2020年高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章空间解析几何与向量代数

(-)向量及其线性运算

1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、线性运算：加减法、数乘；

3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、利用坐标做向量的运算：设2=(4,%,见)，b=(bx,by,bz),

则a±h=(ax±bx,ay+bv,az+bz),Aa=(Aax,Aay,/laz)；

5、向量的模、方向角、投影：

D向量的模：|八二瓜71V；

2)两点间的距离公式：\AB|=J(%2-%1)2+(%-y)2+(Z2-Z1)2

3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角/尸,7

4)方向余弦：3口=同COSQ=H，cos好词

cos2a+cos2p+cos2y=\

5)投影：Pr42=B|cos0,其中。为向量，与力的夹角。

(二)数量积，向量积

-►-►

1、数量积：ab=abcos3

t.r2

1)a'a=a

-►-►

2)a-Lbab=0

a-b—ah+ah+ab

人人Yyyvnn7

2、向量积：c=axb

,~A.―►

大小：ahsing,方向：5,b,三符合右手规则

1)5x5=0

―►―►—►

2)allb<=>axh=0

ijk

axb=axaYa.

brbyvbz.

―►-►

运算律：反交换律bxa=-axb

(三)曲面及其方程

1、曲面方程的概念：S:/(x,y,z)=O

2、旋转曲面：

yoz面上曲线C:/(y,z)=。，

绕V轴旋转一周：f(y,±y/x2+z2)=0

绕z轴旋转一周：/(±7-^2+y2^z)=0

3、柱面：

fF(x,y)=O

尸(x,y)=O表示母线平行于z轴，准线为1,的柱面

[z=0

4、二次曲面

1）椭圆锥面：々2十人2一式

222

xyz

2）椭球面：方+»"+>=1

旋转椭球面:

3）单叶双曲面：~2

222

xyz_

4）双叶双曲面：~2~~j~2~~2~

22

xy

-----4—------7

5）椭圆抛物面：42十人2一乙

x2y2

6）双曲抛物面（马鞍面）：.2〃2

22

7）椭圆柱面：a2b2~1

22

__2_=i

8）双曲柱面：a2〃2.

2

9）抛物柱面：*—qy

（四）空间曲线及其方程

F(x,y,z)=O

1、一般方程:

G(x,y,z)=O

x=x(z)

2、参数方程：1y=、（，），如螺旋线：vy=asint

z=z(t)z=bt

3、空间曲线在坐标面上的投影

方（x,y,z）=0H(x,y)=0

〜、小，消去z,得到曲线在面上的投影

G（x,y,z）=0z=0

（五）平面及其方程

1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-j；0)+C(z-z0)=0

法向量：n=（A,B,C）,过点（/，尤/。）

2、一般式方程：Ax+By+Cz+。=0

截距式方程：~%+Ty+~z=l

3、两平面的夹角：亢i=（A，综G）,加2=（4出,。2）,

cos蚱M4+产+CGI

JA：+哥+c：

n±n<=>A]ACCO

t22+B]B2+,2=

AB、G

n/Lo元二瓦=《

4、点［）（%,%,z°）到平面Ax+6y+Cz+。=。的距离:

d_出o+为（）+Cz（）+q

^A2+B2+C2

（六）空间直线及其方程

\Ayx+Bxy+Cxz+D}=0

1、一般式方程：\

\^A2X+B^y+C^z+D2-0

/一/=;zz()

2、对称式（点向式）方程:

mnp

方向向量：3=（m,fi,p）,过点（Xo，X），Zo）

%=%。+mt

3、参数式方程：＜"

z=z（）+pt

4、两直线的夹角：耳=（町，〃”P1）,§2=（m2，〃2，P2）,

班机,+〃]〃2+P\P2

cos(p=/,,一，一厂,二

J+*+P：°\mJ++p；

L]±L2<=>m1m2+/几2+Pi〃2=0

■4=A­

i/&p,

5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,

\Am+Bn+Cp\

sin(p=1——,

QA2+62++八2+〃2

L//II<=>Am+Bn+Cp=0

ABC

L±n<=>-=­=—

mnp

第九章多元函数微分法及其应用

(―)基本概念

1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区

域，有界集，无界集。

2、多元函数：z=/(%,y),图形：

3、极限：，limy)=A

4、连续：，Hm/(%,y)=f(x0,y0)

(x,y)f(孙冲)

