第5章 分式与分式方程（教师版）-八年级数学下册

第5章分式与分式方程知识点01：分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.易错指导：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.知识点02：分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算QUOTE；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.知识点03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.易错指导：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.知识点04：分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•九龙坡区校级期中）若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：解不等式组得：，∵不等式组至多有5个整数解，∴﹣6＜m﹣1＜0，即﹣5＜m＜1，方程去分母得1+3y﹣3＝﹣my，解得：y＝，∵y＝为整数且≠1，∵﹣5＜m＜1，∴符合条件的整数m的值为：﹣4，﹣2共2个．故选：C．2．（2分）（2023春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式的解集为x＞4，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（）A．5 B．6 C．7 D．9解：不等式组整理得：，∵不等式组的解集为x＞4，∴m≤4，分式方程去分母得：6+x﹣3＝mx﹣3，解得：x＝，∵分式方程有正整数解，且x≠3，∴m﹣1＝1或3或6，解得：m＝2，4（m＞4的值舍去），则所有满足题意整数m之和为2+4＝6．故选：B．3．（2分）（2023春•九龙坡区校级月考）若整数a使关于x的分式方程有整数解，使关于y的不等式组有且仅有2个奇数解，则符合条件的所有整数a之积为（）A．﹣12 B．0 C．72 D．144解：分式方程去分母得：1﹣ax﹣1＝2x﹣4，解得：x＝，由分式方程解为整数，得到a+2＝±1，±2，±4，解得：a＝﹣1，﹣3，0，﹣4，2，﹣6，∵x≠2，且a+2≠0，∴a≠0，∴a＝﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，不等式组整理得：，解得：＜y≤2，由不等式组有且仅有两个奇数解，得到奇数解为﹣1，1，∴﹣3≤＜﹣1，∴﹣6≤a＜2，则满足题意a的值有﹣6，﹣4，﹣3，﹣1，则符合条件的所有整数a的积是72．故选：C．4．（2分）（2023•景县校级模拟）已知a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝，N＝，结论Ⅰ：当ab＝1时，M＝N；结论Ⅱ：当a+b＝0时，M⋅N≤0，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对解：结论Ⅰ：当ab＝1，则M＝＝＝＝N．∴当ab＝1时，M＝N，即结论Ⅰ正确．结论Ⅱ：当a+b＝0时，则b＝﹣a．∴M＝＝，N＝＝．∴MN＝≤0．∴结论Ⅱ正确．综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确．故选：A．5．（2分）（2022秋•德州期末）如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．5解：解不等式＜1，得：x＜m+3，解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，∵不等式组的解集为x＜1，∴m+3≥1，解得：m≥﹣2，解分式方程，得x＝，∵分式方程有非负数解，∴≥0且≠1，解得m＜3且m≠2，则﹣2≤m＜3且m≠2，则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．故选：A．6．（2分）（2022秋•北碚区校级期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．11 B．14 C．16 D．9解：解不等式，得x≤1．解不等式x+1＞，得x＞a﹣2．∵关于x的不等式组无解，∴a﹣2≥1．∴a≥3．∵，∴3﹣ay﹣（3﹣y）＝﹣6．∴3﹣ay﹣3+y＝﹣6．∴（1﹣a）y＝﹣6．∴y＝﹣．∵关于y的分式方程有正整数解，∴﹣≠3且1﹣a＝﹣1或﹣2或﹣3．∴a＝2或a＝3（当a＝3，此时y＝3是增根，故舍去）或a＝4或a＝7．综上：a＝4或7．∴满足条件的整数a和为4+7＝11．故选：A．7．（2分）（2022秋•石门县期末）2021年是抗击新冠肺炎不平凡的一年，某医药用品公司用10000元购进一批医用级防护服若干件，很快售完；该医药公司又用14700元购进第二批这种医用级防护服，所进件数比第一批多40%，每件防护服的进价比第一批每件防护服的进价多10元．求第一批购进多少件防护服？设第一批购进x件防护服，所列方程为（）A． B． C． D．解：根据题意，得．故选：D．8．（2分）（2022秋•合肥期末）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（）A．2 B．5 C．6 D．9解：∵不等式组的解集为x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．关于y的分式方程＝1﹣的解为y＝．∵y＝3是原分式方程的增根，∴≠3．∴a≠3．∵关于y的分式方程＝1﹣的解为正整数，∴为正整数．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．故选：C．9．（2分）（2022春•九龙坡区校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．