2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第六章　概率复习提升

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1对条件概率理解不清致误

L（2020黑龙江哈尔滨南岗期末）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，比赛为三

局两胜制，甲在每局比赛中获胜的概率均为2且各局比赛结果相互独立,则在甲

获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）

A-B.-C.-D.-

3535

2.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取,每次任取一

球,取两次，求：

⑴第二次才取到黄球的概率；

（2）其中之一是黄球时,另一个也是黄球的概率.

易错点2离散型随机变量取值不当或对应的概率求错致误

3.（2020辽宁沈阳期中）某射手每次射击击中目标的概率均为,且各次射击的结

果互不影响.

⑴假设这名射手射击3次,求至少2次击中目标的概率；

（2）假设这名射手射击3次,每次击中目标得10分,未击中目标得0分.在3次射

击中，若有2次连续击中目标,而另外1次未击中目标,则额外加5分;若3次全

部击中目标,则额外加10分.用随机变量W表示这名射手射击3次后的总得分,

求W的分布列.

易错点3不能正确区分超几何分布与二项分布致误

4.（多选）（2020江苏徐州期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二

进制数A=a1a2a3a4a5（例如10100）,其中A的各数位上ak（k=2,3,4,5）出现0的概率

为出现1的概率为|,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时（）

A.X服从二项分布B.P（X=l）=1-

81

C.X的期望EX=1D.X的方差DX=1

5.一批产品共10件,其中3件是不合格品,用下列两种不同方法从中随机抽取2

件产品检验：

方法一:先随机抽取1件,放回后再随机抽取1件；

方法二:一次性随机抽取2件.

记方法一抽取的不合格产品数为一，方法二抽取的不合格产品数为一.

(1)求I1,W2的分布列；

(2)比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.

易错点4对正态曲线的性质理解不全面致误

6.(2020湖南长沙长郡中学月考)设随机变量X〜N(l,1),其正态分布密度曲线如

图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数

的估计值是()

(附:若X~N(u,。之)，贝I]P(R-O〈XWR+O)=0.6826,P(U-

2o<X<u+2o)^0.9544)

A.7539B.7028C.6587D.6038

7.（2021安徽蚌埠教学质量检查）已知随机变量X服从正态分布N⑵。9,且

P（X<1）•P（X>3）=-,则P（KX<2）=（）

9

A.i1B.IiC.I-D.I-

6432

8.某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N（84,。2）,

且P（78〈XW84）=0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于

90分的人数为.

思想方法练

、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用

1.（2020四川棠湖中学开学考试）设0<a<i随机变量X的分布列为

则当DX取得最大值时,a的值是（

2.（多选）（2021湖北武汉部分重点中学期中）体育课的排球发球项目考试的规则

是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球;否则一直发到3次为

止.设学生一次发球成功的概率为P（pWO）,发球次数为X,若X的数学期望

EX>1.75,则p的取值可能是（）

A.-B.-

412

C.—5D.-3

124

二、分类讨论思想在概率中的应用

3.甲、乙两个人进行射击训练，甲射击一次中靶概率是右乙射击一次中靶概率是

1

3,

⑴两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标,则完成目标的概率是多少？

⑵两人各射击两次，中靶至少三次就算完成目标,则完成目标的概率是多少？

三、数形结合思想在正态分布中的应用

4.（2020吉林长春中学模拟）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习

俗,2020年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检

测其某项质量指标,检测结果的频率分布直方图如图所示.

［频率/组距

0.030------1~I

0.025-

0.020「

0.015-------4-

0.010—

01020304050质量指标值

(I)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数歹(同一组中的数据

用该组区间的中点值作代表)；

⑵①由频率分布直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布

N(u,。D,利用该正态分布,求Z落在(38.45,50.4］内的概率；

②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包

速冻水饺中该项质量指标值位于(10,30］内的包数为X,求X的分布列、数学期望

及方差.

附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差为

o=<142.75=11.95;

②若Z~N(u,。2),则P(p-。〈ZW口+。)弋0.6826,P(u-

2。〈ZWu+2。)=0.9544.

答案与分层梯度式解析

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易混易错练

1.A记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,事件AB:甲获得冠军,且

比赛进行了三局，即第三局甲胜,前二局甲胜了一局，

则P(AB)=C^X-xix-=—,

244432

对于事件A,甲获得冠军包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,

*窃+箕,

9

••.P(B］A)=^=f=|,故选A.

()32

易错警示P(B|A)与P(A|B)是不同的.另夕卜，在事件A发生的条件下，事件B

发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.

2.解析(1)设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到黄球”，C表

示“第二次才取到黄球”.

则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)系X抬.

⑵设D表示“其中之一是黄球”，E表示“两个都是黄球”，F表示“其中之

一是黄球时,另一个也是黄球”.

mP(F)=P(E1D)=^=Ax^(Axi+±x^Ax|

3.解析⑴设这名射手射击3次,击中目标的次数为X,则X〜B(3().

故P(X22)=P(X=2)+P(X=3)

呜0(1号)+(|)号,

所以所求概率为患.

