2019年山东省枣庄市中考数学试卷（解析版）

2019年山东省枣庄市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正

确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。

1.（3分）（2019•枣庄）下列运算，正确的是（）

A.2x+3y=5xyB.（%-3）2=?-9

C.（xy2）2=/y4D.无6+尤3=苫2

【考点】35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数塞的除法；4C：完全

平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幕的

乘除运算法则分别计算得出答案.

【解答】解：42x+3y,无法计算，故此选项错误；

B、（尤-3）2=/-6x+9,故此选项错误；

C>（盯2）2=/y4,正确；

D、x6jrx3=x3,故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数塞的乘

除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

2.（3分）（2019•枣庄）下列图形，可以看作中心对称图形的是（）

【考点】R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：4不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

8、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合.

3.（3分）（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的

一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则Na的度数是

（）

A.45°B.60°C.75°D.85°

【考点】K8：三角形的外角性质.

【专题】1：常规题型；552：三角形.

【分析】先根据三角形的内角和得出/CGF=/OGB=45°,再利用/a=/O+NOGB

可得答案.

【解答】解：如图，

VZAC£>=90°、4=45°,

：.ZCGF=ZDGB=45°,

则/a=/O+/r）GB=30°+45°=75°,

故选：C.

【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和

三角形外角的性质.

4.（3分）（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,8两点，P是线段

上任意一点（不包括端点），过点尸分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的

周长为8,则该直线的函数表达式是（）

A.y--x+4B.y—x+4C.y=x+8D.y--x+8

【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质.

【专题】532：函数及其图像.

【分析】设P点坐标为（x,y）,由坐标的意义可知尸C=x,PD=y，根据围成的矩形的

周长为8,可得到x、y之间的关系式.

【解答】解：如图，过尸点分别作尸。口轴，PCL轴，垂足分别为。、C,

设P点坐标为（x,y）,

点在第一象限，

.,.PD=y,PC=x,

,矩形PDOC的周长为8,

：.2（x+y）=8,

；.x+y=4,

即该直线的函数表达式是y=-x+4,

故选：A.

【点评】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的

坐标都满足函数关系式＞=日+瓦根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键.

5.(3分)(2019•枣庄)从-1、2、3、-6这四个数中任取两数，分别记为机、n,那么点

(m,n)在函数＞=2图象的概率是()

X

A.1B.1C.1D.工

2348

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法.

【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用.

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出相〃=6,列表找出所有mn的值，根

据表格中："〃=6所占比例即可得出结论.

【解答】解：：点(m,n)在函数y=且的图象上，

・・H1KI~~6.

123

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表

找出mn=6的概率是解题的关键.

6.(3分)(2019•枣庄)在平面直角坐标系中，将点A(1,-2)向上平移3个单位长度，

再向左平移2个单位长度，得到点火，则点火的坐标是()

A.(-1,1)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【考点】Q3：坐标与图形变化-平移.

【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可.

【解答】解：•.•将点A(1,-2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，

得到点A，,

...点A'的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,

：.A'的坐标为(7,1).

故选：A.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加,

左移减；纵坐标上移加，下移减.

7.（3分）（2019•枣庄）如图，点E是正方形ABC。的边DC上一点，把△AOE绕点A顺

时针旋转90°到的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为（）

C.6D.276

【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求

出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.

【解答】解：：4ADE绕点A顺时针旋转90°到的位置.

四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20,

：.AD=DC=2-/5>

；DE=2,

A£=22=2

.•.RtZXAOE中，JAD+DE^

故选：D.

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应

边关系是解题关键.

8.（3分）（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形A8C。中，以点8为圆心，A8为半径

画弧，交对角线8。于点E,则图中阴影部分的面积是（结果保留TT）（）

D.8-Lt

B.16-2TTC.8-2n

2

【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】根据5阴=5A43。-S扇形R4后计算即可.

【解答】解：SBJ=SAABD-S扇形BAE=LX4X4-必"兀’4=&-2互，

2360

故选：C.

【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割

法求阴影部分面积.

9.（3分）（2019•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分

别在无轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA_Lx轴，点C在函数y=k（x>0）的图

x

象上，若AB=1,则4的值为（）

VA

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形.

