2021年中考数学真题分类汇编：33几何综合压轴问题

2021年中考数学真题分类汇编：专题33几何综合压轴问题

一、解答题

1.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1,在等腰直角三角形ABC中，NB4C=90°.点E，F分

别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，尸重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋

转90°得到AG,连接GC,HB.

（1）证明：△AHBGAAGC；

（2）如图2,连接GF,HC,AE交A尸于点。.

①证明：在点，的运动过程中，总有N”FG=90°；

②若AB=AC=4,当E”的长度为多少时，AAQG为等腰三角形？

2.（2021・湖北中考真题）问题提出如图（1）,在AA5c和△£>£（7中，ZACB^ZDCE=90°,BC=AC,

EC=DC，点E在内部，直线AO与BE交于点尸，线段Af，BF，CE之间存在怎样的数量

关系？

问题探究（1）先将问题特殊化.如图（2）,当点D，尸重合时，直接写出一个等式，表示AE，BF，CF

之间的数量关系；

（2）再探究一般情形.如图（1）,当点。，了不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展如图（3）,在AA5C和AOEC中，NACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（k是

常数），点E在AABC内部，直线AO与BE交于点F,直接写出一个等式，表示线段A厂，BF，CF之

间的数量关系.

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⑴⑵(3)

3.（2021•浙江中考真题）（证明体验）

（1）如图1，为AABC的角平分线，NADC=6（）°,点E在A3上，AE=AC.求证：DE平分NAD5.

图2

（思考探究）

（2）如图2,在（1）的条件下，尸为A3上一点，连结FC交AD于点G.若EB=FC,DG=2,CD=3,

求RD的长.

（拓展延伸）

（3）如图3,在四边形ABC。中，对角线AC平分NB4O,NBC4=2NOC4,点E在AC上，

ZEDC=ZABC.若8。=5,8=2石,4。=24后，求AC的长.

4.（2021•浙江中考真题）如图1,四边形ABC。内接于0。，B0为直径，AO上存在点E，满足AE=CO，

连结BE并延长交8的延长线于点凡BE与AD交于点G.

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(1)若ZDBC=a,请用含a的代数式表列ZAGB.

(2)如图2,连结CE,CE=8G.求证；EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,4)=2.

①若tanNADB=，求△f'GZ)的周长.

2

②求CG的最小值.

5.(2021•浙江中考真题)在扇形AOB中，半径。4=6,点P在。A上，连结PB,将AOBP沿产B折叠得

到AO'BP.

图1图2

(1)如图1,若NO=75°,且30与AB所在的圆相切于点艮

①求NAPO'的度数.

②求AP的长.

(2)如图2,30'与4?相交于点，若点。为A8的中点，.&PD//OB,求A台的长.

6.(2021•浙江中考真题)已知在△ACO中，P是CO的中点，3是AO延长线上的一点，连结SC,AP.

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图1图2图3

(1)如图1,若/40?=90。,/。。=60。,3。=4。,4/＞=百，求BC的长.

(2)过点。作DEIAC,交AP延长线于点E,如图2所示.若ZCAD=60°,BD=AC,求证：BC=2AP.

(3)如图3,若NC4O=45°,是否存在实数加，当班＞=加4c时，BC=2AP2若存在，请直接写出加

的值；若不存在，请说明理由.

7.(2021•安徽中考真题)如图1,在四边形A8CD中，NABC=/BCD,点E在边BC上，且AE//8,

DEV/AB，作CF//AD交线段AE于点R连接8尸.

(1)求证：AABF^AEAD：

(2)如图2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的长；

BE

(3)如图3,若BF的延长线经过A£＞的中点M,求=的值.

图1图2图3

8.(2021.四川中考真题)在等腰AABC中，45=AC,点。是8C边上一点(不与点3、。重合)，连

结A。.

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（1）如图1,若NC=60°,点。关于直线AB的对称点为点E，结AE，DE,则

（2）若NC=60°,将线段AO绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结8E.

①在图2中补全图形；

②探究C£＞与座的数量关系，并证明；

4RAn

（3）如图3,若一=—=k,且NAOE=NC,试探究跖、BD、AC之间满足的数量关系，并证

BCDE

明.

9.（2021•山东中考真题）如图1,。为半圆的圆心，C、。为半圆上的两点，且BO=CO.连接AC并延

长，与3。的延长线相交于点E.

（1）求证：CD=ED；

（2）与OC，BC分别交于点凡H.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FOAH；

②若圆的半径为2,BD=1，如图3,求AC的值.

