2020-2021学年沈阳市郊联体高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年沈阳市郊联体高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知向量方=(2x,l),向量方=(一4,2)，若五〃另，则：+1为()

A.(-2,2)B.(-6,3)C.(2,-1)D.(6,-3)

2.某中学有高中生900人，初中生450人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该

校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于()

A.12B.18C.24D.36

3.某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路

就不通.现今回路不通，焊点脱落情况的可能有()

A.5种B.6种C.63种D.64种

5.方程Igx=8-2x的根久6(k,k+1),kEZ,则k=()

A.2B.3C.4D.5

6.已知a=cotl,b=cot2,c=cot3,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

7.某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用

计算器或计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7,故我们用0、1、2表示手

术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结

果.经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由

此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）

A.0.2B,0.3C.0.4D.0.5

8.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和

致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容

许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内

二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+初一《（71eR）

描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据In。1.1）

A.10分钟B.14分钟C.15分钟D.20分钟

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.为了增强学生体质，某校积极组织学生进行跳绳锻炼学校统计了100名学生的跳绳成绩（单位：

次/分钟），锻炼之前他们的成绩的条形图如图1,经过三个月的锻炼后，他们的成绩的条形图如

A.经过锻炼后，跳绳成绩在［160,180）内的人数没有改变

B.经过锻炼后，跳绳成绩在［140,160）内的人数减少10人

C.跳绳成绩在［120,140）内所占比例没有变化，说明锻炼对跳绳成绩没有影响

D.经过锻炼后，原来跳绳成绩在［100,120）内的学生跳绳成绩都有提高

10.已知非零向量五，瓦乙下列命题正确的是（）

A.若有〃瓦五〃3则石〃口B.若日不=日々，则石=乙

C.|a-b|+|a-c|<|6-c|D.（|a-b|+|a+c|）2>4b-c

11.己知下列命题：

①命题"VxGR,x2+3<5x”的否定是“mx6R,x2+3<5x”；

②已知p,q为两个命题，若“pVq”为假命题，则"（"）/\（7）为真命题”；

③“a>2021”是“a>2020”的充分不必要条件；

④“若xy=0,则x=0且y=0"的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.（4）

12.下列命题正确的是（）

A.若a>b,则VcGR,ac>be

B,若a>b,则mceR,ac>be

C.若a>b,则VcERfa+c>b+c

D.若a>b,贝归cER,a>c,c>b

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出79

8445788

打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，

92

所剩数据的方差为.

14.已知定义在R上的函数/1(x)满足：/(x)>0,/(x)-/(y)=/(x+y),且/'(1)=%当xe(0,+8)

时/。)<1,关于x的不等式/(a)"2-丫靖)-4>0(其中e为自然对数的底数)恒成立，则实

数a的取值范围为.

15.设实数a、b、c满足a>l,h>l,c>l,且abc=10,alga•blgb-clgc>10,则Q+b+C=

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.对于实数a和b,定义运算“*"：a^b=\^~ab-a-b,设/'(x)=(2x_l)*(x_l),且关于

lb"—ab,a>b

x的方程为f(x)=6R)恰有三个互不相等的实数根X],x2,x3,则实数ni的取值范围

是xT+x2+%3的取值范围是_(2)_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(1)用合适的方法证明：当a>0时，+VaT2<2y/aTl;

(2)试通过长方形与长方体的类比，由“周长为定值1的长方形中，正方形的面积最大，且最大值为二”，

16

猜想关于长方体的相应命题.(不需要证明)

18.已知集合力={了|xW-l或x之5},集合B=2a+

(i)若求ADB和工U3；

(2)若24nB=B，求实数〃的取值范围.

19.某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩(单位：cm),用

茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上(包括175cm)定义为合格，成绩在175cm以下(不含

175cm)定义为“不合格”；女生成绩在165以上(包括165cm)定义为“合格”,成绩在165c巾以

下(不含165cm)定义为“不合格”.

男女

91567889

9816124599

97531712567

65311801

119

(1)求男生跳远成绩的中位数.

(2)以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率.

(3)根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，再从这个样本中抽

取2人，求取出的2人都是女生的概率.

20.已知。，A,B三点不共线，且诃=加瓦？+九丽，(mfne/?).