【专题】534：反比例函数及其应用；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】根据题意可以求得和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，

本题得以解决.

【解答】解：.等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在无轴、y轴的正半轴上，ZABC

=90°,CAJ_x轴，AB=1,

：.ZBAC=ZBAO=45°,

：.OA=OB=注AC=E

2

点C的坐标为（华，我），

:点C在函数y=k（x>0）的图象上,

仁华X亚=1，

故选：A.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答.

10.（3分）（2019•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片,

适合填补图中空白处的是（）

A.

【考点】38：规律型：图形的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10,据此可得.

【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10,

符合此要求的只有

故选：D.

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数

之和为10.

11.（3分）（2019•枣庄）点。，A,B,C在数轴上的位置如图所示，。为原点，AC=1,

OA=OB.若点C所表示的数为a,则点8所表示的数为（）

A.-（ci+1）B.-（a-l）C.a+1D.a~1

【考点】13：数轴.

【专题】511：实数；61：数感.

【分析】根据题意和数轴可以用含。的式子表示出点8表示的数，本题得以解决.

【解答】解：为原点，AC=1,04=08,点C所表示的数为a,

点A表示的数为a-1,

...点8表示的数为：-（a-1）,

故选：B.

【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

12.（3分）（2019•枣庄）如图，将△ABC沿8c边上的中线AD平移到B'C的位置.已

知AABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9.若A4'=1,则A'。等于（）

A.2B.3C.4D.—

2

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】由SA4BC=16、EF=9且为BC边的中线知SAA，DE=LSAA，EF=2,5A

22

ABD=^S^ABC=S,根据△以'ES/XD48知（A」）2=DE,据此求解可得.

2ADS△砌

【解答】解：：SAABC=16、SAA，EF=9,且4。为BC边的中线，

.191

•"5AA'DE=—SAA'EF——>S^ABD=—S^ABC=8>

222

:将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△ABC,

"E//AB,

Es^DAB,

旦

则（红）2=S”DE,即（A，D）2=Zq,

ADAABDA'D+l816

解得4D=3或A'£）=-▲（舍），

7

故选：B.

【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的

性质、相似三角形的判定与性质等知识点.

二、填空题：本大题共6小题，满分24分。只填写最后结果，每小题填对得4分。

13.（4分）（2019•枣庄）若机-1=3,则川+_1_=11.

rom2

【考点】4C：完全平方公式.

【专题】12：应用题.

【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案.

【解答】解：：（m'）=疡-2+3=9,

min2

"户+_1_=11,

2

in

故答案为11.

【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计

算，难度适中.

14.（4分）（2019•枣庄）已知关于x的方程苏+法-3=0有两个不相等的实数根，则°的

取值范围是■且aWO.

【考点】AA：根的判别式.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程a?+bx+c=O（aWO）的根

的判别式是b2-4ac>0即可进行解答

【解答】解：由关于x的方程办2+法-3=0有两个不相等的实数根

得△=%2-4ac=4+4X3a>0,

解得a>.X

3

贝I]a>-XjlaWO

3

故答案为a>」且aWO

3

【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ajC+bx+c=Q（a#0）

中，（1）当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=（）时，方程有两个相等的

实数根；（3）当△<（）时，方程没有实数根.

15.（4分）（2019•枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆A8的高度，将测角仪CD竖直放

在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度

是1.5机，贝U旗杆48的高度约为9.5加精确到0.1m.参考数据：sin53°«0.80,cos53°

仁0.60,tan53°仁1.33)

A

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55：几何图形.

【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：过。作。

•••在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,

AZADE^53°，

:BC=DE=6m,

；.AE=r)E・tan53°心6X1.3327.987”,

：.AB=AE+BE=AE+CD=1.98+1.5=9A8m^9.5m,

故答案为：9.5

【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三

角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

16.（4分）（2019•枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻

轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.图中，/8AC=36度.

图1图2

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】16：压轴题.

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：.NA8C=（5七.）x1800=1,AABC是等腰三角形，

5

NBAC=ZBCA=36度.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质.

〃边形的内角和为:180°-2）.

