2023年江苏省中考数学冲刺专题练-8二次函数

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——8二次函数一．选择题（共12小题）1．（2023•泗阳县一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y22．（2023•涟水县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根 D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根x1取值范围为：﹣1＜x1＜03．（2023•常州模拟）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上4．（2023•常州模拟）现有函数y=x+4(x＜a)x2-2x(x≥a)如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤55．（2022•亭湖区校级二模）已知抛物线y＝kx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠06．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12A．① B．② C．都对 D．都不对7．（2022•邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．8．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．图像经过点（﹣1，﹣4） D．x＞0时，y随x的增大而增大9．（2023•靖江市校级模拟）如图，抛物线y=12x2﹣x-32的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点①点C在⊙I上；②IQ⊥PD；③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；④线段BQ的长可以是3.2．其中正确说法的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022•高邮市模拟）在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②y=kx(k≠0)；③y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．（2022•淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（）A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞412．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．2 B．32 C．3 D．二．填空题（共7小题）13．（2023•泗阳县一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为．14．（2023•泗洪县一模）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A、B两点，点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线BP、AP分别交抛物线的对称轴于点M、N，CM+CN的值等于．15．（2023•苏州模拟）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+a（a＜0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣10，则a的值为．16．（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式．17．（2023•靖江市校级模拟）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣2），则代数式a+b的值为．18．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为米．（结果保留根号）19．（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是s．三．解答题（共8小题）20．（2023•涟水县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1，4）在直线l：y=43x+t上，动点P（m，n）在（1）写出A点坐标；B点坐标；C点坐标；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；（4）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝m（﹣x2+bx+c）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围．21．（2023•徐州一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，①如图1，当CB平分∠ACP时，求点P的坐标；②如图2，连接PA交BC于E点，设S△CPE＝kS△CAE，求k的最大值．22．（2023•贾汪区一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．23．（2023•锡山区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP．①若△PBC是直角三角形，且∠PBC＝90°时，求P点坐标；②当∠PBA＝2∠CBD时，求P点坐标．24．（2023•惠山区校级模拟）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．25．（2023•沛县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax经过点A（4，0）和B（1，m）点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A，B两点）．（1）求a、m的值．（2）连接AB、OB，若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，求点C的坐标．（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问EH+FH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．26．（2023•工业园区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，若所得新抛物线的顶点仍在直线y＝x+m上，且经过点（0，1），求新抛物线的表达式．27．（2023•泗阳县一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（0，b），C（1，4），P（m，n），点P在第一象限．（1）若A、B、C、P在同一直线上①b＝，②求4m﹣2n的值；（2）如果P、C都在双曲线y=kx上，且四边形ABPC为平行四边形，请直接写出平行四边形（3）若A、B、P都在以C为顶点的抛物线上，该抛物线与x轴的另一交点为D．①求点D坐标；②连接BD、AP，若BD与AP相交于点E，则PEAE的最大值为