(1)若m+7i=l,求证：4P,B三点共线；

(2)若A,P,B三点共线，求证：m+n=1.

21.计算：(1)(2芋一(一0.96)。一(3犷+1,5-2+[(一际-4产；

(2)(lgj-句25)+100-2+7*14.

22.设函数/(%)=1%—a|+4%,其中Q>0.

(1)当Q=2时，求不等式/(%)22x+1的解集;

(2)若化6(—2,+8)时，恒有/'(2x)>7x+a2-3,求a的取值范围.

参考答案及解析

I.答案：B

解析：解：；五〃石,

:.-4—4%=0,

解得％=-1.

a=(-2,1),

•，•Gt+/>—(—2,1)+(—4,2)—(一6,3)•

故选：B.

利用向量共线定理可得：一4一4%=0,解出即可.

本题考查了向量共线定理，属于基础题.

2.答案：D

解析：解：由分层抽样的性质得：

n_24

900+450-900’

解得九=36.

故选：D.

利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果.

本题考查实数值的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是

基础题.

3.答案：C

解析：解：根据题意，这个回路中共6个焊点，按其脱落与否，共2x2x2x2x2x2=26=64种

情况，

如果电路畅通，则每个焊点都不能脱落，有一种情况，

现今回路不通，至少有一个焊点脱落，与电路畅通对立，

故焊点脱落情况的可能有64-1=63种，

故选C.

根据题意，首先分析回路的6个焊点，按其脱落与否的总共情况数目，分析可得电路畅通时有一种情

况，进而可得，回路不通时的情况数目.

本题考查对立事件的意义与运用，一般在其对立事件情况简单便于分析的情况下使用.

4.答案：A

解析：解：当/(0)=0时，ln(=O,即a=1,

由岩>0,得—.•.函数/'(X)的定义域为(―1,1)，

又Atf=(lF+2=_i+二

1-x1-x1-X

・•・函数/(X)在(-1,1)上单调递增，即选项A错误，选项5正确；

对于选项C,当f(0)=—1时，ln^=-1,即。=6,

又业=一1+山，

e-xe-x

・・・函数/(%)在(-l,e)上单调递增，即选项C正确；

对于选项。，当f(-2)=0时，In二2=0,即a=—3,

又半=-1+2，

—3—X3+x

函数f(x)在(一3,-1)上单调递减，即选项。正确.

故选：A.

先根据选项中的特殊点求出a的值与定义域，再结合分离常数法和复合函数的单调性判断函数/(x)的

单调性，以此来检验选项是否正确.

本题考查函数图象的识别、对数函数的定义域与单调性，从特殊点着手思考，熟练掌握分离常数法

和复合函数单调性的判断原则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档

题.

5.答案：B

解析：解：令f(x)=/gx+2x-8则可知函数/(x)在(0,+8)单调递增，且函数在(0,+8)连续

v/(I)=-6<0,/(2)=lg2-4<0,f(3)=lg3-2<0,/(4)=lg4>0

•••”3)/(4)<0

由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间(3,4)

:.k=3

故选：B

令/(%)=?gx+2x-8则可知函数/(%)在(0,+8)单调递增，且函数在(0,+8)连续，检验只要满足

+1)<0即可

本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题

6.答案：A

解析：解：vIrad»57.30°,•••2rad»114.60°,3rad«171.90°,

:*a=cotl>0,0>b=cot2>c=cot3,

a>b>c,

故选：A.

利用余切函数的单调性即可得出结论.

本题考查了余切函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.答案：C

解析：解：根据题意，10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907,

表示“3例心脏手术全部成功”的有832、569、683、989,共4个，

则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4；

故选：C.

根据题意，分析10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的数目，由古典概型计算公式计算可得

答案.

本题考查模拟方法估计概率，注意概率的计算公式，属于基础题.

8.答案：B

解析：解：由题意知，当£=0时，y=0.2,

0.05+Ae°=0.2,即2=0.15,

y=0.05+0.15e-i2<0,1，解得五<

♦••一4-伍3,年12历3"13.2,

故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.

故选:B.

将t=0,y=0.2代入式子y=0.05+6可得A=0.15,结合对数函数的知识，解不等式

y=0.05+0.15e-^<0,1'即可求解・

本题考查了对数函数的实际应用，需要熟练掌握公式，属于基础题.

