七年级数学知识点上册

七年级数学知识点上册七年数学(上)应知应会的知识点第一部分有理数和整式1.代数式:用运算符号“，,??„„”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意:用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项:(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“?”乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用“?”乘，不用“?”乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a?5应写成5a;13(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a?应写成a;1223(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3?a写成的形式;a(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.3.几个重要的代数式:(m、n表示整数)222(1)a与b的平方差是:a-b;a与b差的平方是:(a-b);(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是:10a+b,则三位整数是:100a+10b+c;(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是:5m+n;偶数是:2n，奇数是:2n+1;三个连续整数是:n-1、n、n+1;2222(4)若b,0，则正数是:a+b，负数是:-a-b，非负数是:a，非正数是:-a.有理数1.有理数:q(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分(p,q为整数且p,0)p数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;,不是有理数;,,正整数,正整数,正有理数,,,,正分数整数零,,,,,负整数有理数零(2)有理数的分类:??有理数,,,,,负整数,正分数,负有理数分数,,,,负分数负分数,,,,(3)注意:有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;(4)自然数,0和正整数;a,0,a是正数;a,0,a是负数;a?0,a是正数或0,a是非负数;a?-1-0,a是负数或0,a是非正数.2(数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3(相反数:(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;(3)相反数的和为0,a+b=0,a、b互为相反数.4.绝对值:(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;a(a,0),a(a,0),,(2)绝对值可表示为:或;绝对值的问题经常分类讨论;a,a,0(a,0),,,a(a,0),,,a(a,0),aaaa(3);;(4)|a|是重要的非负数，即|a|?0;注意:|a|?|b|=|a?b|,.,1,a,0,,1,a,0,aabb5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数,0，小数-大数,0.16.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若a?0，那么的倒数是;倒数是本身的数aa是?1;若ab=1,a、b互为倒数;若ab=-1,a、b互为负倒数.7.有理数加法法则:(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数.8(有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).9(有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10有理数乘法法则:(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.a12(有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数，.即无意义013(有理数乘方的法则:-2-(1)正数的任何次幂都是正数;nnnn(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时:(-a)=-a或(a-b)=-(b-a),nnnn当n为正偶数时:(-a)=a或(a-b)=(b-a).14(乘方的定义:(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;222(3)a是重要的非负数，即a?0;若a+|b|=0,a=0,b=0;2,0.1,0.01,2,1,1(4)据规律,底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.,210,100,,,,,,,,,,,,,,n15(科学记数法:把一个大于10的数记成a?10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位:一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则:先乘方，后乘除，最后加减;注意:怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法:是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.整式的加减1(单项式:在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2(单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3(多项式:几个单项式的和叫多项式.4(多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，22次数最高项的次数叫多项式的次数;注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax+bx+c和x+px+q是常见的两个二次三项式.5(整式:凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.单项式,整式整式分类为:.,多项式,6(同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7(合并同类项法则:系数相加，字母与字母的指数不变.8(去(添)括号法则:去(添)括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.-3-9(整式的加减:整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.10.多项式的升幂和降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.