款所得的利息不按复利计算，即每一笔存款每年获得的利息在下一年的存储中不能并入本金。购买国库券也同样可以获得利息。国库券每年至少发行一次，但是发放的时间不定。国库券的种类分为两年，三年和五年期，三种期限的国库券每一年内均有发售，我们假设只要想买一定可以买到。国库券利息的计算方式和银行存款的方式相同，都是不计复利。学校要通过投资获利，可以仅进行单纯的银行存款或国库券的购买，也可以采取同时存款和购买国库券的混合方式。1.2问题提出请根据学校基金会投资的选择方案以及相关的数据资料，利用数学建模的方法解决下述问题：1、当仅采用存款的方式时，建立基本模型求出最优方案，并将结果扩充到n无限的情况，再利用得到的模型分别解出当本金M为1×107元，n分别为10年和15年时的具体优化结果。2、若同时采取存款和购买国库券的混合方式时，建立模型并获得最优方案。将结果扩充至n无线的情况并具体的求出当本金为1×107元，n分别为10年和15年时的具体优化结果。3、学校预计在资金到位的三年后举行百年校庆，为了庆祝，校基金会决定该年的奖金能在上一年度的基础上提高γ，并且算出当本金为1×107元，n为10年，γ=0.2时的具体优化结果。问题分析2.1问题一的分析设将一元钱存入银行年（包括中途转存），到期时本息最多可达元，则假如第年有元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达。现将元分成份，分别记为，，…，。将存入银行年，到期时取出，将本息和作为第年的奖金（第n年本息和除作奖金外，还要留下原始本金M）。即除了最后一年，之前的n-1年的本息和都是相同的，最后一年的本息和为本金M与当年所发的奖金之和。设将1元钱存入银行年，年存期中有个一年期，个二年期，个三年期，个五年期，记（，，，）为其本息和，则（，，，） 其中，表示年定期的资金增长系数()，且其中k={（，，，）|，，，，}，表示非负整数集。通过Lingo9.0编程可以得到。实际上，这个问题还可以用其它方法求解，经过分析可以看出任意交换二个存期的次序不改变本息和。例如，先存一年期后存三年期与先存三年期后存一年期，到期时本息和是一样的。2.2问题二的分析仍将分成，，…，共份，可作存款或购买国库券用，其本息和用作第k年的奖金，最后一笔除作奖金外，还应留下基金本金。由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年，因此购买一个年期的国库券实际需要+1年。通过分析可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年定期、及两年国库券、三年国库券和五年国库券，而不应选择三年定期和五年定期存款。为了叙述方便，把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时资金增长系数为（半年定期利率+1）×（半年活期利率+1）×（三年国库券利率+1）的乘积，把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款，到期时资金增长系数为（半年定期利率+1）×（半年活期利率+1）×（五年国库券利率+1）的乘积，以此类推。2.3问题三的分析问题三的分析与问题一与问题二的分析方法类似，可以在综合问题一与问题二的基础上进行研究，由前面的分析可知，根据每年奖金的数目与每年取出要发给工人的存款数目相同可以得到，，，，，，，的关系式，然后根据从而可以导出与，，，的关系从而可以表示出，然后利用问题一和问题二的成果可以求出。模型假设事实上，问题的本身存在着一些不确定因素，如基金到位的时间，每年奖金发放的日期，银行利率的变动情况等。为使问题简化，我们给出如下假设：该笔资金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的，记为。仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假设三种期限的国库券每年至少发行一次，且只要想买，就一定能买到。（3）银行存款利率和国库券的利率按照表中给出的数据，且假设在n年内不发生变化。（4）国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收取2‰的手续费。（5）假设用前年的本息和作为奖金，最后一年的本息和作为奖金以及保留本金，这样就可以看作是将利息用作奖金。（6）不考虑资金的时间价值四、符号说明：进行投资获取利润的本金：表示年定期的收益率：每年发放的奖金数额:第k年到期的基金数额:一元钱存入银行年到期时本息最多可达元（包括途中转存）:一元钱存入银行年获得的最大本息的倒数：每年的奖金额与本金的比值:一元钱存入银行年其中存期为j的次数（，，，）：一元钱存入银行K年获得的本息和：表示在第三年奖金增加为其他年份的1.2倍的情况下保持年奖金相同的每年奖金数额：第三年发放的奖金增加的比例模型的建立与求解5.1单纯存款模型5.1.1模型建立设将一元钱存入银行年（包括中途转存），到期时本息最多可达元，则假如第年有元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达。现将元分成份，分别记为，，…，。将存入银行年，到期时取出，将本息和作为第年的奖金（第年本息和除作奖金外，还要留下原始本金）。即除了最后一年，之前的n-1年的本息和都是相同的，最后一年的本息和为本金与当年所发的奖金之和。则应有(5.1.1)(5.1.2) (5.1.3)记：将5.1.1与5.1.2整理可得：； (5.1.4) (5.1.5)则(5.1.4)+(5.1.5)可得： (5.1.6)即： (5.1.7)所以得到、、的表达式：(5.1.8) (5.1.9) (5.1.10)(5.1.10)式给出了n年内每年的奖金额的比值。