19-20学年高三年级上册期末数学试卷 (有解析)

江西省抚州市南城一中19-20学年高三上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知U=R，函数y=ln（l-x）的定义域为集合N={x[%2-x<0},则下列结论正确的是（）

A.MCN=NB.MC（CuN）=0

C.MUN=UD.Mc&uN）

2.设复数z满足z（l-i）=4爪是虚数单位），则z的共辗复数3是（）

A.-2-2iB.-2+2iC.2+2tD.2-2i

3,双曲线9y2一4x2=1的渐近线方程为（）

AQ92

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±-x

9432

4.已知等比数列{a"满足a1+a2=3,a?+a?=6,则a7的值为（）

A.9B.32C.64D.128

5.下列说法正确的是（）

A.命题“若久2=1,X=1”的否命题是“若/=1,贝卜丰1"

B.%=-1”是—尤—2=0”的必要不充分条件

C.命题“若无=y,贝l|sinx=siny"的逆否命题是真命题

D.atanx=1”是“x=9的充分不必要条件

6.三个数6°，7,0.76,log（）76的大小顺序是（）

607607

A.0.7<log0,76<6B.logo,76<0,7<6

6607

C.logo.76<6a7<0.7D.0.7<6<log0,76

7.函数〃乃=£普的图象大致为（）

c

8.已知正方体/8。。-//©。1中，点石是线段41。1的中点，点方是线段。。1上靠近。的三等分

点，则直线CE,B厂所成角的余弦值为（）

A10V19BQV19口3Vi9

*575719・19

9.设/2是双曲线。：总一5=l（a>0,b>0）的右焦点，。为坐标原点，过尸2的直线交双曲线的右支

于点尸，N,直线PO交双曲线。于另一点M,若|M&I=3仍61，且NMF2N=60。，则双曲线

C的离心率为（）

A.3B.2C.匹D.在

22

10.己知点时（e,1）,点N在圆。：x2+y2=1±,则NOMN的最大值为（）

11.已知抛物线C:f=4久的焦点为尸，定点2(0,2),若射线E4与抛物线C交于点与抛物线C

的准线交于点N,则|MN|:|FN|的值是()

A.(V5-2)：V5B.2：V5C.V5：(l+V5)D.1：2V5

12.若函数/(x)=a久-Inx有两个不同的零点，则实数。的取值范围是()

11

A.(~°°/-)B.(―8,e)C.(0,e)D.(0,1)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

x+y<4,

13.若x,y满足约束条件卜之1,,则目标函数z=y-%的最大值等于

,x-2y<4,

14.设函数/(x)=COS(3X-$(3>0),若/(x)W/G)对任意的实数X都成立，则3的最小值为

o4

15.已知数列｛即｝满足an+l+(T)nan=2"-l,S"为其前〃项和，贝股40=.

16.已知三棱锥S-4BC中，S41面ABC,且乱4=6,AB=4,BC=2代，乙4BC=30。，则该三

棱锥的外接球的表面积为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，△ABC是等边三角形，。是BC边上的动点(含端点)，记NBAD=a,乙ADC=0.

(1)求2cosa-cos£的最大值;

(2)若8。=1,cos£=点求△ABO的面积.

18.已知等差数列｛即｝满足：a3=7,+。7=26,｛an｝的前"项和为Sn.

（I）求时及%;

4

（兀）令如=有（＞6'*）,求数列｛.｝的前〃项和心.

19.五面体ABCDEF中，ADEF是等腰梯形.AD=2,AB=V2,AF=FE=ED=BC=1,

乙BAD=90°,平面B4F1平面ADEF.

(1)证明：ABADEF；

(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

20.有两种理财产品A和B,投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资

结果之间相互独立)：

产品4

投资结果获利50%不赔不赚亏损30%

概率151

4123

产品8：

投资结果获利40%不赔不赚亏损20%

概率1

P4q

注：p>0,q>0.

