2020-2021学年南昌二中高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年南昌二中高二上学期期末数学试卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1,已知复数2=占，则以下说法正确的是()

A.复数z的虚部为(

B.z的共辗复数斤=|一g

C.|z|=i

D.复平面内与z对应的点在第二象限

2.已知函数y=f(x)(xeR),g(x)=/(x)+2x(%eR),则函数f(x)在R上递增是g(x)在R上递增

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.设复数z满足(1—i)z=23贝Hz在复平面内对应的点在()

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限

4.已知抛物线y=a/上点P(x(),2)到焦点的距离为3,则点「到丫轴的距离是()

A*B.1C.2V2D.2

2

5,函数/'(x)=/-2比久的增区间为()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(V2,+00)D.(0.V2)

6,下面有关命题的说法正确的是()

A.命题“若小—3%+2=0,则％=1”的逆命题为：“若汇*1,则/—3x+2大0”

B.命题“若产-3%+2=0,贝壮=1”的否命题为：“若x*1,则无2—3x+240”

u

C.命题'勺尤oeR,log2x0<0"的否定为：3x0eR,log2x0>0"

D.命题'勺K°GR,log2x0<0"的否定为：“VxGR,log2x>0”

7.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简

称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号.其中

序号的编码规则为：①由0,1,2,9这10个阿拉伯数字与除/,。之外的24个英文字母组成；

②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤2326s0,则采用5位序号编码的粤4牌照最多能发放

的汽车号牌数为()

A.586万张B.682万张C.696万张D.706万张

8.已知命题p：a2>0(aGR),命题q：函数/'(x)=/-x在区间[0,+oo)上单调递增，则下列命

题①PVq②pAq③(*)A(%)(4)(")Vq其中为假命题的序号为()

A.①②B.②③④C.③④D.①③④

9,下列四个命题中：

①设有一个回归方程》=2-3%,变量%增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P"3%0eR，瑶一—1>0”的否定「P：“VXeR,X2-x-l<0”；

③设随机变量X服从正态分布N(0,4),若P(X>1)=0.2,则P(—1<X<0)=0.3；

④在一个2x2列联表中，由计算得K2=6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.本

题可以参考独立性检验临界值表：

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.5357.87910.828

其中正确的命题的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知函数/(x)=x3-3%+b与函数y="有相同的对称中心，若g(x)=有最大值,

工I—x,x>a

则实数。的取值范围是()

A.(-00,-1)B.(-00,-1]C.[-1,+8)D.[1,4-00)

22

11.已知双曲线C：表—l(a>0,b>0)的右焦点为F,直线Z：丫=依与。交于4B两点，以AB

为直径的圆过点尸，若C上存在点P满足而=4前，则C的离心率为()

A.V3B.手C.V5D.V10

12.设函数/0)是定义在R上的偶函数，/(%)为其导函数.当x>0时，f(x)+尤"'(X)>0,且f(l)=

0,则不等式x"(%)>0的解集为()

A.(-00,-1)U(l,+oo)B.(-00,-1)U(0,1)

C.(—1,0)u(0,1)D.(—1,0)u(1,+8)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.重庆一中开展的“第十届校园田径运动会”中，甲、乙、丙、丁四位同学每人参加了一个项目，

且参加的项目各不相同，这个四个项目分别是：跳高、跳远、铅球、跑步.下面是关于他们各

自参加的活动的一些判断：

①甲不参加跳高，也不参加跳远；②乙不参加跳远，也不参加铅球；

③丙不参加跳高，也不参加跳远；④如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.

已知这些判断都是正确的，则乙参加了.

14.曲线朋=事,#翻HI第：在点(1,1)处的切线方程为

15.已知函数y=/(%)的导函数/''(X)的图象如图所示，则函数f(x)/

在区间［-3,5］上取得极大值时，久的取值为.7少入"

16.已知曲线G：了=X2+4和。2：y=2x-x2,直线"与C］、C2分别相切于点力、B,直线%(不同

于幻与C1、。2分别相切于点C、D,贝MB与CD交点的横坐标是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.目前我市逐步建立了以政府为主导以企业为主体，全社会共同推进的节能减排工作机制，某企

业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的

大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在［20,40)

内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设

备改造后的样本的频数分布表.