第二部分方程和不等式一元一次方程1(等式与等量:用“=”号连接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”～2(等式的性质:等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式;等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.3(方程:含未知数的等式，叫方程.4(方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”～5(移项:改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.6(一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7(一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a?0).8(一元一次方程的最简形式:ax=b(x是未知数，a、b是已知数，且a?0).9(一元一次方程解法的一般步骤:整理方程„„去分母„„去括号„„移项„„合并同类项„„系数化为1„„(检验方程的解).10(列一元一次方程解应用题:(1)读题分析法:„„„„多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如:“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法:„„„„多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.11(列方程解应用题的常用公式:距离距离(1)行程问题:距离=速度?时间速度,时间,;时间速度工作量工作量工效,工时,(2)工程问题:工作量=工效?工时;工时工效-4-部分部分比率,全体,(3)比率问题:部分=全体?比率;全体比率(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;售价,成本1(5)商品价格问题:售价=定价?折?，利润=售价-成本，;利润率,，100%10成本2(6)周长、面积、体积问题:C=2πR，S=πR，C=2(a+b)，S=ab，C=4a，圆圆长方形长方形正方形1222322S=a，S=π(R-r),V=abc，V=a，V=πRh，V=πRh.正方形环形长方体正方体圆柱圆锥3二元一次方程组1(二元一次方程:含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意:一般说二元一次方程有无数个解.2(二元一次方程组:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3(二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意:一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).4(二元一次方程组的解法:(1)代入消元法;(2)加减消元法;(3)注意:判断如何解简单是关键.?5(一次方程组的应用:(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”;(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值;(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系.一元一次不等式(组)1(不等式:用不等号“,”“,”“?”“?”“?”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式.2(不等式的基本性质:不等式的基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变;不等式的基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式的基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变.3(不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集.4(一元一次不等式:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b,0或ax+b,0，(a?0).5(一元一次不等式的解法:一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3-5-的应用;注意:在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点.6(一元一次不等式组:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组;注aa,0a,0,,意:ab,0,,或;,0,,b,0b,0b,,aa,ma,0a,0,,,ab,0,,0,或;ab=0,a=0或b=0;,a=m.,,,b,0b,0a,mb,,,7(一元一次不等式组的解集与解法:所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集.8(一元一次不等式组的解集的四种类型:设a,bx,ax,a,,,,x,bx,b,,？不等式组的解集是x,a？不等式的组解集是x,b>>ababx,ax,a,,,,x,bx,b,,？不等式组的解集是a,x,b？不等式组解集是空集>>ababx，y,0x，y,0,,9(几个重要的判断:,,,x、y是正数,x、y是负数,,xy,0xy,0,,x，y,0x，y,0,,,x、y异号且正数绝对值大，,x、y异号且负数绝对值大.,,xy,0xy,0,,第三部分几何部分线段、角、相交线与平行线几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)1.角平分线的定义:几何表达式举例:A一条射线把一个角分成两个相等的(1)?OC平分?AOBC部分，这条射线叫角的平分线.(如??AOC=?BOC图)(2)??AOC=?BOCOB?OC是?AOB的平分线2(线段中点的定义:几何表达式举例:点C把线段AB分成两条相等的(1)?C是AB中点-6-线段，点C叫线段中点.(如图)?AC=BCBAC(2)?AC=BC?C是AB中点3(等量公理:(如图)几何表达式举例:(1)等量加等量和相等;(2)等量减等量差相等;(1)?AC=DB(3)等量的等倍量相等;(4)等量的等分量相等.?AC+CD=DB+CDA即AD=BCB(2)??AOC=?DOBCDCDBOA??AOC-?BOC=?DOB-?BOC(1)(2)即?AOB=?DOCAEC(3)??BOC=?GFMMGOF又??AOB=2?BOCB(3)?EFG=2?GFM??AOB=?EFGABCGEF(4)11(4)?AC=AB，EG=EF22又?AB=EF?AC=EG4(等量代换:几何表达式举例:几何表达式举例:几何表达式举例:?a=c?a=cb=d?a=c+db=c又?c=db=c+d?a=b?a=b?a=b5(补角重要性质:几何表达式举例:同角或等角的补角相等.(如图)??1+?3=180?13?2+?4=180?又??3=?424??1=?26(余角重要性质:几何表达式举例:同角或等角的余角相等.(如图)??1+?3=90?13?2+?4=90?2又??3=?44-7-??1=?27(对顶角性质定理:几何表达式举例:ADO对顶角相等.(如图)??AOC=?DOBBC?„„„„„8(两条直线垂直的定义:几何表达式举例:两条直线相交成四个角，有一个角是直(1)?AB、CD互相垂直角，这两条直线互相垂直.(如图)??COB=90?CABO(2)??COB=90?D?AB、CD互相垂直9(三直线平行定理:几何表达式举例:两条直线都和第三条直线平行，那么，?AB?EFABDC这两条直线也平行.(如图)又?CD?EFEF?AB?CD10(平行线判定定理:几何表达式举例:两条直线被第三条直线所截:(1)??GEB=?EFD(1)若同位角相等，两条直线平行;(如图)?AB?CD(2)若内错角相等，两条直线平行;(如图)(2)??AEF=?DFE(3)若同旁内角互补，两条直线平行.