5.1.2 矩形的判定 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

第5章特殊平行四边形5.1矩形第2课时矩形的判定基础过关全练知识点矩形的判定1.依据所标数据,下列一定为矩形的是()ABCD2.一个四边形在平面直角坐标系中,三个顶点坐标分别是(-1,-1),(-1,2),(3,-1),要使这个四边形是矩形,则第四个顶点坐标是()A.(-2,-2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,3)3.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA=OB,点E在BD的延长线上,若∠BOC=110°,则∠ADE=.

4.如图,在平行四边形ABCD中,AC=BD,AB=6,两条对角线AC,BD所夹的钝角为120°,则对角线BD的长为.

5.【教材变式·P117T3】如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直于对角线BD,依次连结AB,BC,CD,AD的中点E,F,G,H,得到四边形EFGH.求证:EG=FH.能力提升全练6.(2023浙江丽水模拟,8,★★☆)如图,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,PE⊥OA于点E,PF⊥OC于点F,PG⊥OB于点G,则OE+OGOF的值是(A.1B.2C.2D.37.求证:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点O是AC的中点.求证:OB=12证明:延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD,中间的证明过程排乱了:①∵∠ABC=90°;②∵OD=OB,OA=OC;③∴四边形ABCD是平行四边形;④∴四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,∴OB=12BD=1则中间证明过程正确的顺序是()A.①④②③B.①③②④C.②④①③D.②③①④8.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BD,AB=5,BD=4,CD=3,点E是AC的中点,则BE的长为()A.2B.52C.59.【将军饮马问题】如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是.

10.【一题多变·利用矩形的性质求线段长度的最小值】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.点D是AB边上的动点,过点D作边AC,BC的垂线,垂足分别为E,F,连结EF,则EF的最小值为.

第10题图变式图[变式·求对角线的一半长的最小值]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,P为边BC上一动点.PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点,则PM的最小值是.

11.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.12.如图,DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.(1)求证:AF与DE互相平分;(2)当AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形?请说明理由.13.(2023四川内江中考,18,★★☆)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证:FA=BD;(2)连结BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.14.如图,在▱ABCD中,AC⊥AD,作∠ECA=∠ACD,CE交AB于点O,交DA的延长线于点E,连结BE.(1)求证:四边形ACBE是矩形;(2)连结OD,若AB=4,∠ACD=60°,求OD的长.15.如图,在△ABC中,O是AC上一动点(不与点A、C重合),过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F.(1)OE与OF相等吗?证明你的结论.(2)试确定点O的位置,使四边形AECF是矩形,并加以证明.16.【推理能力】如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=12x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.求证:四边形ABCD是矩形

