2021年上海市中考数学试卷（含解析版）

2021年上海市中考数学试卷一.选择题1．下列实数中，有理数是（）A． B． C． D．2．下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2 B．3a2b3 C．a2b D．ab33．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包5．如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（）A． B． C． D．6．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外二.填空题7．计算：x7÷x2＝．8．已知f（x）＝，那么f（）＝．9．已知＝3，则x＝．10．不等式2x﹣12＜0的解集是．11．70°的余角是．12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为．13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为．14．已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式．15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得元．16．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．18．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为．三.解答题19．计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．解方程组：．21．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．22．现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．24．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．

2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1．下列实数中，有理数是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝,不是有理数，不合题意；B.＝,不是有理数，不合题意；C.＝,是有理数，符合题意；D.＝,不是有理数，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2 B．3a2b3 C．a2b D．ab3【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，据此判断即可．【解答】解：A、字母a、b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；C、字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；D、相同字母a的指数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A．2kg/包 B．3kg/包 C．4kg/包 D．5kg/包【分析】最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．【解答】解：由图知这组数据的众数为1.5kg~2.5kg，取其组中值2kg，故选：A．【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．5．如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（）A． B． C． D．【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答．【解答】解：∵＝，E为AB中点，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，∴+＝+＝，故选：A．【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．6．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5，由勾股定理得AC＝5，由点与圆的位置关系，可得结论．【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圆B半径为1，∴R＝5，即圆A的半径等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．二.填空题7．计算：x7÷x2＝x5．【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，故答案为：x5．【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．8．已知f（x）＝，那么f（）＝．【分析】将x＝代入函数表达式，化简即可．【解答】解：由题意将x＝代入函数表达式，则有：．故答案为：．【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．9．已知＝3，则x＝5．【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为进行解答即可．【解答】解：∵＝3，∴x+4＝9∴x＝5．故答案为：5．【点评】此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．10．不等式2x﹣12＜0的解集是x＜6．【分析】不等式移项，把x系数化为1，即可求出解集．【解答】解：移项，得：2x＜12，系数化为1，得：x＜6，故答案为x＜6．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．11．70°的余角是20°．【分析】根据余角的定义即可求解．【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°﹣70°＝20°，故答案为，20°．【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键，12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为c＞．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范围是c＞．故答案为：c＞．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为．【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．【解答】解：∵共有9个数据，其中偶数有3个，∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．14．已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式y＝﹣2x．【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵函数y＝kx经过二、四象限，∴k＜0．若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1，故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1，∴函数解析式为y＝﹣2x，故答案为y＝﹣2x．【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得k元．【分析】根据图像求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解．【解答】解：设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y＝mx+n，，解得：，∴y＝﹣kx+7k，x＝8时，y＝﹣k×8+7k＝k，∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×k＝k，故答案为：k．【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式是解题关键．16．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝．【分析】过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，由四边形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根据AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等）底三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比是解题的关键．17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG＝2AG，接着证明HG＝AG可得结论．【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，∴中间正六边形的面积＝6××12＝，故答案为：．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．18．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为2﹣≤d≤1．【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形ABCD各边的中点时，d最大，OP过正方形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝PA最小，如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范围为2﹣≤d≤1．故答案为：2﹣≤d≤1．【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．三.解答题19．计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．【分析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：+|1﹣|﹣2﹣1×＝3＝3＝3﹣1＝2．【点评】此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．解方程组：．【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4(3﹣x)2＝0，化简得：(x﹣2)(x﹣6)＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程组的解为．【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力．21．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【分析】（1）解锐角三角函数可得解；（2）解法一：连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF＝FD，由勾股定理可得AD＝2，EF＝2，即可求tan∠FBD．解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．22．现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．【分析】（1）先根据扇形统计图求出三月份所占百分比，即可利用总数乘以三月份所占百分比求解；（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．根据“下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒”，列方程求解即可．【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．+190＝，解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的解，答：5G手机的下载速度是每秒100MB．【点评】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OE＝OF，PE＝PF，可得结论．（2）连接AC，设EF交OP于J，想办法证明PE＝PF＝PA＝PC，可得结论．【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB＝OD．∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵OB＝OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），∴OE＝OF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∴OP⊥EF．（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵PE＝PF，∴PA＝PC，∵PE＝PF，OE＝OF，∴OP垂直平分线段EF，∴EJ＝JF，∵OP∥AF，∴EP＝PA，∴PC＝PF，PA＝PE，∴四边形AFEC是平行四边形，∵EA＝CF，∴四边形AFEC是矩形．【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．24．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，∴CG＝CH﹣GH＝1，而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；②过C作CH⊥AB于H，如图：设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，∴直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，∴C（﹣2，）当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，此时A、B、C重合，舍去，∴C（﹣2，）【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．（1）当点E在CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC＝∠ACB，