9.答案：BD

解析：解:对于4锻炼前成绩在［160,180）内的人数为0.3x100=30,

锻炼后成绩在［160,180）内的人数为0.4x100=40,故A不正确，

对于8,锻炼前成绩在［140,160）内的人数为0.4x100=40,

锻炼后成绩在［140,160）内的人数为0.3x100=30,

所以经过锻炼后，跳绳成绩在［140,160）内的人数减少10人，故8正确，

对于C,跳绳成绩在［120,140）内所占比例没有变化，但整体成绩提高，故C不正确，

对于D,由图2,可知没有跳绳成绩在［100,120）内的学生，

所以原来跳绳成绩在［100,120）的学生跳绳成绩都有提高，故£>正确，

故选：BD.

根据条形图求出跳绳成绩在［160,180）内的人数，可判断4；求出跳绳成绩在［140,160）内的人数，可

判断8,根据条形图锻炼后整体成绩的变化，可判断C；由两条形图中的数据可判断£>.

本题考查频率分布直方图，解题关键是利用样本估计总体，属于中档题.

10.答案：AD

解析:解：非零向量乙瓦等

对于4：若方〃另，方〃乙则石〃3故A正确；

对于B：若云.匕=五々=0，即,_Lb，ale,故。和乙不一定相等，故B错误；

对于C：|万一石|+|五一列之|百一方一五+由之|石一列,故C错误；

对于。:（|a-K|+|a+c|）2>（|K|+|c|）2>4b-c，故。正确.

故选：AD.

直接利用向量的共线，向量的数量积，三角不等式的应用，判断4、B、C、D的结论.

本题考查的知识要点：向量的共线，向量的数量积，三角不等式的应用，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

11.答案：BC

解析：解：①命题"Vx€R，x2+3<5x”的否定是“比€R,x2+3>5x"；所以①不正确；

②已知p,q为两个命题，若“pvq”为假命题，两个命题都是假命题，题目的否定都是真命题，则

为真命题”；所以②正确；

③“a>2021”是“a>2020”的充分不必要条件；③是真命题；

④“若xy=0,贝k=0且y=0”的逆否命题为x*0或y*0,则xy丰0,因为原命题是假命题，

所以逆否命题是假命题.所以④不正确；

故选：BC.

利用命题的否定判断①；复合命题的真假判断②；充要条件判断③：四种命题的逆否关系判断④.

本题考查命题的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力，是基础题.

12.答案:BCD

解析：解：对于4，当CWO时，acWbc，故选项4错误；

对于B,若a>b,当c>0时，ac>bc，所以mc€R,ac>be,故选项3正确；

对于C,若a>b,贝！jVcCR,a+c>b+c,故选项C正确；

对于D,若a>b,则mc6R,a>c,c>b,故选项。正确.

故选:BCD.

根据不等式的性质，逐一检验四个选项的正误即可.

本题以命题的真假为载体考查了不等式的基本性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

13.答案：3

解析：解：由茎叶图看出，8个数据的最大值是92,最小值是79,去掉后还剩的数据为：84,84,85,

87,88,88.

平均数元=7(84+84+85+87+88+88)=86,

6

•••方差为S2=-[2(84-86)2+(85-86)2+(87-86)2+2(88-86)2]=3.

6

故答案为：3.

由茎叶图写出8个数据，去掉79和92,然后利用平均数和方差公式计算.

本题考查了茎叶图，极差、方差和标准差，解答的关键是熟记公式，是基础题.

14.答案：(一8,一}

解析：解：对于

f01)-f2)=+%i-X)-f

。f(X22(七)

又所以/(%一％2)<1，从而/(%1)(%2)V0,

所以/(%)在R上单调递减.

/(0)-/(0)=/(0+0)得/X0)=1或0(舍),/(一1)・f(1)=f(-1+1)得f(-1)=2,从而/(-2)=4,

所以原不等式f(a)•/(-2-xex)-4>0

等价于f(a-2-xex)>f(-2)

所以a—2—xex<-2即QV恒成立，

令t—xex,tr-ex(l+%),

当%>-1时，函数递增，当％V-1时，函数递减,

所以当X=1时，函数取最小值为一"

e

所以Q<

e

故答案为(-8,-i).