10.（2021•江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

（1）3c是边长为3的等边三角形,E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形,

如图1,求b的长；

CF

图1图2

（2）AABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以5E为边作等边三角形3£尸,

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如图2,在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

（3）AABC是边长为3的等边三角形，M是高C£＞上的一个动点，小亮以为边作等边三角形

如图3,在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形A8CD的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以8

为顶点作正方形BFGH，其中点AG都在直线AE上，如图4,当点E到达点B时，点尸、G、H与点B

重合.则点，所经过的路径长为，点G所经过的路径长为.

11.（2021.吉林中考真题）实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片A8CD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点3落在正方形A8CZ）

的内部，点8的对应点为点折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使与4M重合，折痕为AF,

则ZEAF=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点M我们发现，当点E的位置不同时，

点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则ZAEF=度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P.•求证△ANP^AFNE：.

（2）若AB=6，则线段AP的长为.

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图①

12.（2021・湖南中考真题）如图，在AABC中，AB^AC,N是BC边上的一点，。为AN的中点，过

点4作的平行线交CO的延长线于T,且AT=5N,连接

（1）求证：BN=CN；

（2）在如图中AN上取一点。，使AO=OC,作N关于边AC的对称点M,连接MT、MO,0C,OT、

CM得如图.

①求证：IJOMSAAOC；

②设7M与AC相交于点P,求证：PD//CM,PD^-CM.

2

13.（2021•浙江台州市•中考真题）如图，8力是半径为3的。。的一条弦，8。=4&,点A是。0上的一

个动点（不与点8,。重合），以A,B,。为顶点作平行四边形A8CD

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AA

DBDB

O

C

图1图2

（1）如图2,若点A是劣弧BO的中点.

①求证：平行四边形ABCO是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积.

（2）若点A运动到优弧80上，且平行四边形A8C。有一边与。。相切.

①求AB的长;

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值.

14.（2021•青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺,

又需要作60°,30°,15°等大小的角，可以采用如下方法:

操作感知:

第一步：对折矩形纸片ABC。，使与3C重合，得到折痕取，把纸片展开（如图

第二步：再一次折叠纸片,使点A落在所上，并使折痕经过点3,得到折痕同时得到线段BN（如

图13-2).

图13-1

猜想论证：

（1）若延长MN交于点尸，如图13-3所示，试判定ABM尸的形状，并证明你的结论.

拓展探究:

（2）在图13-3中，若AB=a,BC=b,当a,Z?满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCO中剪出符（1）

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中的等边三角形BMP?

15.（2021.海南中考真题）如图1,在正方形A8QD中，点E是边上一点，且点E不与点8、C重合,

点尸是B4的延长线上一点，且AF=CE.

（1）求证：ADCE%DAF；

（2）如图2,连接EF，交AD于点K,过点。作。〃，£尸，垂足为H,延长交3F于点G,连接

①求证：HD=HB：

②若DK-HC=也，求”E的长.

16.（2021•甘肃中考真题）问题解决：如图1,在矩形ABCD中，点£尸分别在AB,8C边上,

图1图2

(1)求证：四边形A8CO是正方形;

(2)延长CB到点”，使得BH=AE，判断△A//F'的形状，并说明理由.

类比迁移：如图2,在菱形A8CO中，点瓦尸分别在AB,8c边上，£>£与AE相交于点G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.

17.（2021•四川中考真题）如图1,在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,点。是AB边上一点（含

端点A、8）,过点B作BE垂直于射线CO，垂足为E,点尸在射线CO上，且EF=BE,连接AE、BF.

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图1图2

(1)求证：AABFS^CBE；

⑵如图2,连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、族的中点，连接PM、MN、PN.求/PMN

MN

的度数及——的值;

PM

（3）在（2）的条件下，若BC=C，直接写出AAMN面积的最大值.

18.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在DABCD

中，BE^AD，垂足为E，F为CO的中点，连接EF,BF,试猜想EF与8厂的数量关系，并加以证

明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABC。沿着B尸（尸为CD的中点）所在直线折叠，如图

②，点C的对应点为C',连接。C并延长交AB于点G，请判断AG与8G的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将QABC。沿过点8的直线折叠，如图③，点A的对应点为A',使

A,BICD于点H,折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点、N.该小组提出一个问题：若此口ABCD

的面积为20,边长A8=5,BC=2也，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，

直接写出结果.

19.（2021•浙江中考真题）问题：如图，在DABCD中，AB=8,4）=5,ZDAB，NA8C的平分线

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AE,B尸分别与直线CZ）交于点E,F,求EF的长.

答案：EF=2.

