微分中值定理

关于微分中值定理第五章微分中值定理本章学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第2页,共56页，2024年2月25日，星期天第一节微分中值定理第五章微分中值定理一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理第3页,共56页，2024年2月25日，星期天费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理

微分中值定理第4页,共56页，2024年2月25日，星期天

我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,

这些关系式称为“微分学中值定理”.

这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.第5页,共56页，2024年2月25日，星期天极值的定义第6页,共56页，2024年2月25日，星期天一.费马定理

可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理第7页,共56页，2024年2月25日，星期天费马定理的几何解释

如何证明？第8页,共56页，2024年2月25日，星期天则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？第9页,共56页，2024年2月25日，星期天但是……不保证在内部！第10页,共56页，2024年2月25日，星期天水平的可保证在内部一点取到极值第11页,共56页，2024年2月25日，星期天二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理第12页,共56页，2024年2月25日，星期天

实际上,切线与弦线AB平行.第13页,共56页，2024年2月25日，星期天最小值至少各一次.证第14页,共56页，2024年2月25日，星期天最小值至少各一次.由费马定理可知：第15页,共56页，2024年2月25日，星期天例1证其中,第16页,共56页，2024年2月25日，星期天综上所述,第17页,共56页，2024年2月25日，星期天连续可微端点函数值相等例2分析第18页,共56页，2024年2月25日，星期天例2证由罗尔定理,至少存在一点第19页,共56页，2024年2月25日，星期天

分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.第20页,共56页，2024年2月25日，星期天且满足罗尔定理其它条件,例3证第21页,共56页，2024年2月25日，星期天想想,看能不能找到证明的方法.例4分析第22页,共56页，2024年2月25日，星期天例4证则由已知条件可知:第23页,共56页，2024年2月25日，星期天该矛盾说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要,当然可以使用.第24页,共56页，2024年2月25日，星期天例5证第25页,共56页，2024年2月25日，星期天例6证第26页,共56页，2024年2月25日，星期天三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理第27页,共56页，2024年2月25日，星期天

切线与弦线AB平行如何利用罗尔定理来证明？第28页,共56页，2024年2月25日，星期天则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证第29页,共56页，2024年2月25日，星期天定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数拉格朗日有限增量公式第30页,共56页，2024年2月25日，星期天某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在第31页,共56页，2024年2月25日，星期天还有什么？第32页,共56页，2024年2月25日，星期天推论1第33页,共56页，2024年2月25日，星期天推论2(C

为常数)第34页,共56页，2024年2月25日，星期天推论3

用来证明一些重要的不等式第35页,共56页，2024年2月25日，星期天推论4

用来判断函数的单调性第36页,共56页，2024年2月25日，星期天在推论4中,第37页,共56页，2024年2月25日，星期天推论5则再由推论4,即得命题成立.

该推论可以用来证明不等式.证第38页,共56页，2024年2月25日，星期天例11解第39页,共56页，2024年2月25日，星期天例9证延拓!第40页,共56页，2024年2月25日，星期天例10证从而第41页,共56页，2024年2月25日，星期天解例7第42页,共56页，2024年2月25日，星期天例12解第43页,共56页，2024年2月25日，星期天又故从而即例13证第44页,共56页，2024年2月25日，星期天即例14证第45页,共56页，2024年2月25日，星期天故从而例8证第46页,共56页，2024年2月25日，星期天

在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？第47页,共56页，2024年2月25日，星期天使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.第48页,共56页，2024年2月25日，星期天四.柯西中值定理设则至少存在一点第49页,共56页，2024年2月25日，星期天有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.第50页,共56页，2024年2月25日，星期天故由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证第51页,共56页，2024年2月25日，星期天分析例15第52页,共56页，2024年2月25日，星期天例16证第53页,共56页，20