2023年江苏省中考数学冲刺专题练——8二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2023•泗阳县一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝1最远，∴y1＞y2＞y3．故选：A．2．（2023•涟水县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根 D．关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根x1取值范围为：﹣1＜x1＜0【解答】解：A．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=-b∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故A正确；B．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故B正确；C．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），∴函数有最大值n，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，故C正确；D．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根x1取值范围为：0＜x1＜1，故D错误；故选：D．3．（2023•常州模拟）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象的特征，下列描述正确的是（）A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2，∴抛物线开口向下，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选：D．4．（2023•常州模拟）现有函数y=x+4(x＜a)x2-2x(x≥a)如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴函数y＝x2﹣2x的最小值为﹣1，把y＝﹣1代入y＝x+4得，﹣1＝x+4，解得x＝﹣5，由图象可知，当﹣5≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，故选：A．5．（2022•亭湖区校级二模）已知抛物线y＝kx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【解答】解：根据题意得Δ＝22+4k×1＞0，解得：k＞﹣1，由于该函数为二次函数，则k≠0．∴k＞﹣1且k≠0．故选：D．6．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12A．① B．② C．都对 D．都不对【解答】解：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x=-b∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论①正确；把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b=-1∵b＝2a，∴a=-1∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c=34∴b+c=-12m+3故结论②不正确．故选：A．7．（2022•邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当a＞0时，一次函数过一二三象限，抛物线开口向上，对称轴x=-12a＜0，故当a＜0时，一次函数过二三四象限，抛物线开口向下，对称轴x=-12a＞故选：D．8．（2022•钟楼区校级模拟）以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．图像经过点（﹣1，﹣4） D．x＞0时，y随x的增大而增大【解答】解：∵y＝4x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），∴x＞0时，y随x增大而增大，函数值y≥0，故选：C．9．（2023•靖江市校级模拟）如图，抛物线y=12x2﹣x-32的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点①点C在⊙I上；②IQ⊥PD；③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；④线段BQ的长可以是3.2．其中正确说法的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：抛物线y=12x2﹣x-32的图象与坐标轴交于点A，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3∴点I（1，0），⊙I的半径为2，∵y=12x2﹣x-32=12（x∴顶点D的坐标为：（1，﹣2），∴ID＝2，∴点D在⊙I上．①IC=OI2+OC2=12②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在⊙I上，点Q为PD的中点．∴IQ⊥PD，故②正确；③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=12AB＝2，ID交GF于点R，则四边形当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQ⊥PD，连接QR，则QR=12ID＝IR＝RD＝RG＝RF=12GF＝1，则点则Q运动的路径长=12×2πr＝π④由③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，最大值为32+∴线段BQ的长不可以是3.2，故④不正确．故正确说法有：②③．故选：B．10．（2022•高邮市模拟）在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②y=kx(k≠0)；③y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：如图，当点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在同一直线上时，过点P1作P1A⊥x轴于点A，过点P2作P2B⊥x轴于点B，过点P3作P3C⊥x轴于点C．∵n+1=n+n+2∴AB＝BC，∵AP1∥BP2∥CP3，∴P1P2＝P2P3，∴y2=y∴2y2＝y1+y3，∴y3﹣y2＝y2﹣y1，∴一次函数不满足条件，对于反比例函数k＞0时，如图，观察图象可知，y2＜12（y1+y∴2y2＜y1+y3，∴y3﹣y2＞y2﹣y1，∴反比例函数不满足条件，对于抛物线a＜0，如图，观察图象可知，y2＞12（y1+y∴2y2＞y1+y3，∴y3﹣y2＜y2﹣y1，∴当a＜0时，二次函数满足条件．故选：B．11．（2022•淮阴区校级一模）已知关于x的一元二次方程为x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x2＝4．则关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为（）A．x＜﹣2或x＞4 B．﹣2＜x＜4 C．x＜﹣2 D．x＞4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的根为x1＝﹣2，x1＝4，∴不等式x2+px+q＞0可化为（x+2）（x﹣4）＞0．解得x＜﹣2或x＞4，∴关于x的一元二次不等式x2+px+q＞0的解集为x＜﹣2或x＞4．故选：A．12．（2022•虎丘区校级模拟）设M为抛物线y＝（x﹣1）2的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且MA⊥MB．连接点A、B，过M作MC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（）A．2 B．32 C．3 D．【解答】解：如图，以M为原点建立新坐标系．