(2)由题意可知,€的可能取值为0,10,20,25,40.

用AKi=l,2,3)表示事件“第i次击中目标”，

2

P(g=10)=P(x=l)=cix|x(l-0_2

9

P(^=20)=P(A1712A3)=|X|X|=±

P(g=25)=P(X=2)-p(g=20)唉

P(€=40)=P(X=3)=(|)3=^.

故W的分布列为

010202540

12488

p

279272727

易错警示在求解此类问题时，要注意随机变量取值的准确性以及计算的正确

性.本题中的易错之处是试验结果的所有可能情况列举错误，忽视额外加分情

况.

4.ABC由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能是0,1,且每个数位

上的数字互不影响，故A的各数位上后4位的所有结果有5类：

①后4位都是0,此时X=0,P(X=0)=Qj=2；

②后4位只出现1个1,此时X=l,

p(x=i)=q(|)Q)=^；

③后4位出现2个1,此时X=2,

P（X=2）=C"|）6）吟;

④后4位出现3个1,此时X=3,

23132

pGW；

4

⑤后4位都是1,此时X=4,P(X=4)=(|_16

81

故X〜B(4,|),故A正确；

P(X=1)4,故B正确;

81

・(

••X~B4,|>•-EX=4Xr?

DX-4x|x^f,故C正确,D错误.

339

故选ABC.

5.解析⑴由题意得gi的可能取值为0,1,2,且WJB（2,£）,

P(E)=%)'G)W

因此h的分布列为

012

49219

P

10050100

一的可能取值为0,1,2,且W2服从参数为10,3,2的超几何分布,

c弼—7

P(12=0)=-

1一双

禺的_7

P(€2=1)=

C?o15'

cjc£_j_

P(&2=2)=■高一垣

因此一的分布列为

2012

771

P

151515

33Lo2X33

(2)由(1)得E『=2X■,Eg2=—=-

105105

因此E€FEC2,

所以两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值相等.

解后反思使用二项分布、超几何分布模型解决问题不能靠“套公式”，而要

真正理解这两个分布模型，理解两个分布模型各自的适用条件,超几何分布是

不放回抽样，二项分布是放回抽样.

6.C由题意知，正方形的边长为1,所以正方形的面积S=l.

又随机变量X〜N(l,1),所以正态分布密度曲线关于直线x=l对称,且。=1,

由P(口一。<X<口+。)y0.6826,得P(0<X<2)^0.6826,

所以阴影部分的面积竺詈=0.6587,

点落入阴影部分的概率P=*=0.6587,

所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000X0.6587=6587,故选C.

7.A因为随机变量X服从正态分布N⑵。2),

所以由正态曲线的对称性可知,P(X<1)=P(X>3),

又P(X〈1)•P(X>3)=-,

9

所以P(X<1)=P(X>3)三，

411

故p(1<X<2)二i(x<i>P(x>3)2zn」.故选A.

226

8.答案80

解析因为X近似服从正态分布N(84,。2),且P(78〈XW84)=0.3,

所以P(XN90)=上警卫0.2,

所以估计该校数学版绩不低于90分的人数为400X0.2=80.

思想方法练

1.D由已知得EX=-1X(2a)+lxf-+-)+2X-=—，所以DX二(-1-

7\22/22

2xQ+-|a)2X^

a)+(一|a)

2

],325a2—25(3\,109

—1---——ICL—)+—,

244\25/100

构造二次函数模型,通过讨论函数的单调性得出最值,充分体现了函数与方程

思想.

因为0<a<|,所以当DX取得最大值时,a的值为套故选D.

2.AC由题意得,X的可能取值为1,2,3.

P(X=l)=p,

P(X=2)=(l-p)p,

P(X=3)=(l-p)2.

因止匕EX=p+2(l-p)p+3(l-p)2=p2-3p+3,

令EX>1.75,解得p>|或p<|.故选AC.

通过解一元二次不监式得11P的取值范围，体现了函数与方程思想.

3.解析(1)完成目标共分三种情况：甲不中乙中，概率为:X甲中乙不中,

236

概率为1x|=|；甲、乙全中，概率为5x

z33z36

因此,所求概率是

6363

⑵分以下两类情况：

共击中3次,概率为C)xcix|x|+cJx|x|xQ)=|:

共击中4次,概率为0X(J二套

按照两人各射击两次共击中的次数分类,应用独立重复试验的概率公式求出概

率.

因此,所求概率为］+日或.

思想方法在概率问题中，当一个事件有多种情况时，需要分类讨论,计算出在

各种情况下的概率，再根据两种基本计数原理求出所要求的事件的概率.

4.解析(1)根据频率分布直方图可直接读出黑的值,进而求出各部分的频

组距

率，体现了由“形”到“数”的过程.

根据频率分布直方图可得：

(0,10］的频率为0.010X10=0.1,

(10,20］的频率为0.020X10=0.2,

(20,30］的频率为0.030X10=0.3,

(30,40］的频率为0.025X10=0.25,

(40,50］的频率为0.015X10=0.15,

•••所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的