质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

频数4369628324

设备改造后样本的频数分布图

(1)完成下面的2X2列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值

与设备改造有关；

设备改造前设备改造后合计

合格品

不合格品

合计

(2)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元,

用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？

附:

P(K2>k0)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc')2

(a+b)(a+c)(c+d)(匕+d)

匣

组距

o.otol........

0.008质量指标值

015202530354045

设备改造商样本的覆率分布直方图

18.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，无轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线〃

(x=-1+^t,

<](t为参数)与抛物线/=4y交于4B两点，设点M(—1,3).

[y=3+,

(I)求直线/的普通方程和极坐标方程；

(口)求|“川•|MB|和|4B|.

19.设函数/(%)=1。92二+，。。2(尤-1)+/。。2(加一久)，(m>1).

X-1

(I)求/。)的定义域；

(H)/(乃是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.

22

20.设椭圆C：京+a=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,上顶点为4在x轴负半轴上有一

点B,满足F1为线段8心的中点，且

(I)求椭圆C的离心率；

(E)若过4、B、尸2三点的圆与直线/：x-百y-3=0相切，求椭圆C的方程；

(HI)在(口)的条件下，过右焦点尸2作斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点，在x轴上是否存在Pg,0)

使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说

明理由.

21.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了10次试验，得到数据如

下：

零件数双个)102030405060708090100

加工时间

626875818995102108115122

y(min)

试对上述变量作回归分析，你认为工时定额定多少比较合理?

22.已知函数/(x)=(ax2+x+l)ex-2(e是自然对数的底数).

(1)当a=-1时，求函数在［-3,2］上的最大值和最小值；

(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.

参考答案及解析

L答案：D

解析：解：,•,Z=隗=(,；Ni)=TM

・••复数Z的虚部为E，Z的共轨复数2=-|-g|Z|=J(_|)2+©2=f,复平面内与Z对应的点的坐

标为(-|,巳)，在第二象限.

・•.正确的是复平面内与Z对应的点在第二象限.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,然后逐一计算得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

2.答案：A

解析：解：若〃%)在R上递增，则根据函数单调性的性质可知g(x)=/(x)+2x单调递增.

若/'(久)=f，止匕时g(x)=f(.x)+2x=—x+2x=x单调递增，但/'(x)=-x不是增函数,

・•・函数/㈤在R上递增是g(x)在R上递增的充分不必要条件，

故选：A.

根据函数单调性的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数单调性的性质是解决本题的关键.

3.答案:C

解析：解：1•1(1-i)z=2i,

+=2i(l+i),

化为z=i-1

则z在复平面内对应的点(-1,1)在第二象限.

故选：C.

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.答案：C

解析:解:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,十)，准线方程为y=-白,抛物线y=。婷上点p&,2)

4a4a

到焦点的距离为3,可得：2=1，解得a=%抛物线y=；/上PQo,2)，可得X=±2VL

点P至1Jy轴的距离为：2vL

故选：c.

先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点P到焦点的距离与到准线

的距离相等，然后求出P的横坐标即可.

本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉及抛物

线焦点的直线或焦点弦的问题.

5.答案：A

解析：解：函数/"(%)的定义域为(0,+8),

令广。)>0,解得x>1,

・•・函数/(%)的单调递增区间为(1,+8),

故选：A.

求导数/'(乃，在定义域内解不等式/'(%)>0可得.

该题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，注意单调区间要在定义域内求解.

6.答案：D

解析：解：4命题“若/—3%+2=0,贝壮=1”的逆命题应为：''若x=1,贝I]/—3x+2=0”；

A命题“若/-3x+2=0,则％=1”的否命题应为“若/-3%+270,则x41”；

C命题eR,log2x0<0"的否定应为“VxeR,log2x>0”;

D由上面的C可知D正确.

故选D.

