《数字信号处理教程》程佩青(第三版)课后答案

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数字信号处理教程课后习题及答案

目次

第一章离散时间信号与系统第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章Z变换

离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的基本结构

无限长单位冲激响应〔IIR〕数字滤波器的设计方法有限长单位冲激响应〔FIR〕数字滤波器的设计方法数字信号处理中有限字长效应

第一章离散时间信号与系统

1.径直计算下面两个序列的卷积和y(n)=*(n)*h(n)

h(n)=

a

n

,0≤n≤N1

0,其他n

βnn

,n0≤n

*(n)=0

,nn0

请用公式表示。

分析：

①留意卷积和公式中求和式中是哑变量m〔n看作参量〕，

结果y(n)中变量是n,

∞∞

y(n)=

*(m)h(nm)=∑h(m)*(nm);m∑=∞m=∞

②分为四步〔1〕翻褶〔-m〕，〔2〕移位〔n〕,〔3〕相乘，

〔4〕相加，求得一个n的y(n)值，如此可求得全部n值的y(n);

③肯定要留意某些题中在n的不同时间段上求和范围的不同

解:

y(n)=*(n)*h(n)=(1)(2)

当nn0时

n

m=∞

∑*(m)h(nm)

y(n)=0

∞

当n0≤n≤n0+N1时,部分重叠

y(n)=

nm=n0

∑*(m)h(nm)

mn0

=

m=n0

∑β

n

α

nm

αn

=n

β

1

=αβ

n0

)

βn0

)

ββ0

m=n0

∑)

βn+1

n

m

αn+1nβn+1n=

αβ

,α≠β

(α=β)

y(n)=αnn0(n+1n0),

(3)

当n≥n0+N1时,全重叠y(n)=

=

m=n-N+1

∑*(m)h(nm)

n

mn0

n

m=nN+1

∑β

n

α

nm

αn=n

β

m=nN+1

∑)

n

βm=αβ

n0

)

βnN+1

β)βn+1

1

=β

n+1Nn0

αNβNαβ

,

(α≠β)

y(n)=Nαnn0,

(α=β)

如此题所示，因而要分段求解。

2.已知线性移不变系统的输入为*(n),系统的单位抽样响应为h(n),试求系统的输出y(n),并画图。

(1)*(n)=δ(n),(2)*(n)=R3(n),

(3)*(n)=δ(n2),(4)*(n)=2nu(n1),

分析：

①假如是因果序列y(n)可表示成y(n)={y(0)，

h(n)=R5(n)h(n)=R4(n)

h(n)=0.5nR3(n)h(n)=0.5nu(n)

y(1)，y(2)……}，例如小题〔2〕为

y(n)={1，2，3，3，2，1};

②δ(n)**(n)

=*(n),δ(nm)**(n)=*(nm);

③卷积和求解时，n的分段处理。

解：(1)y(n)=*(n)*h(n)=R5(n)(2)y(n)=*(n)*h(n)={1,2,3,3,2,1}

(3)y(n)=δ(n2)*0.5nR3(n)=0.5n2R3(n2)

(4)*(n)=2nu(n1)h(n)=0.5nu(n)

1nnmm

0.52=2∑3m=∞n

4nnmm

当n≤1y(n)=∑0.52=2

3m=∞当n≥0y(n)=

3.已知h(n)=anu(n1)

1

,0a1，通过径直计算卷积和的方法，试确定

单位抽样响应为h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。

解:

*(n)=u(n)h(n)=anu(n1)y(n)=*(n)*h(n)

当n≤1时当n1时

y(n)=y(n)=

,0a1

m=∞1

∑a

n

m

an

=

1a

a

m=∞

∑am=1a

4.判断以下每个序列是否是周期性的,假设是周期性的,试确定其周期：

3ππ

n)7813

(b)*(n)=Asin(πn)(c)*(n)=e

3(a)*(n)=Acos(

分析：

j(π)6

序列为*(n)=Acos(ω0n+ψ)或*(n)=Asin(ω0n+ψ)时，不肯定是周期序列，①当2π/ω0=整数，那么周期为2π/ω0；

②当

2π

ω0

=

P

,〔有理数P、Q为互素的整数〕那么周期为Q；

Q

③当2π/ω0=无理数，那么*(n)不是周期序列。

(a)*(n)=Acos(n解：

78

2π/ω0=2π/=

73

∴是周期的,周期为14。

(b)*(n)=Asin(13πn)