第5章特殊平行四边形5.1矩形第2课时矩形的判定答案全解全析基础过关全练1.C选项A、B都只有两个角可以确定是直角,它们都不一定是矩形;选项C中长度等于3的一组对边都垂直于同一边,可知长度等于3的这组对边平行且相等,所以这个四边形是平行四边形,又有两个角是直角,所以这个平行四边形是矩形;选项D知道一组邻边长是3、4,但不能确定它们的夹角是直角,所以这个四边形不一定是矩形.故选C.2.B如图,过点(-1,2)、(3,-1)分别作x轴、y轴的平行线,易知交点坐标为(3,2),即第四个顶点坐标是(3,2),此时,这个四边形是矩形.3.答案145°解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,BO=OD,∵OA=OB,∴2AO=2OB,即AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,∴AO=OD,∴∠ADO=∠OAD=12(180°-∠∵∠AOD=∠BOC=110°,∴∠ADO=35°,∴∠ADE=180°-∠ADO=180°-35°=145°.4.答案12解析∵在平行四边形ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=12AC,OD=OB=1∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB=6,∵OB=125.证明∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,AD的中点,∴EF=12AC,HG=12AC,EH=12BD,FG=12BD,EF∴EF=HG,EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.∴平行四边形EFGH是矩形.∴EG=FH.能力提升全练6.C如图,过点G作GM⊥OC于点M,过点P作PN⊥MG于点N,∵∠AOB=90°,PE⊥OA,PG⊥OB,∴∠AOB=∠OEP=∠OGP=90°,∴四边形OEPG为矩形,∴OE=PG,∵PN⊥MG,PF⊥OC,MG⊥OC,∴∠PNM=∠PFM=∠NMF=90°,∴四边形FMNP为矩形,∴PN=MF,∵∠AOB=90°,OC平分∠AOB,∴∠MOG=45°,∴OG=2OM,同理可得PG=2PN,∴OE=2MF,∴OE+OGOF=2MF+27.D证明:延长BO到D,使OD=OB,连结AD、CD,∵OD=OB,OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∴OB=12BD=1∴中间证明过程正确的顺序是②③①④.故选D.8.C如图,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F,∵AB∥CD,AB⊥BD,∴CD⊥BD,∴∠F=∠DBF=∠CDB=90°,∴四边形BFCD是矩形,∴BF=CD=3,CF=BD=4,在Rt△BCF中,BC=CF2+B在Rt△AFC中,AC=AF2+CF2=(∴BC=AB=5,∴△ABC是等腰三角形,∵点E是AC的中点,∴BE⊥AC,∵12AB·CF=12AC∴12×5×4=12×45BE,解得BE=9.答案89解析连结BF,作点A关于CD的对称点G,连结BG,FG,如图所示:则AF=FG,AD=DG,在矩形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠BAD=90°,∵EF∥BC,∴四边形BEFC是平行四边形,∵∠ABC=90°,∴四边形BEFC是矩形,∴CE=BF,∴AF+CE的最小值等于AF+BF的最小值,即BG的长度,∵AB=5,AD=4,∴AG=8,根据勾股定理,得BG=AB2+AG2∴AF+CE的最小值为89.10.答案12解析如图,连结CD,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=AC2+B∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴四边形CFDE是矩形,∴EF=CD,当CD⊥AB时,CD的值最小,此时,EF的值最小,S△ABC=12BC·AC=12AB∴12×4×3=12×5·CD,解得CD=∴EF的最小值为125[变式]答案30解析连结AP,如图.∵∠BAC=90°,AB=5,AC=12,∴BC=AB2+AC2=52+122=13,∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP,EF与AP互相平分,∵M是EF的中点,∴M为AP的中点,∴PM=12AP,∵AP⊥BC时,AP最短,此时PM也最短,当AP⊥BC时,AP=AB·ACBC=5×1213=6013,∴AP最短时,AP=11.解析(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD,∴∠DAO=∠ADO,∴AO=DO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3,∴∠ABO=54°,∵∠BAD=90°,∴∠ADO=90°-54°=36°.12.解析(1)证明:∵DE是△ABC的中位线,∴点D是AB的中点,点E是AC的中点,∴AD=12∵AF是△ABC的中线,∴点F是BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AB,EF=12∴四边形ADFE是平行四边形,∴AF与DE互相平分.(2)当AF=12BC时,四边形ADFE为矩形理由:由(1)得四边形ADFE是平行四边形,∵DE为△ABC的中位线,∴DE=12∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴当AF=DE=12BC时,四边形ADFE是矩形故应满足的关系为AF=1213.证明(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,∵E为AD的中点,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC,∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD.(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴四边形ADBF是平行四边形,∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形ADBF是矩形.14.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AC⊥AD,∴∠EAC=∠DAC=90°,∵∠ECA=∠ACD,∴∠AEC=∠ADC,∴CE=CD,∴AE=AD=BC,∵AE∥BC,∴四边形ACBE是平行四边形,∵∠EAC=90°,∴四边形ACBE是矩形.(2)如图,过点O作OF⊥DE于F,∴∠OFA=90°.由(1)知四边形ACBE是矩形,∴OA=OC=OB=OE,∵OF⊥DE,∴AF=EF,∴OF=12∵∠ACD=∠ACO=60°,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=2,∴OF=1,∴AF=3,∴EF=3,∴AD=AE=23,∴DF=AF+AD=3+23=33,∴OD=OF2+FD215.解析(1)OE=OF.证明如下:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠FCD,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠BCE=∠ACE,∠OCF=∠FCD,∴∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴OE=OC,OC=OF,∴OE=OF.(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.证明:∵AO=CO,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,由(1)知OE=OC=OF,∴OE=OC=OF=O