6解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，∵x解为正数，∴2a﹣1＞0，∴a＞，关于y的不等式组解为，∵y恰有三个整数解，∴0＜≤1，∴﹣1＜a≤3，分式方程中，x≠3，∴2a﹣1≠3，∴a≠2，综上所述：＜a≤3，∴满足条件的整数a为：1、3，则所有满足条件的整数a的和是4．故选：C．10．（2分）（2021•澧县模拟）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程﹣＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（）A．15 B．14 C．8 D．7解：解不等式①，得：x≤11，解不等式②，得x＞a，∵不等式组至少有五个整数解，∴a＜7；，a﹣3+2＝2（y﹣1），a﹣1＝2y﹣2，2y＝a+1，y＝，∵y﹣1≠0，∴y≠1，∴≠1，∴a≠1，∵y≥0，∴≥0，∴a≥﹣1，∴﹣1≤a＜7，且a≠1，a为整数，又∵为整数，∴a可以取﹣1，3，5，∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•渝中区校级模拟）若m使得关于x的一元一次不等式组有且仅有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为﹣1．解：关于x的一元一次不等式组，解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，由于原不等式组有且仅有两个整数解，∴﹣1＜≤0．解得﹣3＜m≤2，分式方程的解为y＝是正数，且y≠3，∴2﹣m＞0，且2﹣m≠3，∴m＜2且m≠﹣1，∴﹣3＜m＜2且m≠﹣1，∴符合条件的所有整数m的和为﹣2+0+1＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（2分）（2023春•武侯区校级期中）关于x的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数m的值为5．解：不等式组的解集为：≤x≤3，∵关于x的不等式组恰有两个整数解，∴1＜≤2．∴3＜m≤6，∴整数m的值为4，5，6，∵当m＝5时，的值为正整数，∴整数m的值为5．故答案为：5．13．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期中）若关于y的不等式组的解集为y≤﹣4，且关于x的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是19．解：由≥2y+1得，y≤﹣4，由＜1得，y＜a+3，∵不等式组的解集为y≤﹣4，∴a+3＞﹣4，∴a＞﹣7，分式方程，1﹣x+4x﹣12＝﹣a，3x＝11﹣a，∴x＝，∵方程的解是非负整数，∴11﹣a是3的倍数，∵≠3，∴a≠2，∴a的取值为﹣4，﹣1，5，8，11，∴所有满足条件的整数a的值之和是19，故答案为：19．14．（2分）（2023•顺庆区校级二模）已知x2﹣3x+1＝0，则x3﹣2x+的值为13．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2＝3x﹣1，x2﹣3x＝﹣1，x﹣3+＝0，∴x+＝3，∴（x+）2＝32，∴x2+＝9﹣2＝7，∴x3﹣2x+＝x（x2﹣2）+＝x（3x﹣1﹣2）+＝x（3x﹣3）+＝3x2﹣3x+＝x2﹣3x+2x2+＝﹣1+2（x2+）＝﹣1+2×7＝﹣1+14＝13，故答案为：13．15．（2分）（2023春•铜梁区校级期中）若实数a使得关于x的分式方程有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为4个．解：，整理原方程：﹣＝1，方程两边都乘以x﹣2，得x+a﹣2x＝x﹣2，解得x＝，，解不等式组，得，∵一元一次不等式组有且仅有4个整数解，∴0≤＜1，∴﹣3≤a＜7，∵x的分式方程有非负整数解，∴，∴a≥﹣2且a≠2，综上所述：﹣3≤a＜7，且a≠2，∴满足条件的整数解a＝﹣2或0或4或6，∴所有整数a的个数为4个，故答案为：4．16．（2分）（2023春•郫都区校级期中）若关于x的不等式组有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和为﹣4．解：，不等式组整理得：，由不等式组有且仅有五个整数解，得到﹣1≤＜0，解得：﹣4≤a＜3，﹣＝3，分式方程去分母得：x+a﹣2＝3x﹣3，解得：x＝，∵关于x的分式方程﹣＝3的解为整数，∴为整数，且﹣1≠0，解得：a+1是2的倍数，且a≠1．则所有满足条件的a为：﹣3，﹣1，∴所有满足条件的a和为：﹣4．故答案为：﹣4．17．（2分）（2022春•成都期末）关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是a≤2且a≠1．解：解分式方程得，y＝2﹣a，∵a使关于y的方程的解为非负数，∴2﹣a≥0，且2﹣a≠1∴a≤2且a≠1．故答案为：a≤2且a≠1．18．（2分）（2021秋•桂平市期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为﹣2或1．解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或119．（2分）（2021秋•长沙期末）若3x﹣4y﹣z＝0，2x+y﹣8z＝0，则的值为2．解：∵解方程组，解得，∴原式＝＝＝2．故答案为：2．20．（2分）（2020秋•北京期末）依据如图流程图计算﹣，需要经历的路径是②③（只填写序号），输出的运算结果是．解：∵两个分式分母不同，∴经历路径为②．根据路径②计算如下：原式＝，＝﹣，＝，∴原式为最简分式，再经过路径③得出结果．故答案为：②③，．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•新抚区模拟）先化简，再求值：（）÷，其中．解：原式＝[]÷＝＝＝；当x＝时，原式＝＝1﹣．22．（8分）（2023春•福田区校级期中）（1）解不等式x﹣5＞3（x﹣3），并写出它的所有自然数解；（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；（3）解方程程；（4）解方程：．