3

13π=626π/2π/ω0=j(π)313(c)*(n)=e=cos(π)+jsin(π)

∴是周期的，周期是6=cos6jsin6

T是无理数2π/ω0=12π

∴是非周期的。5.设系统差分方程为:

y(n)=ay(n1)+*(n)

其中*(n)为输入,y(n)为输出。当边界条件选为

y(0)=0(1)

(2)y(1)=0

试判断系统是否是线性的?是否是移不变的?

分析：已知边界条件，假如没有限定序列类型〔例如因果序列、反因果序列等〕，那么递推求解需要向两个方向进行〔n≥0及n0〕。

解:(1)y1(0)=0时，(a)设*1(n)=δ(n)，

按y1(n)=ay1(n1)+*1(n)i)向n0处递推，y1(1)=ay1(0)+*1(1)=0y1(2)=ay1(1)+*1(2)=0

┇

y1(n)=ay1(n1)+*1(n)=0∴y1(n)=0,n≥0

ii)向n0处递推，将原方程加以变换y1(n+1)=ay1(n)+*1(n+1)

那么y1(n)=[y1(n+1)*1(n+1)]

因而y1(1)=[y11(0)*1(0)]=a

y1(2)=[y1(1)*1(1)]=a2

y3

1(3)=a

[y1(2)*1(2)]=a┇

y1(n)=1[y1(n+1)*1(n+1)]=an

综上i),ii)可知：yn

1(n)=au(n1)

(b)设*(n)=δ(n1)i)向n0处递推，按y2(n)=ay2(n1)+*2(n)y2(1)=ay2(0)+*2(1)=1y2(2)=ay2(1)+*2(2)=a

┇

y2(n)=ay2(n1)+*n12(n)=a∴y2(n)=an1

,n≥1

ii)向n0处递推，

按变换后的y2(n)y2(n)=a

[y2(n+1)*2(n+1)]

y2(1)=a

[y2(0)*2(0)]=0

y2(2)=1[y2(1)*2(1)]=0

┇

y2(n)=a

[y2(n+1)*2(n+1)]=0

综上i),ii)可得：y12(n)=anu(n1)由(a),(b)结果可知，

*(n)与*2(n)是移一位的关系，但y1(n)与y２(n)不是移一位的关系，所以在y(0)=0条件下，系统不是移不变系统。

c)设*(n)=δ(n)+δ(n1)i)向n0处递推

y3(1)=ay3(0)+*3(1)=1y3(2)=ay3(1)+*3(2)=ay2

3(3)=ay3(2)+*3(3)=a┇

y3(n)=ay3(n1)+*3(n)=an1∴y3(n)=an1,n≥1

ii)向n0处递推

y3(1)=1[y3(0)*3(0)]=a1

y3(2)=1[y3(1)*3(1)]=a2

┇

y3(n)=a

[y3(n+1)*3(n+1)]

=an,n≤1综上i),ii)可得：

y3(n)=an1u(n1)anu(n1)=y1(n)+y2(n)

∴所给系统在y(0)=0条件下是线性系统。

6.试判断:

是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?