此题4、B是给出一个命题，如何写出其逆命题及否命题，其依据是原命题若为“若p,贝叼.”，则其

逆命题为：”若q,则p"；其否命题为“若”,则%”；据此可判断4B.不正确.

此题C、。是给出一个命题如何写出命题的否定，要注意命题的否定与否命题不是一回事.命题"3xe

R,结论p成立”的否定为“WxeR,结论p的反面成立"，据此可知C不正确，而。正确.

此题考查了四种命题之间的关系及命题的否定.准确把握四种命题之间的关系，全称量词与存在量

词在命题的否定时如何使用，是做好本题的关键.

7.答案：D

解析：解：根据题意，分3种情况讨论：

①汽车号牌中没有字母，有105种组合，

②汽车号牌中有1个字母，有废4X玛x104=12x105种组合，

③汽车号牌中有2个字母，

若两个字母不同，有比4X魅x103=552x种组合，

若两个字母相同，有C%x量x103=24x种组合，

则汽车号牌中有2个字母的组合有552xIO4+24x104=576x104种，

共有706万种情况，故最多能发放的汽车号牌数为706万张.

故选：D.

根据题意分类讨论.

本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题.

8.答案：B

解析：解：命题P：<22>0((2G/?),是真命题.

命题q：函数/。)=尤2-％=。一|)2一；在区间由+8)上单调递增，因此是假命题.

则下列命题①pVq②pAq③(--p)A(飞)④(p)Vq其中为假命题的序号为②③④.

故选：B.

利用函数的性质先判定命题p,q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.

本题考查了函数的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

9.答案：C

解析：解析：

试题分析：对于①设有一个回归方程5=2—3x,变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位；错

误。

对于②命题P："三莓图盥超广-通-』涧旷的否定FP：“嫁W您您--解为W❿"；成立

对于③设随机变量X服从正态分布N(0,4),若P(X>1)=0,2,则P(-l<X<0)=0.5-0.2=0.3；

成立

对于④在一个2x2列联表中，由计算得小=6,679>6,535,则有99%的把握确认这两个变量间有

关系.成立，故可知正确的3个，故选C.

考点：命题的真假

点评：主要是考查了命题的真假的运用，属于基础题。

10.答案:C

解析：解：因为丫=蔓的对称中心为(0,1),则由平移知识可

得，b=1.

如图作出函数/Q)=x3-3%+1与直线y=1-2%的图象,

它们的交点是4(—1,3),(0,1),B(l,-1)

由/Q)=3/—3,可以判断x=-1是函数/(X)的极大值点,

图象知当a2-1时，gQ)有最大值是/(-I)或/(a)；

当<2<-1时，由a3-3a<-2a,因此g(x)无最大值，

所求a的取值范围是[一1,+8).

故选：C.

作出函数/'(x)=%3-3%+1与直线y=1-2%的图象,利用函数的导数求解函数的最值，通过数形

结合求解即可.

本题考查函数的导数的应用，函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力.

11.答案：B

解析：

本题考查双曲线的方程和性质，以及向量的运算，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于

拔高题.

设B(s,t),F(c,0),P(m,n),则2(-s,T),由向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，结合点满足

双曲线的方程，化简整理，结合a,b,c和e的关系式，可得所求值.

解:可设B(s,t),F(c,0),P(m,n),

则4(—s,—t),BP=(m—s,n—AF=(c+s,t)，BF=(c—s,-t)，

因为前=4BF,

所以4(c—s)=m—s,—4t=n—t,解得m=4c—3s,n=-3t,

因为以AB为直径的圆过点F,

所以AF-BF=(c+s,t)•(c—s,—t)=c2—s2—t2=0,

即S2+/=02①，

又B在双曲线上，可得称一卷=1②，

a2匕2

又生平一誓=1③，

a2b2

②—③可得3-S)2(S-C)=_],

将/=,2—s2代入，整理可得s2=32-产产,

C2

再由①可得产=02—S2=3庐(3丁),

再将s2,t2代入②，整理可得4c2=10a2,即c=^a，

所以6=9=包.

a2

故答案选：B.