探究：（1）把“问题”中的条件"AB=8”去掉，其余条件不变.

①当点E与点F重合时，求A8的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件“AB=8,A£>=5”去掉，其余条件不变，当点C,D,E,F相邻两点间的距离相

An

等时，求丝的值.

AB

20.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一

个矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（o°<a490°）,得到矩形ABC。’

［探究1］如图1,当a=90°时，点C'恰好在延长线上.若A6=l，求BC的长.

［探究2］如图2,连结AC',过点。‘作O'"//AC交于点线段。与。M相等吗？请说明理

D

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［探究3］在探究2的条件下，射线OB分别交A。'，AC于点P,N（如图3）,MN,PN存在一定的数

量关系，并加以证明.

21.（2021•浙江中考真题）如图，在菱形A8C。中，NA8C是锐角，E是边上的动点，将射线AE绕

点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点立

⑴当AE八BC,?EAF?ABC时,

①求证：AE=AF;

（2）当ZE4尸=；N54£）时，延长交射线AE于点M，延长OC交射线AE于点N,连结AC,MN,

若AB=4,AC=2,则当CE为何值时，△4WN是等腰三角形.

22.（2017•山东德州市.中考真题）如图1,在矩形纸片4BCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点

落在边A£＞上的E处，折痕为PQ,过点E作EF〃A8交PQ于F,连接8F.

（1）求证：四边形BFE尸为菱形；

（2）当点E在AO边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

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①当点。与点C重合时（如图2）,求菱形BFE尸的边长；

②若限定P、。分别在边加、BC上移动，求出点E在边上移动的最大距离.

23.（2020・广西中考真题）已知：在矩形ABCD中，AB=6,A£>=2>/3.P是3C边上的一个动点，将

矩形ABC。折叠，使点A与点P重合，点。落在点G处，折痕为EF.

（1）如图1,当点P与点C重合时，则线段EB=，EF=；

（2）如图2,当点P与点3,C均不重合时，取所的中点。，连接并延长P。与GF的延长线交于点M,

连接PE，ME，MA.

①求证：四边形MEPF是平行四边形：

②当tanNMAO="!•时，求四边形ME尸产的面积.

3

图1图2

24.（2020•山东中考真题）在等腰△ABC中，AC=BC,AADE是直角三角形，ND4E=90。，ZADE=y

NACB,连接B。，BE,点尸是BD的中点，连接CE

（1）当/。8=45。时.

①如图1,当顶点。在边AC上时，请直接写出NEAB与NCBA的数量关系是.线段BE与线段CF

的数量关系是:

②如图2,当顶点。在边AB上时，（1）中线段8E与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰△ABC底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

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思路二：取OE的中点G,连接4G,CG,并把AC4G绕点C逆时针旋转90。，再利用旋转性质、三角形全

等或相似有关知识来解快问题.

(2)当NCAB=30。时,如图3,当顶点。在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理

图2图3

已知&ABC内接于GO,AB=AC,ABAC=42°，点。是。。上一点.

图①

(I)如图①，若BO为。。的直径，连接CO,求ND8C和NACO的大小；

(II)如图②，若CD"BA，连接A0，过点。作0。的切线，与OC的延长线交于点E,求NE的大小.

26.(2021•浙江中考真题)如图，锐角三角形ABC内接于。。，44c的平分线AG交。。于点G,交BC

边于点F,连接8G.

⑴求证：△ABGs^AFC.

(2)已知43=。，AC=AF=b,求线段FG的长(用含“，。的代数式表示).

(3)已知点E在线段A尸上(不与点A,点尸重合)，点。在线段AE上(不与点A,点E重合),

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ZABD=ZCBE,求证：BG2=GEGD.

27.（2021.山东中考真题）如图，已知正方形点E是BC边上一点，将△ABE沿直线4E折叠，点

8落在F处，连接BF并延长，与ND4F的平分线相交于点H,与AE,CC分别相交于点G,M,连接HC

（1）求证：AG=GH；

（2）若A8=3,BE=1,求点。到直线8,的距离；

（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，NBHC的大小是否变化？为什么？

28.（2021•甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关

圆的一个引理.如图，已知是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（I）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）:

①作线段AC的垂直平分线。E，分别交AB于点°，AC于点£，连接AO,CO；

②以点。为圆心，D4长为半径作弧，交AB于点尸（EA两点不重合），连接。尸.

（2）直接写出引理的结论：线段8C,8尸的数量关系.