分析：利用定义来证明线性：满意可加性和比例性，

T[a1*1(n)+a2*2(n)]=a1T[*1(n)]+a2T[*2(n)]

移不变性：输入与输出的移位应相同T[*(n-m)]=y(n-m)。

解：(1)y(n)=

m∑

n

*(m)

=∞

yn

1(n)=T[*1(n)]=*1(m)

m∑=∞y2(n)=T[*2(n)]n

=

m)

m∑*2(=∞

ay1(n)n

+by2(n)=

[a*1(m)+b*2(n)]

m∑=∞

T[a*n

1(n)+b*2(n)]=

[a*1(n)+b*2(n)]

m∑=∞

T[a*1(n)+b*2(n)]=ay1(n)+by2(n)

∴系统是线性系统

解：(2)y(n)=[*(n)]

2

y1(n)=T[*1(n)]=[*2

1(n)]

y(n)=T[*2

22(n)]=[*2(n)]

ay(n)+by2

2

12(n)=[a*1(n)]+[b*1(n)]

∴系统不是线性系统

T[a*1(n)+b*2(n)]=[a*2

1(n)+b*2(n)]

=[a*)]2

+[b*2

1(n2(n)]+2ab*1(n)*2(n)即T[a*1(n)+b*2(n)]≠ay1(n)+by2(n)

T[*(nm)]=[*(nm)]2

y(nm)=[*(nm)]2

即T[*(nm)]=y(nm)

∴系统是移不变的

y1(n)=*1(n)sin+))

y2(n)=*2(n)sin+(3)解：

y(n)=*(n)sin+

97

ay1(n)+by2(n)=a*1(n)sin(++

b*2(n)sin(+)

7.试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的？

T[*(nm)]=*(nm)sin+y(nm)=*(nm)sin+97

即T[*(nm)]=y(nm)

)

)

∴系统是移不变的

T[a*1(n)+b*2(n)]=[a*1(n)+b*2(n)]sin(+)

即有T[a*1(n)+b*2(n)]

=ay1(n)+by2(n)∴系统是线性系统

(1)

T[*(n)]=g(n)*(n)(2)T[*(n)]=*(nn0)(4)

T[*(n)]=

k=n0*(n)n

∑*(k)

(3)

T[*(n)]=e

分析：

留意：T[*(n)]=g(n)*(n)这一类表达式，假设输入移位m,那么有*(n)移位变成*(n-m),而g(n)并不移位，但y〔n〕移位m那么*〔n〕和g(n)均要移位m。

解：(1)

T[*(n)]=g(n)*(n)T[a*1(n)+b*2(n)]=g(n)[a*1(n)+b*2(n)]

=g(n)a*1(n)+g(n)b*2(n)=aT[*1(n)]+bT[*2(n)]

系统是线性系统。

T[*(nm)]=g(n)*(nm)y(nm)=g(nm)*(nm)即T[*(nm)]≠y(nm)系统不是移不变的。

T[*(nm)]=

e

*(nm)

y(nm

)=

e

*(nm)

即T[*(nm)]

=y(nm)

∴系统是移不变的。

解：(2)T[*(n)]=

k∑n

*(k)

=n0

T[a*1(n)+b*2(n)]=

k∑n

[a*1(k)+b*2(k)]

=n0

n

n=

(k)+)

k∑a*1=nk∑b*2(k0

=n0

=aT[*1(n)]+bT[*2(n)]∴系统是线性系统。

∴∴

T[*(nm)]==y(nm)=

k=n0

∑*(km)

nm

n

k=n0mnmk=n0

∑*(k)

∑*(k)

即T[*(nm)]≠y(nm)∴系统不是移不变的。

(3)解：

T[*(n)]=*(nn0)T[a*1(n)+b*2(n)]=a*1(nn0)+b*2(nn0)=aT[*1(n)]+bT[*2(n)]

8.以下序列是系统的单位抽样响应h(n),试说明系统是否是

(1)因果的,(2)稳定的？

(1)

(3)

1

u(n)n

3nu(n)0.3nu(n)

(2)(4)(6)

1

u(n)n!