17.（4分）（2019•枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中

一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,

C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=巫-血.

【考点】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2®BF=AF=®再利用勾股定理

求出。凡即可得出结论.

【解答】解：如图，过点A作APL8C于R

在RtZXABC中，ZB=45°,

:两个同样大小的含45°角的三角尺，

:.AD=BC=2M，

在F中，根据勾股定理得，止=〃口2_人尸2=注,

：.CD=BF+DF-BC=V2+V6-2%=遍-、匹，

故答案为：V6-V2.

E

A

【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题

的关键.

18.（4分）（2019•枣庄）观察下列各式:

(1-1),

2

【考点】37：规律型：数字的变化类；73：二次根式的性质与化简.

【专题】514：二次根式.

【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可.

22320182019

=2018+1-1-+A--L+L-…+—1---1—

2233420182019

=川13---，,

2019

故答案为：2018^11.

2019

【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题

的关键.

三、解答题：本大题共7小题，满分60分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤。

19.（8分）（2019•枣庄）先化简，再求值：一—个（工+1）,其中尤为整数且满足不等

x2-lx-1

式组卜-R'

15-2x>-2.

【考点】6D：分式的化简求值；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的

整数解.

【专题】513：分式.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解,

继而代入计算可得.

【解答】解:原式二

(x+1)(x-1)X-1X-1

-x2.x-1

(x+1)(x-1)x

_X

x+1'

解不等式组卜-1>1'得2<xW工,

15一一2.2

则不等式组的整数解为3,

当x=3时，原式=2=二.

3+14

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则及解一元一次不等式组的能力.

20.（8分）（2019•枣庄）如图，8。是菱形A8CZ）的对角线，ZCBD=75°,

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线ER垂足为E,交于尸；（不要求写作法,

保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接3R求NQ8F的度数.

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L8：菱形的性质；N2：作图一基本作图.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】(1)分别以4B为圆心，大于LIB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可;

2

(2)根据尸/ABb计算即可；

(2):四边形ABC。是菱形，

AZABD=ZDBC=^-ZABC=15°,DC//AB,ZA=ZC.

2

AZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

.,.NC=/A=30°,

垂直平分线段AB,

C.AF^FB,

：.ZA=ZFBA=30°,

；./DBF=/ABD-NFBE=45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型.

21.(8分)(2019•枣庄)对于实数a、b,定义关于“⑤”的一种运算：a0b=2a+b,例如

3(8)4=2X3+4=10.

(1)求4⑤(-3)的值；

(2)若.r0(-y)—2,(2y)因尤=-1,求x+y的值.

【考点】2C：实数的运算；98：解二元一次方程组.

【专题】11：计算题；521：一次方程(组)及应用.

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)己知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求.

【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式=8-3=5；

（2）根据题中的新定义化简得：,2x-y=2R,

Ix+4y=-l②

①+②得：3x+3y=l,

则x+y==.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题

的关键.

22.（8分）（2019•枣庄）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思

想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校响应号召，鼓励师生利用课余时

间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外

阅读的时间，过程如下：

一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下

（单位：min）：

306081504411013014680100

6080120140758110308192

二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格:

课外阅读时间尤（min）0«4040«8080«120120^x<160

等级DCBA

人数3a8b

三、分析数据，补全下列表格中的统计量:

平均数中位数众数

80C81

四、得出结论：

①表格中的数据：a=5,（=4,c=80.5

②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为L;

③如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160人;

④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一

年（按52周计算）平均阅读13本课外书.

【考点】V2：全面调查与抽样调查；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表;

W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】①根据已知数据和中位数的概念可得；

②由样本中位数和众数、平均数都是B等级可得答案；

③利用样本估计总体思想求解可得；

④用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得.

【解答】解：①由已知数据知。=5,b=4,

:第10、11个数据分别为80、81,

,中位数C=80+81=80.5,

2

故答案为:5、4、80.5；

②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为2，

故答案为：B；

③估计等级为“8”的学生有400X合=160（人），

故答案为：160；

④估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书瑞X52=13（本），

故答案为：13.

【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识.准确把握三数（平均数、中位数、众

数）和理解样本和总体的关系是关键.