29.（2021•北京中考真题）在平面直角坐标系X。），中，。。的半径为1,对于点A和线段8C,给出如下

定义：若将线段3C绕点A旋转可以得到。。的弦8。（B',C分别是的对应点），则称线段是

QO的以点A为中心的“关联线段

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(1)如图，点44，0,巴,。2，4,。3的横、纵坐标都是整数.在线段4G,当。2,打。3中，。。的以点A为

中心的“关联线段”是；

(2)AA5c是边长为1的等边三角形，点4(0,。，其中rwO.若8C是。。的以点A为中心的“关联线

段”,求f的值;

⑶在AABC中，AB=\,AC=2.若BC是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值

和最大值，以及相应的BC长.

30.(2021・湖北中考真题)如图，在菱形ABC。中，。是对角线3。上一点(30>OO),0E1AB,

垂足为E,以0E为半径的。。分别交。。于点〃，交E0的延长线于点尸，E尸与DC交于点G.

(1)求证：BC是。0的切线；

(2)若G是OF的中点，OG=2,DG=1.

①求”E的长；

②求AO的长.

31.(2021.山东中考真题)如图，在。。中，AB是直径，弦COJ_AB,垂足为H,E为BC上一点，F

为弦DC延长线上一点，连接EE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CO于点P，若EE=EP.

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(1)求证：庄是00的切线；

3

(2)若的半径为8,sinF=-,求BG的长.

32.(2021・四川中考真题)如图，OO的半径为1,点A是。O的直径8。延长线上的一点，C为。。上的

一点，AD=CD,Z4=30°.

(1)求证：直线AC是。。的切线；

(2)求△ABC的面积；

(3)点E在上运动(不与B、。重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F.

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，C尸取到最大值，并求出此时CF的长.

33.(2021•重庆中考真题)在AA3c中，AB^AC,。是边上一动点，连接AO,将AO绕点A逆

时针旋转至AE的位置，使得ZDAE+ZBAC=180°.

(1)如图1，当NA4C=90°时，连接3E,交AC于点F.若BE平分NABC,80=2,求A厂的长;

(2)如图2,连接5E,取座的中点G,连接AG.猜想4G与C£＞存在的数量关系，并证明你的猜想;

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(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G,CE.若N」R4C=120。，当BD>CD,NAEC=15()°时,

请直接写出BD-DG的值.

CE

34.(2021・四川中考真题)如图，点。在以AB为直径的。。上，过。作。O的切线交AB延长线于点C,

4七，8于点£交。。于点F,连接A。，FD.

(1)求证：ZDAE=ZDAC；

(2)求证：DFAC=ADDC；

(3)若sinNC=‘，AO=4而，求EF的长.

35.(湖南省益阳市2021年中考数学真题)如图，在等腰锐角三角形A8C中，A3=AC,过点8作3。，AC

于。，延长8D交AMC的外接圆于点E,过点A作AF_LCE于F,的延长线交于点G.

(1)判断E4是否平分N0£户，并说明理由；

(2)求证：①BD=CF；②BD?=DE?+AE-EG.

36.(2021•湖南中考真题)如图①，E、/是等腰RhABC的斜边BC上的两动点,

ZE4F=45°,CDA.B(^CD=BE.

图①

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A

(2)求证：EF2=BE2+CF2;

（3）如图②，作A〃_L3C,垂足为H,设NEAH=a,NFAH=0,不妨设A6=及，请利用（2）

c/八、tana+tan£

的结论证明：当a+"45时'「an…=ini产•

37.（2021•黑龙江中考真题）如图所示,四边形ABCD为正方形,在AECH中，Z.ECH=90°,CE=CH,HE

的延长线与CO的延长线交于点尸，点。、B、”在同一条直线上.

H

(1)求证：ACDEACBH；

,HB1,4FD一一

(2)当=一时，求的值;

HD5FC

(3)当HB=3,HG=4时，求sinNCEE的值.

38.（2021・四川中考真题）如图，A3为。。的直径，C为。。上一点，连接AC,BC,。为AB延长线上

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一点，连接CO,且ZBCZ）=NA.

（1）求证：CO是。。的切线;

(2)若。。的半径为后，A/WC的面积为26，求CO的长;

EF1

(3)在（2）的条件下，E为。。上一点，连接CE交线段OA于点F,若一=一,求的长.

CF2

39.（2021.湖南中考真题）如图，在RtZXABC中，点P为斜边8c上一动点，将AABP沿直线”折叠,

使得点3的对应点为8'，连接AB',CB',BB'，PB'.

(1)如图①,若尸B'LAC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②,若AB=AC,BP=3PC,求cosNB'AC的值.

PC