12.答案：D

解析:解:•­•(x•/(x))7=/(x)+x-f'(x)>0,

故函数g(x)=x/(x)在(0,+8)上单调递增.

再根据函数/'(%)是定义在R上的偶函数，

可得函数g(x)=x/(x)是R上的奇函数，

故函数g(x)=xfO)是R上的奇函数，

故函数g(x)=x/Q)在(-8,0)上单调递增.

••/-(I)=0,.-./(-I)=0,

故函数y=%/(%)的单调性的示意图，如图所示：

由不等式支■/(%)>0,

可得X与/'(%)同时为正数或同时为负数，；•X>1，或一1<%<0,

故不等式X♦f(X)>0的解集为:(-1,0)U(1,+8)

故选：D.

由题意可得函数g(x)=是R上的奇函数，画出函数g(x)=久/'(>)的单调性的示意图，数形结合

求得不等式x•/(%)>0的解集.

本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的导数与单调性的关系，属于中档题.

13.答案:跳高

解析：解：由乙不参加跳远，也不参加铅球，

假设乙参加跳高，则甲参加跑步，丙参加铅球，丁参加跳远，符合题意；

假设乙参加跑步，则甲参加铅球，不符合题意.

故乙参加跳高.

故答案为：跳高.

分别假设乙参加跳高和跑步，分析四人的参加活动情况，能求出结果.

本题考查乙参加活动项目的判断，考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证

能力，是基础题.

14.答案:

解析：试题分析：因为般=/书魏「第，所以/=1#土所以,置注=谓引钓典=%所以在点(1,1)处

的切线方程为艰'/即世智翼=领，

考点：导数的几何意义。

点评：曲线在某点处的导数就是在这点切线的斜率。这条在考试中经常考到。属于基础题型。

15.答案:2

解析：解：由图象可知，当一3<乂<一1或2<x<4时，函数单调递增，

当—1<%<2或4<久54时，函数单调递减，

即当x=2时，函数取得极大值，

故答案为：2,

由导数的图象，判断函数的单调性，然后根据函数极值和导数之间的关系进行求解即可.

本题主要考查函数极值的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.

16.答案：!

解析：解：Q：丫=/+4和。2：y=2%-x2,分别由抛物线

y=/经过平移或对称变换而得，它们是全等的图形，从而具

有对称中心，又直线人与%分别是它们的公切线，根据对称性知，

直线"与l也关于对称中心对称，从而曲线与Q关于4B与C。

交点对称，48与CD交点即为两抛物线的对称中心.如图.

由于抛物线Q和抛物线的顶点坐标分别为M(0,4),N(l,l),

线段MN的中点的横坐标为x=等=点即两抛物线的对称中心

的横坐标为也

故答数为：j.

抛物线G的方程是y=/+4,和C2：y=2x-x2,由题意知曲线C2与Q关于48与CD交点对称，得

4B与CD交点即为两抛物线的对称中心.求出抛物线6和抛物线。2的顶点坐标，再求出它们连线段的

中点即可得出正确答案.

本题考查曲线方程，考查曲线的对称性.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

17.答案：解：（1）根据上图和上表可得2x2列联表:

设备改造前设备改造后合计

合格品172192364

不合格品28836

合计200200400

将2X2列联表中的数据代入公式计算可得，不=钝黑了:葭胃1="al>6.6335,

所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

（2）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品,

则获利约为180X960-100X40=168800,

故该企业大约能获利168800元.

解析：（1）作出2X2列联表，计算K2的值，对照临界表中的数值，即可得到答案；

（2）用频率估计概率，得到1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，求解即可.

本题考查了2X2列联表的求解与应用，独立性检验的应用，频率估计概率的应用，考查了逻辑推理

能力与化简运算能力，属于基础题.

（%=-1+—t,

18.答案：解：（1）直线1:1万2（t为参数）转换为直角坐标方程为x—y+4=0.