23.（8分）（2019•枣庄）如图，在中，90°,以AB为直径作点。

为。。上一点，且C£）=C8,连接。。并延长交的延长线于点E.

（1）判断直线与O。的位置关系，并说明理由；

（2）若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.

【考点】M5：圆周角定理；MB：直线与圆的位置关系.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】(1)欲证明C。是切线，只要证明利用全等三角形的性质即可证明；

(2)设的半径为r.在RtZ\OBE中，根据可得《-厂)2=?+22,

推出厂=1.5,由tan/E=9=型，推出"■=&□,可得CO=8C=3,再利用勾股定

EBDE24

理即可解决问题；

【解答】(1)证明：连接OC

,:CB=CD,CO=CO,OB=OD,

.,.△OCB冬AOCD(SSS),

：.ZODC=ZOBC=90°,

：.OD±DC,

是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为r.

在RtAOBE中,>?OE2=EB2+OB2,

：.(4-r)2=A22,

r=1.5,

：tan/E=^=型，

EBDE

•.•1.5一_C-D,

24

，cr)=3C=3,

在RtAABC中，^C=>/AB2+BC2=V32+32=3A^,

，圆的半径为1.5,AC的长为3、历.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

24.（10分）（2019•枣庄）在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,AO_LBC于点D

(1)如图1,点、M,N分别在AD,AB上，且/8MN=90°,当NAMN=30°,AB=2

时，求线段AM的长；

(2)如图2,点、E,尸分别在AB,AC上，且/即尸=90°,求证：BE=AF；

(3)如图3,点M在的延长线上，点N在AC上，且NBAfN=90°,求证：AB+AN

=V2AM.

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到&。=2。=。。=如，求出

/〃8。=30°,根据勾股定理计算即可；

(2)证明△BDE之△AOE根据全等三角形的性质证明；

(3)过点M作ME//BC交AB的延长线于E,证明根据全等三角形

的性质得到AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论.

【解答】(1)解：VZBAC=90°,AB=AC,AD±BC,

：.AD=BD^DC,ZABC=ZACB=45°,ZBAD^ZCAD=45°,

VAB=2,

:.AD=BD=DC=、亚,

VZAW=30°,

.•.ZBMD=180°-90°-30°=60°,

30°,

:.BM=2DM,

由勾股定理得，BM2-£>M2=BD2,即(2DM)2-DM2=(血)2,

解得，Z)M=返，

3

：.AM=AD-DM=y/2--;

(2)证明：VADXBC,/EDF=90°,

，ZBDE=ZADF,

在ABDE和△ADF中，

2B=NDAF

<DB=DA，

，/BDE=NADF

:.ABDEq4ADF(ASA)

：.BE^AF；

(3)证明：过点〃作ME〃8c交A8的延长线于E,

ZAME^90°,

则AE='、&M,Z£=45°,

：.ME=MA,

VZAME=90°,NBMN=9U°,

：./BME=ZAMN,

在△BME和中，

2E=NMAN

<ME=MA，

LZBME=ZAMN

:.ABME沿/\AMN(ASA),

：.BE=AN,

：.AB+AN^AB+BE^AE^42AM.

图3

【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形

的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

25.（10分）（2019•枣庄）已知抛物线》=办2+_|_彳+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,

8两点（点8在点A右侧），与y轴交于点C.

y

图1图2

(1)求抛物线的解析式和A,8两点的坐标;

(2)如图1,若点尸是抛物线上8、C两点之间的一个动点(不与8、C重合)，是否存

在点P,使四边形尸80c的面积最大？若存在，求点尸的坐标及四边形尸BOC面积的最

大值；若不存在，请说明理由;

(3)如图2,若点〃是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线于点M

当MN=3时，求点M的坐标.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；537：函数的综合应用；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】(1)由抛物线的对称轴是直线x=3,解出。的值，即可求得抛物线解析式，在

令其y值为零，解一元二次方程即可求出A和2的坐标;

(2)易求点C的坐标为(0,4),设直线8c的解析式为(左W0),将8(8,0),

C(0,4)代入y=fcc+b,解出左和b的值，即得直线BC的解析式；设点尸的坐标为(x,

中+>4),过点尸作皿y轴,交直线…血则点。的坐标为…甘4),

利用关系式S四边形PBOC=SABOC+SAPBC得出关于尤的二次函数，从而求得其最值;

2

(3)设点M'的坐标为(m,-l-in+^-ir+4)则点N的坐标为(m,-'/,，MN=\

12+3+4-(|=|-9m2+2m|,分当°<m<8时，或当m<0或机>8

时来化简绝对值,从而求解.