(I)若甲、乙两人分别选择了产品A,B投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于京求

实数P的取值范围；

(E)若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则

丙选择哪种产品投资较为理想.

21.已知圆(x+遮)2+y2=i6的圆心为点尸是圆M上的动点，点N(百,0),点G在线段MP

上，且满足(丽+方)_L(丽一方).

(1)求点G的轨迹C的方程；

(2)过点7(4,0)作斜率不为0的直线/与(1)中的轨迹C交于A,8两点，点A关于x轴的对称点

为D,连接8。交x轴于点°,求△力BQ面积的最大值.

22.已知函数/(x)-x2+aln(x+1)有两个不同的极值点.

(1)求实数。的取值范围；

^1—：1<

(2)设/(X)两个极值点为久1，x2,且求证：<)<-+ln2.

-ri2

答案与解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查了集合的包含关系及集合的运算，考查函数的定义域，属于基础题.

分别解出关于M,N的范围，然后判断即可.

解：由1一x>0,解得

故函数y=ln(l-x)的定义域为M=(-co,1),

由久2-x<0,解得0<x<1,

故集合N={x\x2-%<0}=(0,1),

；.MCN=N.

故选A

2.答案：A

解析：解：；z(l-t)=4i,

*'«z=-2—2i.

故选：A.

把己知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得Z,进一步求得)

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轨复数的概念，是基础题.

3.答案：C

解析：

本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意分析双曲线的焦点位置.属于基

础题.

根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析焦点位置以及“6的值，由双曲线的渐近线方程

分析可得答案.

2

解：根据题意，双曲线9y2-4/=1的标准方程为V卷一丁%2=1,

94

其焦点在y轴上，且a=1,fa=|,

则其渐近线方程为y=±|尤.

故选：C.

4.答案：C

解析：

本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.

由的+612=3,612+。3=6的关系求得d,进而求得的，再由等比数列通项公式求解.

角牛：由=q(a1+a2)—3q—6,i*导q—2,

a[(l+q)=3,

解得的=1,

•••a7==64.

故选C.

5.答案：C

解析：解：A：命题“若/=1,x=1”的否命题是“若一丰1,则久丰1”，故不正确；

B：“x=一1”是—尤—2=0”的充分不必要条件，故不正确；

C：命题''若x=y,则sinx=siny"是真命题，所以命题“若x=y,则sinx=siny"的逆否命题

是真命题，故正确；

D：atanx=1”是“x=卜的必要不充分条件，故不正确

故选：C.

对选项逐个进行判断，即可得出结论.

本题考查命题的真假判断与应用，考查四种命题，考查充要条件，属于中档题.

6.答案：B

解析：解：由指数函数和对数函数的图象可知：

607>1,0<0.76<1,10go,76<0，

所以logo,76<0.76<6。7

故选艮

由指数函数和对数函数的图象可以判断6。,7,0.76,logo.76和0和1的大小，从而可以判断6。L0.76,

logo.76的大小.

本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的

考查.

7.答案：C

解析：

本题主要考查了函数的图像，属于基础题，先判断函数的奇偶性，再特值排除.

解：函数旷=岑落中，定义域为凡

ex+e”

"等=_故函数为奇函数，排除B,

e人+e”

又因为当久>0时y>0,排除。，

1+追

取X=1时，/(I)=1+=-----n().62,排除A,

£+-2.7+—

e2.7

故选c

8.答案：B

解析：

本题在正方体中求两条异面直线所成角的余弦值，着重考查了利用空间坐标系求向量的长度和夹角

等知识，属于中档题.

以为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，可得B、C、E、尸各点的坐标，从而得到左和丽的长度

和数量积，

利用空间向量的夹角公式求出它们所成角的余弦，即可得到异面直线CE,3厂所成角的余弦值.