该式的关键在于如何求出。又因为，所以该式真正的关键在于如何求出。下面我们给出的算法。设将1元钱存入银行k年，因为只有一年、二年、三年、五年定期存款，则我们设年存期中有个一年期，个二年期，个三年期，个五年期，记(，，，）为其本息和，则(，，，)(5.1.11) 其中，表示年定期的资金增长系数()，则有： (5.1.12)其中k={（，，，）|，，，，}，表示非负整数集。上述问题可以表示为如下规划问题：(5.1.13)上式通过lingo9.0编程很容易就能对不同的得到不同的。5.1.2模型求解1、首先计算出，结果如下：i12351.018001.038881.064801.11520对n=10时，利用lingo得到的，然后根据得到。再利用(5.1.1)、(5.1.2)、(5.1.8)和(5.1.9)得到和。具体结果如下：只考虑存款11.0180000.982318215750.3219633.921.0388800.962575211414.1219633.931.0648000.939144206267.7219633.941.0839660.922538202620.6219633.951.1152000.896700196945.7219633.961.1352740.880845193463.3219633.971.1585590.863141189575.0219633.981.1874650.842130184960.3219633.991.2088390.827240181689.9219633.9101.2436710.8040718217313.0219633.9具体的投资方式如下：将215750.3元存为1年定期，211414.1元存为2年定期，206267.7元存为3年定期，202620.6元先存为1年定期再存为3年定期（顺序可以交换，下同），196945.7元存为5年定期，193463.3元先存为1年定期再存为5年定期，189575.0元先存为2年定期再存为5年定期，184960.3元先存为3年定期再存为5年定期，181689.9元先存为1年定再存为3年定期然后存为5年定期，8217313.0元先存为5年定期再存为5年定期。2、对n=15时，利用lingo得到的，然后根据得到。再利用(5.1.1)、(5.1.2)、(5.1.8)和(5.1.9)得到和。具体结果如下：只考虑存款11.0180000.982318215749.58080219633.13387721.0388800.962575211413.36384219633.13387731.0648000.939144206267.03031219633.13387741.0839700.922535202619.25316219633.13387751.1152000.896700196945.03115219633.13387761.1352740.880845193462.66529219633.13387771.1585590.863141189574.40569219633.13387781.1874650.842130184959.66944219633.13387791.2088390.827240181689.31833219633.133877101.2436710.804071176600.67162219633.133877111.2660600.789852173477.66605219633.133877121.2920200.773982169992.05421219633.133877131.3242600.755139165853.48336219633.133877141.3481000.741785162920.50581219633.133877151.3869400.7210127368475.30093219633.133877具体的投资方式如下：将215749.58080元存为1年定期，211413.36384元存为2年定期，206267.03031元存为3年定期，202619.25316元先存为1年定期再存为3年定期，196945.03115元存为5年定期，193462.66529元先存为1年定期再存为5年定期，189574.40569元先存为2年定期再存为5年定期，184959.66944元先存为3年定期再存为5年定期，181689.31833元先存为1年定期，再存为3年定期然后存为5年定期，176600.67162元先存为5年定期再存为5年定期。173477.66605元先存1年定期再存2个五年定期，169992.05421元先存2年定期再存2个5年定期，165853.48336元先存3年定期再存2个5年定期，162920.50581元先存1年定期，再存3年定期，然后存2个5年定期，7368475.30093元存3个5年定期。5.2存款与购买国库券混合模型5.2.1模型建立仍将元分成份，分别记为，，…，。可作存款或购买国库券用，其本息和用作第年的奖教金，最后一笔除作奖金外，还应留下基金本金。由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，所以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和恰好为一年，因此购买一个年期的国库券实际需要年。通过计算我们可以得到如下结果：上式表明，存2个一年期不如一次存1个二年期，存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期，以此类推，存2个三年期不如先存1个一年期再转存1个五年期。