3nu(n)0.3nu(n1)

(5)(7)

分析：

δ(n+4)

留意：0！=1，已知LSI系统的单位抽样响应，可用n=∞定性，用h〔n〕=0，n0来判断因果性。

解：

(1)当n0时,h(n)=0,∴是因果的。

∑h(n)

∞

=M∞

来判断稳

n=∞

∑

∞

|h(n)|=

11

++0212

∞,

∴不稳定。

(2)当n0时，h(n)=0,∴是因果的。

∞

11

=1+1+++

2*13*2*1111

1+1++++=3

248

∴稳定。

n=∞

∑

|h(n)|=

111+++0！1！2！

(3)当n0时，h(n)=0,∴是因果的。

∞

n=∞

∑

|h(n)|=30+31+32+

∞

∴不稳定。

(4)当n0时，h(n)≠0,

∴是非因果的。

n=∞

∑|h(n)|=3

∞

+3

1

+3

2

+

3

=2

∴稳定。

(5)当n0时，h(n)=0,∴系统是因果的。

∞

n=∞

∑

|h(n)|=0.30+0.31+0.32+=

107

∴系统是稳定的。(6)当n0时，h(n)≠0∴系统是非因果的。

∞

n=∞

∑|h(n)|=0.3

1

+0.3

2

+∞

∴系统不稳定。

(7)当n0时，h(n)≠0∴系统是非因果的。

n=∞∞

∑|h(n)|=1

∴系统稳定。

9．列出下列图系统的差分方程,并按初始条件y(n)=0,n0，求输入为*(n)=u(n)时的输出序列y(n),并画图表示。分析：

“信号与系统”课中已学过双边Z变换，此题先写出H(z)然后利用Z反变换〔利用移位定理〕在时域递推求解；也可径直求出序列域的差分方程再递推求

解[留意输入为u(n)]。

解：系统的等效信号流图为：

Y(z)1+z1

那么*(z)=14

z1

4y(n)y(n1)=4*(n)+4*(n1)y(n)=１４

y(n1)+*(n)+*(n1)

y(0)=4

y(1)+*(0)+*(1)=1

y(1)=4y(0)+*(1)+*(0)=2+4y(2)=y(1)+*(2)+*(1)

=2(1+)+()2

y(3)=y(2)+*(3)+*(2)

=2(1++42)+()3

M

y(n)=y(n1)+*(n)+*(n1)

=2(1++L+(n1)+(n

=n()

u(n)

10.设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定

y(n)12y(n1)=*(n)+1

2*(n1)

设系统是因果性的。试求：

(a)该系统的单位抽样响应；

(b)由(a)的结果,利用卷积和求输入*(n)=e

jωn

u(n)的响应。

分析：小题(a)可用迭代法求解

小题(b)要特别留意卷积后的结果其存在的n值范围。

解：

y(n)2

y(n1)=*(n)+2*(n1)

(a)*(n)=δ(n)

y(n)=h(n)=0

(n0)h(0)=1y(1)+*(0)+1*(1)=1

h(1)=2y(0)+*(1)+2*(0)

=2+2

=1

h(2)=2y(1)+*(2)+2*(1)=2

h(3)=1y(2)+*(3)+1*(2)=(1)2

222

┇

h(n)=12y(n1)+*(n)+12*(n1)

=n1

2

n1

∴h(n)=2

u(n1)+δ(n)

(b)

y[(n)=*(n)*h(n)

=()n1u(n1)+δ(n)*ejωn[

u(n)=()n1u(n1)]

]

*ejωnu(n)+ejωnu(n)=

∑n

()(m1)ejω(nm)u(n1)+ejωnm=1

u(n)ejω()nejω(n+1)

=2ejωn1jωu(n1)

e+ejωnu(n)

ejω(n1)()nejω

=u(n1)+ejωn1ejω

u(n)ejωn=

()n

ejωu(n1)+ejωnu(n)

11.有一抱负抽样系统,抽样频率为Ωs=6π,抽样后经

抱负低通滤波器Ha(jΩ)还原,其中:

1

,Ω3π

Ha(jΩ)=2

0,Ω≥3π

今有两个输入*a1(t)=cos2πt,

*a2(t)=cos5πt,

问输出信号ya1(t),ya2(t)有无失真?为什么?