（y=3+Q

转换为极坐标方程为pcose-psind+4=0.

fx=-1+—t,

（口）把直线〃\丁（t为参数）代入抛物线产=4y交于4B两点，

1/=3+圣，

得至U：-t2-V2t+l-3-—1+4=0,即：-t2-—1+2=0,

2222

所以+I2=3V2>11力2=4

所以用==4,=|t-y—t21=J（t]+以川一41112=V2-

解析：（I）本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、

（H）参数方程中参数的几何意义，考查运算求解能力和化归与转化思想，考查数学运算、数学建模

核心素养.

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关

系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

户>0

19.答案：解：(I)ti>o,｛品>

<m—x>0

因为函数的定义域是非空集合，故血>1,所以/(X)的定义域为(1,爪)；

2

(n)V/(%)=10g2[(x+=log2[-(x-^)+，

・•・当WML1V?HW3时，/(%)既无最大值又无最小值;

当1V”Jv/n,即TH>3时，％=笠^时，/(%)有最大值log2⑺；)_,但没有最小值.

综上可知：当1<爪33时，/(%)既无最大值又无最小值；当m>3时，/Q)有最大logz^m,但

4

没有最小值.

f—>0

解析：(I)由函数/Q)的解析式可得，p~-l>0,解不等式组可得定义域.

\m—%>0

(H)先将解析式化简得“X)=10g2[-(%—=)2+蛆誓],结合(1)定义域，需要分类讨论中<1,

24Z

1<券<m得/(久)的最值

本题考查函数的定义域和最值，属于常见题型，注意分类讨论思想的应用.

20.答案:解：(1)由题意知&(一。,0),F2(C,0),4(0/)

•••6为BF2的中点，AB1AF2,

2

•••RtAABF2+.BFl=AB+AF^,

2

(4c)=(V9c2+(2)2.1_a2t

X<z2=b2+c2,■-a=2c,

故椭圆的离心率e=?=a

(E)由(I)知(=《，得c=2

■iq

于是尸2(：。,0)，

______1

/^△43尸2的外接圆圆心为(—三,0),半径r=a,

所以&3=a，解得a=2,

2

•••c=1,b=V3,

22

所求椭圆方程为二+匕=1;

43

(皿)由(口)知产2(1,0),Z：y=k(x-1),

设MOi，%),NO2,%)，

由y=k(x—1)和3/+4y2=12,代入得(3+4fc2)%2—8k2x+4k2-12=0,

则%+犯=黑7'

yi+y2=k(%i+女-2),

PM+PlV=+为2—2m,yr+y2)^

由于菱形对角线垂直，

贝!1(丽+丽)•丽=0,

故%1+久2—2m+k(yr+y2)=°，

即％i+犯—2m++次—2)=0,

坐26+卜2(坐"-2)=0,

3+4/c2k3+4/c27

由已知条件知kW0,

k21

•*,Tn-~~3".

3+4/c24+尚'

1

0<m<-,

4

1

故zn的取值范围是0<zn<「

4

解析：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础

知识.考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想.

(I)由题意知后(—c,0),F2(C,0),4(0,b),由弓为BF2的中点，由48_14尸2,知RtAABF2中，3欧=

AB2+AF^,由此能求出椭圆的离心率；

(11)由(1)知?=也得c.a,于是尸2(/0)，＜(-|a,0)，RM4BF2的外接圆圆心为(一),0)，半

径「=期所以良n=a，由此能求出椭圆方程；

2

(皿)由F2(1,。)，I：y=k(%-l),设M(久1J1),N(%2，y2)，由y=k(%-1)和3/+4y2=12,得(3+

4k2)x2-8k2x+4k2_12=0,由此能求出血的取值范围.

21.答案：解：彳=看2旦々=看550=55,1=同2匕%=91.7,

£昌*=38500,2昌*=87777,£昌3%=55950,

昌％「55950-10x55x91.7

2iyio5y«0.668,

E昌烯-1。%228500-10X552

a=y—bx=91.7—0.668x55=54.96,

故线性回归方程为y=0.668%+54.96,

因为亍=91.7,所以工时定额定为92比较合理.

解析:求