解：以AB、AD,44］为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，

11

则8(1,0,0),0),E(0,5，l)，F(0,h-)

CE=(-1,1),~BF=(-1,1>|)

可得请|=|丽=更

Z3

一一/1\15

CE・BF=(-1)x(-1)+lx--+lx-=-

\2/36

设异面直线直线CE,BP所成角的为e,则cosO=^^=M=攀

23

故选8.

9.答案：D

解析：

本题考查了双曲线的性质，离心率计算，属于中档题.设双曲线的左焦点为则MF2P0为平行四

边形，根据双曲线定义可得=a,在AMF1F2中利用余弦定理得出a,c的关系即可求出离心率.

解：如图：

设双曲线的左焦点为6,由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形,

•••IMFJ=%|，MF1//PN,

设伊4|=M，则阿&|=3m，

■■-2a=]MF2\-\MF1\=2m,即|MFj=a,\MF2\=3a,

•・•^MF2N=60°,

・•./_F1MF2=60°,

又I&F2I=2c,

在^MF/2中，由余弦定理可得：4c2=a2+9a2—2-a-3a•cos60°,

即4c2=7小，

,c2_7

a24，

•・•双曲线的离心率e=£=".

a2

故选D

10.答案：D

解析：解：由题意，直线MN与圆。相切时，乙OMN最大,

由于。M=g,r=l,tanzOMW=—,

3

NOMN的最大值为？

故选：D.

由题意，直线MN与圆。相切时，N0MN最大，利用三角函数可得结论.

本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，半径基础.

U.答案：c

解析：

本题考查抛物线方程及抛物线的性质，关键是直线斜率及线段之间关系的综合应用，属较难题.

先求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=-2,过M作于P,根据抛物线物定

义得|FM|=|PM|,RtAMPN中,根据tan/NMP=2,从而得到|PN|=2|PM|,进而算出

\MN\=y/5\PM\,再求得|FN|=|MN|+|M6=|MN|+|PM|=（遮+1）|PM|,则可得到结果.

解：,•・抛物线C：y2=4x,

焦点为F:(l,0),

•••点4:(0,2),

••・抛物线的准线/方程为：％=1,

••・直线AF的斜率为k=-2,

过M作MP12,垂足为P,

\FM\=\PM\,

•••RMMNP中,tan/NMP=\k\=2,

.吧

\PM\'

可得|PN|=2\PM\,

二得|MN|J|PN|2+|PM|2=yJs\PM\，

­••\FN\=\MN\+\MF\=\MN\+\PM\=(V5+1)|PN|,

\MN\；\FN\=V5:(l+V5).

故选C

12.答案:D

解析：

本题考查了函数的零点与方程根的关系，及利用导数研究函数的单调性及最值，是基础题.

分离常数后构造新函数，利用导数求新函数的最值即可得到。的取值范围.

解：函数/(X)的定义域为｛x|x＞。｝,

由/'(%)=ax—Inx=0得a=号,

令9。)=W，则g'O)=一若与

令。'(久)＞0得0＜久＜e,此时函数递增，

令g'(x)＜0得久〉e,此时函数递减，

当比=e时，函数取得最大值g(e)=

又g(l)=0,当%＞1时，9(X)=等＞0,

.,.当0<a<(时，直线y=a与函数g(久)=等的图象有两个不同的交点，即函数/。:)在(0,+8)上有

两个不同零点.

故选D

13.答案：2

解析：

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

'x+y<4,

先根据约束条件久N1,画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=y-久过点(1,3)

.x-2y<4,

时，z最大值即可.

X+y<4,

解：先根据约束条件卜21,画出可行域，

x-2y<4,

然后平移直线z=y-x,

当直线y=K+z过点(1,3)时，z最大值为2.

故答案为2.

14.答案：|

解析：

本题考查三角函数的图象与性质，考查计算能力，属于基础题.

根据题意，可得胃=2k兀，kez,即可得解.