下面我们先计算三年、四年、六年定期存款的收益率以及二年、三年、五年国库券的收益率，然后将它们分别比较。通过分析可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年定期、及二年国库券、三年国库券和五年国库券，而不应选择三年定期和五年定期存款。为了叙述方便，把买二年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个三年期存款，到期时收益率为，把买三年年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时收益率为。把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款，到期时收益率为。设将的本息用作第年的奖金，年中有个一年期，个二年期，个三年期，个四年期，个六年期，则到期时资金增长系数为 转化以后的模型就类似于单纯存款的模型了，转化为非线性规划，利用lingo9.0求解，得到不同下的。5.2.2模型求解首先求出，得到如下表格：123461.018001.038881.064901.101101.17230对n=10，利用lingo9.0编程得到不同的K对应的，再根据(5.1.1)、(5.1.2)、(5.1.9)和(5.1.10)以及分别得到，结果如下：考虑存款和购买国库券11.0180000.982318252295.363811256836.68036021.0388800.962575247224.588364256836.68036031.0649000.939055241183.848586256836.68036041.1011000.908183233254.636599256836.68036051.1209200.892124229130.250472256836.68036061.1723000.853024219087.844715256836.68036071.1934010.837941215214.064979256836.68036081.2178790.821100210888.503997256836.68036091.2483820.801037205735.648511256836.680360101.2908200.7747017945985.249965256836.680360具体投资方案如下：将252295.363811元存为1年定期，247224.588364元存为2年定期，241183.848586元购买2年国库券，233254.636599元购买3年国库券，229130.250472元先存为1年定期再购买3年国库券，219087.844715元购买5年国库券，215214.064979元先存为1年定期再购买5年国库券，210888.503997元先存为2年定期再购买5年国库券，205735.648511元先购买2年国库券再购买5年国库券，7945985.249965元先购买3年国库券再购买5年国库券。2、对n=15，利用lingo9.0编程得到不同的K对应的，再根据(5.1)、(5.2)、(5.9)和(5.10)以及分别得到，结果如下：考虑存款和购买国库券11.0180000.982318251712.55236256243.37830321.0388800.962575246653.49059256243.37830331.0649000.939055240626.70514256243.37830341.1011000.908183232715.80992256243.37830351.1209200.892124228600.95127256243.37830361.1723000.853024218581.74384256243.37830371.1934010.837941214716.91267256243.37830381.2178790.821100210401.34390256243.37830391.2483820.801037205260.39169256243.378303101.2908200.774701198512.09177256243.378303111.3140540.761004195002.16757256243.378303121.3742900.727648186455.09922256243.378303131.3990240.714784183158.67226256243.378303141.4277200.700417179477.33330256243.378303151.4634790.6833037008124.73449256243.378303具体的投资计划如下：将251712.55236元存为1年定期，246653.49059元存为2年定期，240626.70514元购买2年国库券，232715.80992元购买3年国库券，228600.95127元先存为1年定期再购买3年国库券，218581.74384元购买5年国库券，214716.91267元先存为1年定期再购买5年国库券，210401.34390元先存为2年定期在购买5年国库券，205260.39169元先购买2年国库券再购买5年国库券，198512.09177元先购买3年国库券再购买5年国库券，195002.16757元先存为1年定期然后购买3年国库券再购买5年国库券，186455.09922元购买2次5年国库券，183158.67226元先存为1年定期再购买2次5年国库券，179477.33330元先存为2年定期再购买2次5年国库券，7008124.73449元先购买2年国库券再购买2次5年国库券。5.3有条件的存款与购买国库券混合模型用表示除了增加奖金那年其余年份的奖金数目，根据第三年取出本息和是奖金数目的倍可得：（5.3.1）根据第年取出本息和与奖金数目相等可得：（5.3.2）根据第年取出本息和等于奖金数额加本金可得：（5.3.3）用分别可得：（5.3.4）（5.3.5）