分析：要想时域抽样后不产生失真的还原出原信号，那么抽样频率〔fs〕需要大于最高信号频率〔fh〕的2倍，即满意fs2fh。

解：依据奈奎斯特定理可知：

*a1(t)=cos2πt,频谱中最高频率Ωa1=2π=3π

2

∴ya1(t)无失真。

*a2(t)=cos5πt,频谱中最高频率Ωa2

=5π=3π

2

∴ya2(t)失真。

12.已知一个线性时不变系除了区间信号

N

统的单位抽样响应

12

h(n)

≤n≤N

之外皆为零；≤n≤N

N

34

又已知输入之外皆为零；如

*(n)除了区间

N0,N

N

果假设输出信号为零，试以

分析：由于

y(n)除区间

1

≤n≤N5之外皆

4

,N

2

,N3表示N

,N

5

。

y(n)=

∑

m

*(m)h(nm)

可知*(n)的非零范围为N2≤m≤N3，

h(n-m)的非零范围为N0≤m≤N1。

解：根据题意，在区间N0≤n≤N1之外单位抽样响应h(n)皆为零；在区间N2≤n≤N3

之

外

输

入

*(n)

皆

为

零

,

因此y(n)=

∑

m

*(m)h(nm),由*(m)的非零空间为

N2≤m≤N3h(nm)的非零空间为N0≤nm≤N1将两不等式相加可得：N0+N2≤n≤N1+N3，在此区间之外，h(nk)和*(k)的非零抽样互不重叠，故输出皆为零。由于题中给出输出除了区间N4≤n≤N5之外皆为零，所以有：N4=N0+N2N5=N1+N3

13.一个具有以下有限长单位抽样响应h(n)的系统：h(n)=0,n0或n≥N,(N0),请证明：假如|*(n)|≤B，那么输出的界值为|y(n)|≤B∑|h(k)|，同时请证明|y(n)|可能达到这个

k=0N1

界值，即查找一个满意|*(n)|≤B的序列*(n)，使y(n)对某些n值有|y(n)|=B∑|h(k)|。

k=0N1

分析：题中要求某些满意y(0)=B由卷积和公式有

n值使y(n)=B

∑

N1

h(k)，最方便的是n=0时

k=0

∑

N1

h(k)，进一步看只要y(0)=

y(0)=B

k=0

∑

N1

h(k)满意即可，

h*(k)

，h(k)

k=0

∑

N1

h(k)*(k)，即要求*(k)=B

k=0

也就是要求满意

h*(n)

Bh(n),当h(n)≠0

*(n)=

0,当h(n)=0。

证明：由于题中给出h(n)=0,(n0,N≤n)式中N0因此，可以把y(n)写成N1

y(n)=∑h(k)*(nk)，而

k=0|y(n)|≤∑N1

(|h(k)||*(nk)|

)，

k=0

假设|*(nk)|≤B那么输出的界值

N1

|y(n)|≤B∑|h(k)|

，为达到这个界值我们k=0凑一个序列

h(n)

B,h(*(n)=

|h(n)|

n)≠0

0,h(n)=0

N1

于是y(n)=∑h(k)h(kn)

k=0

|h(kn)|B

N1因此y(0)=∑|h(k)|2

N1|h(k)|B=B∑|h(k)|

k=0k=0

第二章Z变换

．求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。

n

(1)

*(n)=an(|a|1)

(2)*(n)=1

n

2u(n)

(3)

*(n)=1

2u(n1)

(4)

*(n)=

1

n

,(n≥1)(5)*(n)=nsin(ω0n)

,n≥0(ω0为常数〕

(6)

*(n)=Arncos(ω0n+Φ)u(n)

,0r1

分析：Z变换定义

Z[*(n)]=*(z)=

∑∞

*(n)z

n

n=∞

，

n的取值是*(n)的有值范围。Z变换的收敛域是满意

(n)zn=M∞

n∑

∞

*=∞

的z值范围。

解：(1)由Z变换的定义可知：

1

*(z)=

nz

n

+n∑∞

a

n

z

n

=

=∞

n∑a

=∞

∑∞

anzn

n=0

∑∞

=

a

n

zn

∞+

nzn

n=1

n∑a=0

=az11a21az+=

1(1az)(1az1)

z

=

(a21)za(z1

a

)(za)

1