利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性把恒成立问题转化为求函数最值问题解决.

考查了抽象函数的单调性判断和恒成立问题的转化.

15.答案：12

解析：解：由QZ1,b>1,c>1,且abc=10,可得OWlgaWl,0<Igb<1,0<Ige<1.

222

•••lga<Iga,lg6<Igb,lgc<lgcf

又/a-bigb.c'gc>10«馆(〃即•明./驼)>/5io,

可得1g2a+1g2b+1g2c>1=Igabc=Iga+Igb+Ige,

22

Alga=Iga,1g2b=Igb,lgc=Ige,

则Q=10或1,6=10或1,。=10或1.

由对称思想，不妨Q=10,则b=l,c=1.

・•・a+b+c=12.

故答案为：12.

由已知可得0441,0<Igb<1,0<lgc<1,得到Ig?。4Lga,lg2/)WIgb,lg2c<Ige,由

al9a-bl9b•cl9C>10<=>馆@即•blgb•cl9C)>句10,可得1g2a+1g2b+1g2c>1=Igabc=Iga+

Igb+Ige,从而得到1g2a=Iga,lg2b=Igb,lg2c=Ige,由此得到a,b,c的值,则答案可求.

本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题.

16.答案：(0,令

，1)

解析:解:"*小傕二彩工

2x2-x,x<0

・••/(%)=(2x-1)*(%-1)=

—x2+x,x>0'

则当x=0时，函数取得极小值0,当x=：时，函数取得极大值］

故关于％的方程为f(%)=m(mER)恰有三个互不相等的实数根%i，%2»%3时，

实数机的取值范围是(0,：)

令/0)=：，则％=上邑或X

不妨令%1V%2V欠3时

则＜%1v0，％2+%3=1

.-./+七+X3的取值范围是(±21)

4

故答案为：(0,i),(平,1)

由己知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出尤的方程为

/Q)=ni(nieR)恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而

求出/+%2+%3的取值范围

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知新定义，求出函数的解析式，并分

析出函数图象形状及性质是解答的关键.

17.答案：解：(1)证明：因为VH+G1—2怎TT

—(Va—7a+1)+(Va+2—7a+1)

=一-vLa+V：a—+1+V，—a+21+v，—a+l＜0,

所以当a＞0时，Va+Va+2＜2VaTI：

(2)猜想：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，且最大值为蟀.

36

解析：(1)根据6+后垣一2折1=一舄嬴+而号行＜0,可证明不等式；

(2)根据条件利用类比推理可得结论.

本题考查了利用作差法证明不等式和类比推理，考查了推理能力和计算能力，属中档题.

18.答案：(1)若”一1,则B=

.：A[]B=M-2<x<-^,RU3={x|三域出»

（2）m3=B,

①若B=&,则2〃〉a+2,•,・a》2

a<2a<2

②若8n4，则＜或＜•'a《

t?+2<—12a>5

所以，综上，〃或看〈-2•

解析：解：（1）因为集合*={x|了旦一1或了之5},集合8=卜|2aWxKa+2），

若a=-1，则B={x|-2Wx《1）

.•.^n5=（x|-2<x<-l）>乩|3={x|x£,25）；

⑵WB:B，•••$〃

①若B="，则2八〃+2，・，•a、2

a<2a<2

②若则<或<•••a<-3

a+2工一12a>5

所以，综上，a、2或〃<-2•

19.答案：解：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，

二中位数为=178（cm）...（4分）

（2）由茎叶图可知，样本中男生有8人合格，女生有10人合格.

样本的合格率为鬻=0.6=60%.

•••该校五年级学生体质的合格率估计为60%....（8分）

（3）女生总人数为18人

所占比例为辞=£

・•・女生应抽取的人数为5•|=3人.

从5人中抽取2人有10种方式，抽取的2人都是女生的有3种，

・•・抽取的2人都是女生的概率是总….（12分）

解析：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，由此能求出中位数.

（2）由茎叶图求出样本的合格率，由此能求出该校五年级学生体质的合格率估计值.

(3)女生总人数为18人，所占比例为非=|,从而得以女生应抽取的人数为3人.由此能求出抽取的2人

都是女生的概率.

本题考查中位数、