5、偏导数：

/(%o+Ax,%)一/(%(),%)

Ax

/(%，%+△')—/(%o,%)

力(%％)=配

△y

6、方向导数：

dfdfdf7

下7n嬴cosa+^ycos尸其中为I的方向角。

7、梯度：z=f(x,y),则gm力'(%(),%)=力(%0，%):+%(%0，%万。

dzdz

8、全微分：设z=/(羽y),则dz=不心+另;dy

(二)性质

1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:

2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）

3、微分法

1）定义：

2）复合函数求导：链式法则

若z=/（〃#）,〃=〃（羽））#=□（%,）），则

dzdzdudzdvdzdzdudzdv

，“____—•.―卜,•..,|

dxdudxdvdx'dydudydvdy

3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）

（三）应用

1、极值

1）无条件极值：求函数z=/（%,»）的极值

解方程组求出所有驻点，对于每一个马主点（4,%）,令

4=人（%0，%）,）=/（%，%）,C=fyy（x0,y0）t

①若AC->0,A>0,函数有极小值，

若AC—32>0,A<0,函数有极大值；

②若AC-B2<0,函数没有极值；

③若AC—g2=o,不定。

2）条件极值：求函数z=/（x,y）在条件0（x,y）=O下的极值

令：L（X,y）=f（X,V）+y）------Lagrange函数

Lv=0

解方程组4=0

g（%,y）=O

2、几何应用

1）曲线的切线与法平面

x=x（0

曲线「：=则「上一点〃（%,%,z0）（对应参数为0）处的

Z=z（/）

X-—0—y—%_z—zO

切线方程为：/4）-y，«0）—z'«0）

法平面方程为：％'&））（尤-项））+Va））（y-X））+z'«o）（z—z0）=。

2）曲面的切平面与法线

曲面2:F（x,y,z）=0,则2上一点M（%o，%,Zo）处的切平面方程为：

工（％，%，Zo）（%—%o）+G（%o，%,Zo）（y-%）+£（%o，yo，Zo）（z-Zo）=O

、.…%―/二yf二z.z。

法线方程为：工（％0,为/0）4（%0，打/0）Fz（x0,y0,z0）

第十章重积分

（一）二重积分

1、定义：0/（儿丁川^二嬖^之八抵，父）.々

DAT

2、性质：（6条）

3、几何意义：曲顶柱体的体积。

4、计算：

1）直角坐标

(p^x)<y<(p2(x)

D(%,y)

a<x<b

我（x）

y)dxdy=J：ck『f(x,y)dy

D

4(y)w°2(y)

c<y<d

y(x,y)dxdy=J：dy£：f(x,y)dx

2）极坐标

P阳〈p&pz(e)

D=\(pf)

a<0</3

".aw二.到：；/(yocos3,psinO')p^p

（二）三重积分

1、定义：BV（”z）d「黑£fqk.以〈k）△染

"k=\

2、性质：

3、计算：

1)直角坐标

JJL于(X，yz)dy=乩dxdyf(x,y,z)dz--------------“先一后

-”

BI)/(%'，z)dv=[dzjj。/f(x,y,z)dxdy------------“先二后

2)柱面坐标

x=pcos3

<y=ps\n3,z)dv=/(pcos<9,psin<9,z)pdpdOdz

z=z

3）球面坐标

x=/sin0cosc

]y=/sin°sin3

z=rcos(p

JJL/("z)dv=JJL/(rsin°cos6,尸sin°sin^,rcos°)/sin

（三）应用

曲面S:z=/(x,y),(x,y)e。的面积:

1/SZ\24Z\2,,

A=1+(-)+(-)dxdy

Doxoy

第十一章曲线积分与曲面积分

（一）对弧长的曲线积分

1、定义：]/(%，》)心=盛£/©,”维

Z=1

2、性质：

1)Jja/ay)+以X,y)]ds=«£于(x,y)dy+.工g(%,V)山.

2)£/(%，y)ds=L/(%，y)ds+1/(%，y)ds.(L=L1+L2).

3)在L上,若/(羽y)<g(x,y),则L/(x,y)ds<Lg(Xy)d。

4)Lds=/(/为曲线弧£的长度)

3、计算：

.X=0⑺，

设/(%,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为彳/、

(y=^(0,

其中。⑺，〃⑺在尸]上具有一阶连续导数，且0'2。)+〃，2«)。0,则

1/(%，y)ds=J1八帕),〃⑺]J“2Q)+〃，2⑺①,(a<B)

(二)对坐标的曲线积分

1、定义：设人为双，面内从4到8的一条有向光滑弧，函数。(羽y),。(羽y)

在L上有界，定义LP(%，y)d%=|鸣Z。©，7)△4,

k=\

JQ(x,y)dy=lim^Q(^,"QA”.