解：（1）x﹣5＞3（x﹣3），去括号，得x﹣5＞3x﹣9，移项，得x﹣3x＞﹣9+5，合并，得﹣2x＞﹣4，解得x＜2，∴自然数解为0，1；（2），解①得：x＞3，解②得：x≥1，则不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示为：；（3）去分母得：2x＝x﹣1+2去解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的增根，故此方程无解；（4）去分母得：（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），去括号，得：x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，移项，得：x2﹣x+x﹣x2+2x＝2，合并同类项，得：2x＝2，系数化为1，得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．23．（6分）（2023春•泉港区期中）为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）mm﹣30售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值．（2）若购进乙种运动鞋x（双），要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润y（元）（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，问：购进甲种运动鞋多少双时总利润最大，最大利润是多少？解：（1）由题意可得：，解得，m＝150，经检验，m＝150是原分式方程的解，即m的值是150．（2）由题意可得：y＝（240﹣150）×（200﹣x）+（160﹣120）x＝﹣50x+18000，又∵13000≤y≤13500，∴13000≤﹣50x+18000≤13500，解得，90≤x≤100且x为整数，∵﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝90时，y取得最大值，此时200﹣x＝200﹣90＝110，最大值y＝﹣50×90+18000＝13500，∴当购进甲种运动鞋110双时总利润最大，最大利润是13500元．24．（8分）（2023春•青羊区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价（x+1）万元，由题意得：＝，解得：x＝9，经检验：x＝9是原分式方程的解，且符合题意，答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元．（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进（15﹣y）辆，由题意得：7.5y+6（15﹣y）≤105，解得：y≤10．答：A款汽车最多能购进10辆．25．（8分）（2023春•海口期中）“菊润初经雨，橙香独占秋”，海南琼中绿橙甘甜爽口，富含丰富的维生素C．某水果基地决定将一批绿橙运往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱绿橙，且甲种货车装运1000箱绿橙所需车辆数与乙种货车装运800箱绿橙所需车辆数相等．求甲、乙两种货车每辆分别可装多少箱绿橙？解：设甲种货车每辆可装x箱绿橙，则乙种货车每辆可装（x﹣20）箱绿橙，由题意得：＝，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x﹣20＝100﹣20＝80，答：甲种货车每辆可装100箱绿橙，乙种货车每辆可装80箱绿橙．26．（8分）（2023春•安溪县期中）某茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：茶叶品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a200乙a+50300已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．（1）求a的值；（2）茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．①求销售完这两种茶叶的最大利润；②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元（m＜50），甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．解：（1）由题意得：，解得：a＝100，经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意，∴a的值为100；（2）①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：y＝（200﹣100）x+（300﹣150）（300﹣x）＝﹣50x+45000，其中80≤x≤120，∵﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝80时，y的最大值＝﹣50×80+45000＝41000，答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得：y＝100x+（150﹣m）（300﹣x）＝（m﹣50）x+45000﹣300m，∵m＜50，∴m﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵80≤x≤120，∴当x＝120时，y的最小值＝（m﹣50）×120+45000﹣300m≥31800，解得：m≤40，∴m的最大值为40．27．（8分）（2022秋•青云谱区期末）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500元，分别计算甲、乙