过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AD⊥x轴于点D，AH⊥BE于点H，交y′轴于点G，设AB交y′轴于点K．则抛物线在新坐标系下的解析式y′＝x2，顶点M（0，0）．设MD＝a，ME＝b，K（0，m），则AD＝a2，BE＝b2，∵KG∥BH，∴KGBH∴m-a∴m＝ab，∵AM⊥MB，∴∠AMB＝∠ADM＝∠BEM＝90°，∴∠AMD+∠BME＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，∴∠AMD＝∠MBE，∴△ADM∽△MEB，∴ADME∴a2∴ab＝1，∴m＝1，∴K（0，1），∴MK＝1，∵AC⊥AB，∴∠MCK＝90°，∴点C的运动轨迹是以MK为直径的圆，∴当点C在y′的右边侧，到y′轴的距离为12时，点C到y轴的距离最大，最大值为1+故选：B．二．填空题（共7小题）13．（2023•泗阳县一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后，所得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），∵将抛物线y＝x2﹣2x+3绕着顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化，∴所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1．故答案为：y＝﹣x2+2x+1．14．（2023•泗洪县一模）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A、B两点，点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线BP、AP分别交抛物线的对称轴于点M、N，CM+CN的值等于8．【解答】解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴C（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1，设P（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），设直线AP解析式为y＝dx+e，由题意得：d+e=0dt+e=解得d=t+3e=-t-3∴直线AP：y＝（t+3）x﹣t﹣3，当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6，∴CM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6．设直线BP解析式为y＝mx+n，∴-3m+n=0解得m=t-∴直线BP：y＝（t﹣1）x+3t﹣3．当x＝﹣1时，yN＝﹣﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2，∴CN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2，∴CM+CN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，∴CM+CN的值为8．故答案为：8．15．（2023•苏州模拟）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+a（a＜0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣10，则a的值为﹣1．【解答】解：y＝a（x﹣2）2+a（a＜0）的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，a），∵a＜0，∴函数有最大值a，∴在﹣1≤x≤4，当x＝﹣1时，函数有最小值，∴9a+a＝﹣10，解得a＝﹣1；故答案为：﹣1．16．（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），∴a＜0，设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2，只要a＜0取值即可；故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．17．（2023•靖江市校级模拟）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，﹣2），则代数式a+b的值为1．【解答】解：将（1，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣3得﹣2＝a+b﹣3，∴a+b＝1，故答案为：1．18．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为62米．（结果保留根号）【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：则抛物线顶点的坐标为（0，3），设抛物线的解析式为y＝ax2+3，将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，解得：a=-故抛物线的解析式为y=-13x将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3=-13x解得：x＝±32，所以水面宽度为62米，故答案为：62．19．（2023•沭阳县模拟）小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t﹣4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是514s【解答】解：∵h＝3.5t﹣4.9t2＝﹣4.9（t-514）2∴当t=514时，故他起跳后到重心最高时所用的时间是514s故答案为：514三．解答题（共8小题）20．（2023•涟水县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点D（1，4）在直线l：y=43x+t上，动点P（m，n）在（1）写出A点坐标（﹣1，0）；B点坐标（3，0）；C点坐标（0，3）；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由；（4）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝m（﹣x2+bx+c）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出m的取值范围m=54或m≤﹣1或m＞【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：（﹣1，0），（3，0），（0，3）；（2）延长MP交直线l与点H，将点D的坐标代入直线l的表达式得：4=43解得：t=8则直线l：y=43x∴H（m，43m+83）设直线l交x轴于点C，交y∴C（﹣2，0），L（0，83∴CL=10∴sin∠CLO=3由LO∥HM，∴∠NHM＝∠CLO，∴sin∠NHM=3∴PH=43m+83+m2﹣2m﹣3＝m∴PN=35∴PM+PN＝﹣m2+2m+3+35（m2-23m-13）=-2∵-25∴m＝2时，PM+PN的值最小，最小值为225（3）四边形AFBG的面积不变，理由：理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，∴E（1，﹣2m+6），∵E，G关于x轴对称，∴G（1，2m﹣6），∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），∴F（1，2m+2），∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，∴四边形AFBG的面积=12×AB×FG=12×∴四边形AFBG的面积是定值；（4）∵A（﹣1，0），B（3，0）；将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，∴M（0，5），N（4，5），而y＝m（﹣x2+bx+c）＝﹣m（x﹣1）2+4m，∴抛物线的顶点为（1，4m），当顶点在线段MN上时，抛物线与线段MN只有一个交点，则m=5当m＜0时，如图，当x＝4时，y＝﹣m（4﹣1）2+4m≥5，解得：m≤﹣1；当x＝0时，y＜5，解得：m＜5∴m≤﹣1；当m＞0时，如图所示，当x＝0时，y＝﹣m+4m＞5，解得：m＞5当x＝4时，y≤5，解得：x≥﹣1，∴m＞5综上所述：m=54或m≤﹣1或m故答案为：m=54或m≤﹣1或m21．