（5.3.6）由，得：因为可得：所以：为已知代入简化此式得：由（5.5.5）式得:可知此模型中和与以上模型一和模型二的和是相同的可得结果如下表：单纯存款方式（年）（元）（元）（元）11.01800030.982318211301.278695215104.761121.03888010.962575207054.465397215104.761131.06480000.939144242417.086116258125.713341.08396600.922538198442.350664215104.761151.11520020.896700192884.439260215104.761161.13527400.880845189473.872457215104.761171.15855900.863141185665.780577215104.761181.18746500.842130181146.190481215104.761191.20883900.827240177943.267118215104.7611101.24367100.8040718213671.269234215104.76118.920702具体的投资方案如下：把钱分成10份，将211301.278695元以一年定期的方式存入银行，将207054.465397元以二年定期的方式存入银行，将242417.086116元以三年定期的方式存入银行，将198442.350664元以一年定期加三年定期的方式存入银行，将192884.439260元以五年定期的方式存入银行，将189473.872457元以一年定期加五年定期的方式存入银行，将185665.780577元以二年定期加五年定期的方式存入银行，将181146.190481元以三年定期加五年定期的方式存入银行，将177943.267118元以一年定期加三年定期加五年定期的方式存入银行，将8213671.269234元以两个五年定期的方式存入银行。此时，第三年的奖金为258125.7133元，其余年份奖金为：215104.7611元。可存款可购国库券方式11.0180000.982318271247006.9098251453.034121.0388800.962575081242042.4247251453.034131.0649000.939055310283353.9684301743.641041.1011000.908182726228365.3021251453.034151.1209200.892124326224327.3687251453.034161.1723000.853023970214495.4654251453.034171.1934010.837941312210702.8854251453.034181.2178790.821099633206467.9941251453.034191.2483820.801036862201423.1494251453.0341101.2908200.7747013537941814.5320251453.03418.772059具体的投资计划如下：将247006.9098元以一年定期的方式存入银行，将242042.4247元以二年定期的方式存入银行，将283353.9684元购买两年期的国库券（相当于三年），将228365.3021元购买三年期国库券（相当于四年），将224327.3687元以一年定期加二年国库券（相当于三年）的方式使用，将224327.3687元以一年定期加三年国库券（相当于四年）的方式使用，将214495.4654元购买五年国库券（相当于六年），将210702.8854元以一年定期加五年国库券（相当于六年）的方式使用，将206467.9941元以二年定期加五年国库券（相当于六年）的方式使用，将201423.1494元以二年国库券（相当于三年）加五年国库券（相当于六年）的方式使用，将7941814.532元以三年国库券（相当于四年）加五年国库券（相当于六年）的方式使用。此时第三年奖金为301743.641元其余年份均为251453.0341元。模型推广以上三个模型可以推广到时6.1对于模型一：我们可以看到其使用此笔钱的方式具有周期性，其以五年为一周期，即在把这笔资金分为份后可以根据其将要存的期限将其再分为五份即：期限分别为：，，，，。对这五份分别求当时的值：对于期限为的存款：对于期限为的存款：同理可得：对于期限为的存款：可得：对于期限为的存款：可得：对于期限为的存款：可得：综上可得对于只考虑存款方式：因为则6.2对于模型二：同理此时要把份资金分为六分即存款期限为：，，，，，。对于期限为的存款：对于期限为的存款：对于期限为的存款：对于期限为的存款：对于期限为的存款：对于期限为的存款：综上对于既可以存款又可以买国库券的情况：同理此时6.3对于模型三：因为：，当时，所以可得：此时我们只要求得即可得到，由以上结果我们有：当只考虑单纯存款方式时：，所以此时：当既可以存款又可以买国库券时：，所以此时：模型结果和优缺点分析结果分析由问题一、问题二的结果可以验证，而且每年的奖金额是相同的，所以在假设条件的情况下，模型一和模型二是不存在系统误差的。对问题