高三高考数学复习练习高考专题突破一高考中的导数应用问题

高考专题突破一1．已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x，知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2，解得a＝eq\f(5,4).(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(5,4x)－lnx－eq\f(3,2)，则f′(x)＝eq\f(x2－4x－5,4x2).令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)．2．设函数f(x)＝eq\f(3x2＋ax,ex)(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(（6x＋a）ex－（3x2＋ax）ex,（ex）2)＝eq\f(－3x2＋（6－a）x＋a,ex)，因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝eq\f(3x2,ex)，f′(x)＝eq\f(－3x2＋6x,ex)，故f(1)＝eq\f(3,e)，f′(1)＝eq\f(3,e)，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq\f(3,e)＝eq\f(3,e)(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(－3x2＋（6－a）x＋a,ex).令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝eq\f(6－a－\r(a2＋36),6)，x2＝eq\f(6－a＋\r(a2＋36),6).当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝eq\f(6－a＋\r(a2＋36),6)≤3，解得a≥－eq\f(9,2)，故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞)).3．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．【解析】(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))eq\f(1,e)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增①当t≥eq\f(1,e)时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt.②当0<t<eq\f(1,e)时，在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,e)))上f(x)为减函数，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，t＋2))上f(x)为增函数，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e).4．已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解析】由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．5．(2018·云南二检)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax＋2lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋kx＋(2－x)lnx－k，k∈Z.(1)当a＝－3时，求f(x)的单调区间；(2)当a＝1时，若对任意x>1，都有g(x)<f(x)成立，求k的最大值．【解析】(1)由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x>0}，当a＝－3时，f(x)＝eq\f(1,2)x2－3x＋2lnx，f′(x)＝x－3＋eq\f(2,x)＝eq\f(x2－3x＋2,x)＝eq\f(（x－1）（x－2）,x).当x∈(0，1)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，f(x)的单调递增区间为(0，1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2)．(2)由a＝1，g(x)<f(x)，得eq\f(1,2)x2＋kx－xlnx＋2lnx－k<eq\f(1,2)x2＋x＋2lnx，整理得k(x－1)<xlnx＋x，∵x>1，∴k<eq\f(xlnx＋x,x－1)，令Q(x)＝eq\f(xlnx＋x,x－1)，则Q′(x)＝eq\f(x－lnx－2,（x－1）2)，令h(x)＝x－lnx－2，∵x>1，∴h′(x)＝1－eq\f(1,x)>0.∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，∵h(3)＝1－ln3<0，h(4)＝2－ln4>0，∴h(x)存在唯一的零点x0∈(3，4)，∴h(x0)＝x0－lnx0－2＝0，得lnx0＝x0－2.当x∈(1，x0)时，h(x)<h(x0)＝0，则Q′(x)<0，∴Q(x)在(1，x0)上单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>h(x0)＝0，则