(如?AB?CDGABE图)(3)??BEF+?FDCDFE=180?H?AB?CD11(平行线性质定理:几何表达式举例:(1)两条平行线被第三条直线所截，同位(1)?AB?CD角相等;(如图)??GEB=?EFD-8-(2)两条平行线被第三条直线所截，内错(2)?AB?CDGABE角相等;(如图)??AEF=?DFEFDC(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁(3)?AB?CDH内角互补.(如图)??BEF+?DFE=180?几何B级概念:(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念:直线、射线、线段、角、直角、平角(180度，平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条射线。)、周角(360度)、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角(两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角)、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.二定理:1.直线公理:过两点有且只有一条直线.2.线段公理:两点之间线段最短.3.有关垂线的定理:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.4.平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.三公式:直角=90?，平角=180?，周角=360?，1?=60′，1′=60″.四常识:1(定义有双向性，定理没有.2(直线不能延长;射线不能正向延长，但能反向延长;线段能双向延长.3(命题可以写为“如果„„„那么„„„”的形式，“如果„„„”是命题的条件，“那么„„„”是命题的结论.4(几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解.5(数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数.6(几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析.7(方向角:北西北东北北偏西30?30?-9-东西60?南偏东60?东南西南南(1)(2)8(比例尺:比例尺1:m中，1表示图上距离，m表示实际距离，若图上1厘米，表示实际距离m厘米.9(几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论.1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。2、三角形的分类:(2)直角三角形形按边分类:底边和腰不相等的等腰三角形额嘎等腰三角形三角形锐角三角形角形(1)按角分类:三角形等边三角形斜三角形钝角三角形不等边三角形3、三角形的主要线段的定义:(1)三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.(2)三角形的中线:在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.(3)三角形的高:从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.4、三角形的主要线段的表示法:A(1)三角形的角平分线的表示法:如图1，根据具体情况，任选一种方式表示:AD是,ABC的角平分线;AD平分，BAC，交BC于D;1CB?AD是,ABC的角平分线，?，BAD=，DAC=，BAC.D2A图1(2)三角形的中线表示法:如图2，根据具体情况，任选一种方式表示:AE是,ABC的中线;AE是,ABC中BC边上的中线;1E?AE是,ABC的中线，?BE=EC=BC.CB2图2(3)三角线的高的表示法:A如图3，根据具体情况，任选一种方式表示:AM是,ABC的高;AM是,ABC中BC边上的高;?AM是,ABC中BC边上高，?AM,BC，垂足是E;CB?AM是,ABC中BC边上的高，?，AMB=，AMC=90:.M图35、在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意:(1)三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部。(2)三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(3)锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上。-10-6、三角形的边与边之间的关系:(1)三角形两边的和大于第三边;a，b,c(2)三角形两边的差小于第三边;a,b,c(3)三角形的两边为a、b，则第三边c的取值范围为:a,b,c,a，b7、三角形的角与角之间的关系:(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180:。(2)三角形外角定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。(3)直角三角形的两个锐角互余.?ABC中，?C=90?，?A，?B=90?。8、三角形三个内角中至少有2个锐角，至多有1个钝角，或至多有一个直角;三角形三种外角中至少有2个钝角;至多有1个锐角。9、三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。(了解它们的应用)多边形1、多边形:由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形，又叫n边形。2、正多边形:各边都相等且各角都相等的多边形(两者缺一不可)。3、对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段。4、n边形的内角和=(n-2)?180?。(n?3的正整数)，多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180?。5、任意多边形的外角和都为360?(外角和是指:每个顶点取且只取一个外角)。注意:(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关;(2)n边形的外角和恒等于360?，它与边数的多少无关。6、从n边形的一个顶点可作n条对角线，这些对角线把多边形分成(n-2)个三角形;n边形共有n?(n,3)?2条对角线。7、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一个平面，叫做平面图形的镶嵌。(1)只用一种正多边形进行镶嵌，只有正三角形(6个)，正四边形(即正方形4个)，正六边形(3个)三种情形。(2)任意一种三角形、任意一种四边形都可以进行镶嵌。其中要用相同的6个三角形，或4个相同的四边形。(3)两种正多边形镶嵌有:?正三角形与正四边形(3个正三角形和2个正方形);?正三角形与正六边形(2个正三角形和2个正六边形，或4个正三角形和1个正六边形);?正方形与正八边形等(2个正八边形和1个正方形)。(4)多边形镶嵌成功，与多边的内角有关，必须要求在公共顶点上所有内角和为360度。8、多边形的内角中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如正方形形);多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。平面直角坐标系1、在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，构成平面直角坐标系，水平的数轴称为X轴或横轴，取向右方向为正方向;竖直的数轴称为Y轴或纵轴，取上方向为正方向。建立坐标系的平面叫做坐标平面。2、坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。3、坐标轴把坐标平面分成四个部分，其中每部分叫做象限，如右图所示:注意:坐标轴上的点不在任何象限。-11-4、在X