湖南省长郡中学2022-2023-2高一期中考试数学试卷和解析

得分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设e₁,e₂是两个不共线的向量，若向量m=-e₁+ke₂(k∈R)与向量n=-2e₁+e₂共线，则A.k=0B.k=1C.k=22.定义：若x²=a+bi(a,b∈R),则称复数≈是复数a+bi的平方根.根据定义，复数9-40i的平方根为KA.3—4i,—3+4iB.4+3i,4—3iKC.5-4i,-5+4i飞★3.与向量a=(4,2)垂直的单位向量为聚聚★4.一个球的外切正方体的表面积等于6cm²,则此球的体积为期,则三棱锥P—ABC的外接球A.3B.2√3C.6.下列命题正确的为④已知a,b,c为三条直线，若a⊥c,b⊥c,则a//b.A.①③B.②③数学试题(长郡版)第1页(共6页)边上边上的两条中线AM,BN相交于点P,则的两条中线AM,BN8.如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N,把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m,拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m,则此人对该物体所做的功为二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知x=a+bi(a,b∈R)为复数，是x的共轭复数，则下列命题一定正确的是A.若m//a,n//β,且a//β,则m//nB.若m⊥a,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n11.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中A.AB⊥EFB.AB与CM所成的角为60°C.EF与MN是异面直线D.MN//平面ACD值.则下列命题中真命题为A.S可能有5个不同的值数学试题(长郡版)第2页(共6页)答题卡题号123456789三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)★13.如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是现有一平行四边形ABCD,如图，A(1,1),B(3,2),|AD|=√2|AB|,/BAD=45°,则D点直角坐标为16.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C中，△ABC是等边三角形，AABB₁,BC的中点，则异面直线DF与C₁E所成角的余弦值是四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数x₁=(a+i)²,z₂=4-3i,其中a是实数.(1)若≈₁=ix2,求实数a的值；数学试题(长郡版)第3页(共6页)18.(12分)某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B,C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,/ABC=45°,/BCA=105°,仰角α为75°(2)求大楼的高度.在C处测得大楼楼顶D的19.(12分)已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC,BC=2,tan∠ABC=2√2.(1)若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，求所得几何体(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行的最短距离.数学试题(长郡版)第4页(共6页)数学试题(长郡版)第5页(共6页)PO⊥底面ABCD,PO=2,点E在棱PD上，且CE⊥PD.(1)证明：平面PBD⊥平面ACE;(2)求二面角P-AC-E的余弦值.数学试题(长郡版)第6页(共6页)数学参考答案题号12345678DCBCCDAB化简得x²-y²+2xyi=9-40i,所以x²-y²=9,2xy=-40,解得x=5,y=-4或x=-5,y=4,即复数9-40i的平方根为5—4i或—5+4i.设球心到平面ABC的距离为d,则6.D【解析】对于①,设平面a∩平面ABC=l,因为P∈a,P∈平面ABC,;分选对的得2分，有选错的得0分)题号9对于C,由复数模的三角不等式可得|x|=|(x-i)+i|≤|x-il+|i|=2,所以C正确；对于D,z·x=(a+bi)(a—bi)=a²+b²=|x|²,所以D正确.若|b|>4|a|,则S>-16|a|²|cosθ|+16|al²=16|a|²(1S>-8|a|²|cosθ|+|al²+3若|b|=2|a|,则S₁=8|a|²cos0+4|a|²,S₂=4|a|²cos0+9|a|²,S=2|HF,DH,设AB=4,则CF=2,CH=1,AD=2,AF=√AB²-BF²=2√3,DF=√AF²+AD=4,;;=i+i²+(i³+i+i⁵+i)+(i+i+i³+i⁰)+…+(i2019+i2020+;∵sinC+sin(B-A∴sinA·cosB+cosA·sinB-sinA·cos∴2cosA·sinB=2sinA·cosA,∵cosA;