46

解：因为f(x)<f(9对任意的实数X都成立，

所以在X=7处函数f(x)取得最大值，

所以3•?—g=2/C7T,kEZ,

4o

7

解得3=8fc+-,kcz,

又3>0,

所以3的最小值为|.

故答案为|.

15.答案：820

解析：

本题考查了分类讨论的思想应用及分组求和的方法应用.

分〃的奇偶性讨论，从而可得当〃为奇数时a九+2+。九=2；当”为偶数时与+2+a九=4几，从而求

和即可.

n

解：。九+1+(―l)an=2n—If

①当〃为奇数时，

=

a九十1-Q•九=271—1,Q71+2+Q?i+i271+1,

两式相减得，

。九+2+=2;

②当〃为偶数时，

a九+i+Q•九=2九—19。九+2—。九+1=272+1,

两式相加得，

an+2+an=4n；

故S40=%+的+。5+…+。39

+(。2+。4+。6+。8+…+。40)

=2X10+4(2+6+…+38)

=20+4x10(2+38)=820,

2

故答案为：820.

16.答案：52/

解析：

本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力.

该三棱锥的外接球，即为以AABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出厂，然

后求解球的半径，即可得到球的表面积.

解：由余弦定理得，AC=yjABi23+BC2-2AB-BC-cos60°=2,

该三棱锥的外接球，即为以A4BC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，

•在A4BC中，设AABC的外接圆半径为r,则」f^=2r,r=2,

sm60°

球心到AABC的外接圆圆心的距离d=3,

•・•球的半径R=V9T4=V13.

.••该三棱锥的外接球的表面积为4万x13527r.

故答案为“十

17.答案：解：⑴由△4BC是等边三角形，得0=a+

0<a<p

^CZcosa—cos0

n

=2cosa—cos(a+—)

3V3

=-cosa+--sina

22

=V3sin(tr+》

由04aWE得g<a+g<等

所以当a=g时，即a+g=三时，2cosa—cosS=Wsin(a+与)最大值旧.

o323

i

(2)由cos/?=-,

得sin0=MZ

故sina=sin(S—g)=sinpcos7—cospsin-=—,

33314

由正弦定理缶BD

s\nZ-BAD'

故A8=咽8。8

~9

since3

故SMBD=^5-BD-sinB=1x-X1X

z2323

解析：本题考查了三角函数的运算性质，考查正弦定理以及三角形面积的求法，是一道中档题.

(/)求出6=a+会根据三角函数的运算性质求出其最大值即可;

(〃)根据正弦定理求出AB的值，从而求出三角形的面积即可.

18.答案：解:(I)设等差数列｛a)的公差为“,

,**6X3=7,+。7=26,

%+2d=7

，解得的=3,d=2,

2al+10d=26

an=3+2(n-1)=2n+1；

S九=3九+-x2=九2+2n.

1_1

(U)b九—2_—(271+1)2-1—(i)

arnn+nn+19

11111

1——+———------

223nn+1

n

=1-Wn+1

解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前〃项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由于。3=7,a5+a7=26,可得+一：解得的，d,利

।J.Utt—ZO

用等差数列的通项公式及其前”项和公式即可得出.

111

(口)由(I)可得％=而后=£-M,利用“裂项求和”即可得出.

19.答案：证明：(1)连结。R取AD中点。，贝UQD^EF，

QDEF是平行四边形，FQDE,

•••FQ=QA=QD=AF=1,

A2FQ是等边三角形，^AFQ=^AQF=60°,

•••乙QFD=30°,•••AAFD=90°,

,平面84F_L平面ADEF,且交线为AF,

DF1平面8AF,DF1AB,

又AB1AD,DFCiAD=D,

AB1平面ADEF.