【解答】解:(1)•••抛物线的对称轴是直线x=3,

3_

—=3,解得。-1--,

2a4

•••抛物线的解析式为:y=-—^+―x+4.

42

当y=0时，-—x2+—x+4=0,解得尤i=-2,X2=8,

,42

.,.点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0).

答：抛物线的解析式为：y=-£?+2什4；点A的坐标为(-2,0),点8的坐标为(8,

42

0).

(2)当x=0时，y—--x2+—.r+4=4,

42

...点C的坐标为(0,4).

设直线BC的解析式为y=fcc+b(4W0),将B(8,0),C(0,4)代入y=fcv+6得

(1

俨+b=0解得k=»,

IX[b=4

直线BC的解析式为y=-yX+4.

假设存在点尸，使四边形P20C的面积最大，

设点P的坐标为(x,-尹+断+4),如图所示，过点P作尸。〃y轴，交直线BC于点

。，则点。的坐标为(x,-l-x+4),

2

贝I]PD=-1？+旦什4-(-L+4)=-U+2x,

4224

・二S四边形尸30C=SAB0C+SZ\PBC

^LX8X4+—PD'OB

22

=16+Lx8(-L?+2X)

24

=-/+8x+16

=-(x-4)2+32

当尤=4时，四边形P8OC的面积最大，最大值是32

V0<x<8,

存在点P(4,6),使得四边形P8OC的面积最大.

答：存在点P,使四边形P20C的面积最大；点P的坐标为(4,6),四边形P80C面积

的最大值为32.

（3）设点M的坐标为（m,-"m2+"|"ir+4）则点N的坐标为（m,-方面＞4）,

2

：.MN=\-Xm+Air+4-（-^■砒4）1=1-■^■n）2+2m|，

又：MN=3,

-Xm2+2OT|=3）

当0＜相＜8时，--3=0,解得wn=2,m2—6,

4

...点M的坐标为（2,6）或（6,4）；

当机＜0或机＞8时，-：m2+27"+3=0，解得刃3=4-2所,m4=4+2日

.,.点M的坐标为（4-2近，VT-1）或（4+26，--.[7-1）.

答：点M的坐标为(2,6)、(6,4)、(4-2^7,近-1)或(4+2-历，-斤1).

【点评】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及

点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大.

考点卡片

1.数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、越的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

3.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

4.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为无，再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

5.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

6.塞的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

S）〃是正整数）

注意：①塞的乘方的底数指的是塞的底数；②性质中“指数相乘”指的是幕的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

7.同底数基的除法

同底数累的除法法则：底数不变，指数相减.

am^an=am'nQ/0,m,〃是正整数，m＞是

①底数aWO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数塞除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2=cr±2ab+b2.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,6可是单项式，也可以是多项式；②

对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

9.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

10.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：①心0；（双重非负性）.②（a）2=a（a20）（任何

一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.@a2=a（a>0）（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性

质和商的算术平方根的性质进行化简.ab=a-bab=ab

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被

开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每

一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

11.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式

代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求

出x（或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元

一次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程

组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，

就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示.

12.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=d-4℃）判断方程的根的情况.

一元二次方程a，+6x+c=0（。=0）的根与△=/-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

13.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

14.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

15.一次函数的性质

一次函数的性质：

左>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0,y随x的增大而减小，函数从左到

右下降.

由于y=h;+b与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当b<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

16.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数〉=日+6,（20,且左，b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

—,0）；与y轴的交点坐标是（0,b\

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式>=履+4

17.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=〃尤（左为常数，20）的图象是双曲线，

①图象上的点（尤，y）的横纵坐标的积是定值公即个=心

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值|林

18.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

19.三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

20.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的