JL4-0

k=l

向量形式：r=Jj(x,y)dx+Q(x,y)dy

2、性质：

’>r—»—►

用厂表示L的反向弧，则尸(％,')•dr=—}/(%,、)•dr

3、计算：

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为

[%="),

\,、CaiB),其中。⑺,〃⑺在切上具有一阶连续导数，且

9)+/2。)。0,则

jP(x,y)dx+Q(x,y)dy=[{〃«)]“«)+QS«),〃«)]〃'«)}dr

JLJa

4、两类曲线积分之间的关系：

x=(pQ)

设平面有向曲线弧为,、，L上点(%,y)处的切向量的方向角为：

[y=〃⑺

Bcoscr=/一①一•cos/3=/"⑺

’''痴/⑺+/2⑺'

贝ijLPdx+Qdy=£(Pcosa+Qcos0ds.

(三)格林公式

1、格林公式：设区域。是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(X,y),Q(X,y)在

则有Ui*用日皿4Pdx+Qdy

D上具有连续一阶偏导数,

DyUAUy7L

2、G为一个单连通区域，函数尸(羽y),Q(%,y)在G上具有连续一阶偏导数，则

dQdP^

o曲线积分J。及+Qdy在G内与路径无关

dxdy

o曲线积分jP*+Qdy=0

o夕(%,丁川％+。(%,丁)(1¥在6内为某一个函数〃(羽y)的全微分

(四)对面积的曲面积分

1、定义：

设2为光滑曲面，函数/(%,y,z)是定义在£上的一个有界函数，

定义JI及y，z)ds=limAS,

Z=1

2、计算：------“一单二投三代入”

E:z=z(x,y),(%,y)eDxy,则

ffz/(x,y,z)dS=j£f[x,y,z(x,y)]J1+z；(%,y)+z；(x,y)dxdy

xy

(五)对坐标的曲面积分

1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量

2、定义：

设2为有向光滑曲面,函数P(x,y,z),0(%,y,z),R(x,y,z)是定义在E上的有界函数,

定义JIJ(羽％Z)dxdy="力&,%，)(2)孙

i=l

同理，y,z)dydz=HmfP©,%,4)(g)*

/=1

JLQ(%，y,z)dzdx=lim[R©,%,?,.)(AS,%

Z=1

3、性质：

1)Z=Zj+Z2,贝i|

J]Pdydz+Qdzck+Rdxdy

=JJxPdydz+Qdzck+Rdxdy+JJ、、Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

2)》表示与2取相反侧的有向曲面，贝寸JL_Rd%dy=_JLRd%dy

4、计算：——“一投二代三定号"

£:z=z（%,y）,（x,y）GDxy,z=z（%,y）在。斗上具有一阶连续偏导数，R（%,y,z）在

W上连续，则］「区（羽乂z）dxdy=±U。R［羽y,z（x,y）］ckdy,£为上侧取“+”，

W为下侧取“-”

5、两类曲面积分之间的关系:

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj、(尸cosa+Qcos/3+Reos/)d5

其中a,为有向曲面E在点（%,y,z）处的法向量的方向角。

（六）高斯公式

1、高斯公式：设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面E所围成，E的方向取外侧,

函数P,Q,R在。上有连续的一阶偏导数，则有

fff+吆+竺］dxdydz=aPdydz+Qdzd%+Rdxdy

〃J。1。％dydz?

或BLdPdQ丝、dxdydz=g(Pcoscr+Qcos/?+Rcos/)dS

dxdydz/

2、通量与散度

通量：向量场A=（P,Q,R）通过曲面W指定侧的通量为：

①=民Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

散度.小心”+义+变

飘反.dxdydz

（七）斯托克斯公式

1、斯托克斯公式：设光滑曲面Z的边界r是分段光滑曲线，E的侧与r的正向

符合右手法则，尸（%,丁/）,。（%,丁*）,/?（%,乂2）在包含2在内的一个空间域内具有连

续一阶偏导数，则有

fdRdQy,(dP,(dQdP\,

ff-----------dJydz+-------------dzd%+dxdy，尸d%+Qdy+Adz

办SzJdx)办)

为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：

dydzdzdxdxdy

ddd.