解：(2)以A为原点，AB为无轴，为y轴，在平面4。跖内过点A且与4。垂直的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，由题意知BC〃4D,

则尸(0彳,泉，C(V2,l,0),0(0,2,0),4(0,0,0),

XC=(V2,l,0).布=(0W,当),

由。)知平面A4F的一个法向量为而=(o,j,-y),

设平面C4尸的一个法向量记=(x,y,z),

(m•~AC=V2x+y=0__

则一一>i73.取y=逐，Wm=(—V3,V6,—V2),

m-AF=-yH----z=0

2Z2

设二面角B-AF-C的平面角为仇

,__>4V6__

则c°se=HL=I=咨，

\m\-\FD\V11V311

••・二面角B-AF-C的余弦值为蟀.

11

解析：(1)连结。F取A。中点0,推导出QOEF是平行四边形，从而FQ1DE，进而乙4尸。=90°,DF1

平面BAF,DF1AB,AB1AD,由此能证明力B_L平面ADEF.

(2)以A为原点，为x轴，AO为y轴，在平面内过点A且与垂直的直线为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角8-AF-C的余弦值.

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(1)记事件。为“甲选择产品A投资且获利”，记事件。为“已选择产品B投资且获

利”，记事件E为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”

则P(C)=3P(C)=|,P(D)=p,p(0)=l-p.

P(E)=1-P而)=1-久1-p)>[•・•p>|

33

又p+q="且q>。，p<-

23

3L4

(n)假设丙选择A产品投资，且记f为获利金额(单位：万元)，贝收的分布列为

投资结果100—6

151

概率

4123

i11

.-.E(O=10x--6x-=-

假设丙选择8产品投资，且记77为获利金额(单位：万元)，则〃的分布列为

投资结果80-4

1

概率Pq

4

33

E⑺=8p—4q=8p—4(--p)=12p—3(0<p<-)

.•.当p=5时，E(f)=E8),丙可在产品A和产品B中任选择一个投资;

24

当0<p<A时，E(f)>E(〃)，丙应选产品A投资;

24

当<衬，E(f)<Eg),丙应选产品8投资.

244

解析：本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，是中

等题.

(1)利用相互独立事件和对立事件的概率计算公式，求出“甲选择产品A且盈利”、“乙选择产品8

且盈利”和“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”的概率值，列出不等式求出p的取值范围；

(2)设丙选择产品A进行投资，记X为获利金额，由分布列计算数学期望；设丙选择产品2进行投

资，记y为获利金额，由y的分布列，计算数学期望；讨论P的取值，得出E(x)与E(y)的大小关系

即可.

21.答案：解：(1)M(一8,0),|MP|=4.

•••(GN+GP)1(GN-GP)，GN2-GP2=0,

即|GN|=\GP\.

又G在线段MP上，

|GM|+|GN|=\GM\+\GP\=\MP\=4.

又|MN|=2V3<|MPI，

••.G点轨迹是以M,N为焦点的椭圆.

22

设G的轨迹方程为今+三=1,贝吃a=4,即a=2,c=百,

a2bz

•••b=y/a2—c2=1，

2

.••点G的轨迹方程为亍+必=1.

(2)由题意可知直线/斜率存在且不为0,

设直线/的方程为y=k(比一4),2(*1，月)，8(*2,%)，则。Oi，-%)，

联立方程组，日1―2，消元得：(1+4fc2)%2-32fc2x+64/c2-4=0,

由A>0可得1024d-4(1+4k2)(64/-4)>0,解得1<总

由根与系数的关系可得：句+%2.，/久2=空子，

1乙l+4/c21乙l+4/c2

•.・明=次=E]=等尸

直线的方程为慧=痣，

…64fc2-4伙32kz

K1+4九2

*2月+工，2x2(kx1-4k)+x1(kx2-4k)1+4/一

令y=0可得第=3243=1,

一+为kx1-4k+kx2-4k-8k

l+4k2

即Q(l,0),到直线AB的距离d=J算，

v+1

•••SFBQ=--\AB\-d=|6因“-产21=6产(1；16吟=L2._7,

△ABQ2111l+4k217l+8/c2+16fc4q64vl+4fc274+