'Pdx+Qdy+Rdz

dx办dz

PQR

2、环流量与旋度

环流量：向量场，=(P,Q,K)沿着有向闭曲线r的环流量为Pdx+Qdy+Rdz

"dRdQdPdRdQdP、

、办Oz'dzdx，dx办)

第十二章无穷级数

(-)常数项级数

1、定义：

00

1)无穷级数：="1+〃2+〃3+,,•+〃〃+

〃=1

部分和：S.=£以=%+〃2+〃3+…,

k=l

00

正项级数：Z”.，>0

n-\

Q0

交错级数：E(T)"%,Un>0

n=\

2）级数收敛：若!吧S〃=S存在，则称级数收敛，否则称级数发散

n=\n=l

0000

3）条件收敛：»，，收敛，而发散；

〃=1〃=1

8

绝对收敛：ZW收敛。

n=\

2、性质：

1）改变有限项不影响级数的收效性；

00

0000、、

2）级数Za收敛，则Z（“〃±"〃）收敛；

n=\n=\n=l

8

3）级数E%收敛，则任意加括号后仍然收敛；

n=\

00

4）必要条件：级数收敛niim^uO.（注意：不是充分条件！）

»=i­

3、审效法

00

正项级数：WX，M“20

”=1

1）定义：limSn=S存在；

/?—>00

00

2）收敛O'｝有界；

n—\

0000

3）比较审效法：Z%,X匕，为正项级数，且匕？（〃=1,2,3,…）

〃=1n=\

00000000

若收敛，贝uZ/收敛；若Z%发散，贝uZ匕，发散.

n=\n=ln=\n=\

0000

4）比较法的推论：>>”，为正项级数，若存在正整数根，当〃〉加时，

n=ln=\

0000

kVm

孙&n，而2均收敛，则收敛；若存在正整数,当〃〉根时，Un>kVn,

n=\n=l

0000

而发散，则>>，，发散.

/i=ln-\

0000沅

5)比较法的极限形式：WX,z以为正项级数，若则;(0</<+00),

n=\n=\vn

008.U.ll88

而WX收敛，则X""收敛；若!叫；°或则:+00,而Z匕，发散，贝寸2%发

/?=1〃=1vnvnn=\w=l

散.

6)比值法："为正项级数，设|叫-fL=/,则当/<1时，级数收敛；则

n-\/i=l

0000

当/>1时，级数、>，，发散；当，=i时，级数2%可能收敛也可能发散.

〃=1n=\

00

根值法：为正项级数，设:吧弧二/,

7)则当/<1时，级数£%收敛；则

〃二1

0000

当/>1时，级数Z4发散；当/=i时，级数、>，，可能收敛也可能发散♦

n=\n=\

0000

8)极限审效法：WX为正项级数，若lim〃•%>°或lim=+00则级数

n=\,“f008n=\

00

发散；若存在使得(0<Z<+oo)则级数2%收敛.

71->oon=i

交错级数:

8

莱布尼茨审敛法：交错级数：Z(T)"""，”"NO满足：w7(+1<un(几=1,2,3,…)，

〃=1

8

且1山〃"=0,则级数Z(T)"〃"收敛。

n=]

任意项级数：

00_8_

Z”〃绝对收敛，则Z""收敛。

n=\n=\

8

常见典型级数：几何级数：£aq〃

w=0

夕一级数：％81

(二)函数项级数

8

1、定义：函数项级数£〃”(%),收敛域，收致半径，和函数;

n-\

00

2、露级数：Z"〃X〃

n=0

一,0</?<+8

P

A=<0,p—+oo

收敛半径的求法：Jim—=pt则收敛半径

an

+00,夕=0

3、泰勒级数

=~~^（%—%。）"OlimR“（％）=lim^~~—/产=0

〃=（）n\……（〃+l）!

展开步骤：（直接展开法）

1）求出/⑺（%）,〃=123,…；

2）求出/（"）（/）,〃=0,1,2，…；

V/（W）U）

3）写出Z—：—O（x—%o）；

〃=0〃・

产〃+1）（5）.

4）验证!吧（（*）=!变5+1）!（"7。）*二。是否成立。

间接展开法：（利用已知函数的展开式）

°°1I

ex=V一x",(-oo,+oo).

1)XG

oo1

sinx=