（2023•徐州一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，①如图1，当CB平分∠ACP时，求点P的坐标；②如图2，连接PA交BC于E点，设S△CPE＝kS△CAE，求k的最大值．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-1解得b=2c=3∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，∵B（3，0），∴OB＝3，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，过点C作CD∥OB，过点P作PD⊥CD交于点D，连接PC，∴∠BCD＝45°，∵CB平分∠ACP，∴∠ACB＝∠PCB，∴∠ACO＝∠PCD，∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠ACO＝tan∠PCD=1设P（t，﹣t2+2t+3），则PD＝﹣t2+2t，CD＝t，∴13解得t＝0（舍）或t=5∴P点坐标为（53，32②如图2，过点P作PH⊥x轴交于点H，交直线BC于点M，过点A作AG⊥x轴交直线BC于点G，﹣∴PH∥AG，∴PEAE∵S△CPE＝kS△CAE，∴PE＝kAE，∴PMAG=设直线BC的解析式为y＝px+q，∴q=33p+q=0解得p=-∴y＝﹣x+3，设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，AG＝4，∴PMAG=∴k=-14（m-3∵0＜m＜3，∴当m=32时，k有最大值22．（2023•贾汪区一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴-1解得b=2c=3∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP的周长最小，理由如下：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B点关于直线x＝1对称，∴PA＝PB，∴△ACP的周长＝AC+AP+CP＝AC+PB+CP≥AC+BC，∴当B、C、P三点共线时，△ACP的周长有最小值，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴AC=10∴△ACP的周长的最小值为10+3设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴m=33k+m=0解得k=-∴y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）设M（x，﹣x2+2x+3），N（n，0），当AC为平行四边形的对角线时，∴-1=x+n解得x=0n=-1（舍）或x=2∴M（2，3）；当AM为平行四边形的对角线时，∴-1+x=n解得x=0n=-1（舍）或x=2∴M（2，3）；当AN为平行四边形的对角线时，∴-1+n=x解得x=1+7n=2+7∴M(1+7，-3)综上所述：M点横坐标为2或1+7或123．（2023•锡山区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP．①若△PBC是直角三角形，且∠PBC＝90°时，求P点坐标；②当∠PBA＝2∠CBD时，求P点坐标．【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝1，而OC＝3AO＝3，则CO＝3，即点C（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3，解得：b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，即点B（3，0），故OB＝OC＝3，则∠ABC＝45°＝∠OCB，∵∠PBC＝90°，则BP和x轴负半轴的夹角为45°，故直线PB的表达式为：y＝﹣（x﹣3），联立y＝x2﹣2x﹣3和y＝﹣（x﹣3）并解得：x＝﹣2，则点P（﹣2，5）；②由抛物线的表达式知，点D（1，﹣4），则CD=2，且CD和y轴负半轴的夹角为45而∠OCB＝45°，故CD⊥BC，延长DC到M使CM＝CD，连接BM，则△BMD为等腰三角形，则∠CBD＝∠CBM，则∠MBD＝2∠CBD＝∠PBA，过点D作DH⊥BM于点H，则S△BDM=12×MD×BC=1由点C、D、B的坐标得：MD＝2CD＝22，BC＝32，BD=20=即22×32=则HD=12则sin∠HBD=HD则tan∠HBD=34=tan故直线BP的表达式为：y=-34（x联立y＝x2﹣2x﹣3和上式并解得：x=即点P的坐标为：（-74，24．（2023•惠山区校级模拟）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，售价x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80销售量（件）100400﹣5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：1000x+30解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解；当x＝20时：x+30＝20+30＝50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）①设利润为w元，由表格得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，∵k＝100＞0，∴w随着x的增大而增大，∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣652）+1125，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝65时，利润最大为：1125元；综上：当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，由题意，得：50≤a＜200﹣a，解得：50≤a＜100，由①可知：由表格可知400﹣5x＝a，a＝80-1设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为y元，则y＝（80-15a﹣50）a+（m﹣20）（200﹣整理，得：y=-15a2+（35﹣m）a+200m对称轴为a＝125-52∵m＞30，∴125-52m＜对称轴在50≤a＜100的左侧，当a＝50时利润最大，∴当a＝50时，y有最大值，最大值为：y=-15×502×（50﹣m）×50+200m﹣4000＝150m﹣∴m＝32＞30．∴m的值为32．25．（2023•沛县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax经过点A（4，0）和B（1，m）点，其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A，B两点）．（1）求a、m的值．（2）连接AB、OB，若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，求点C的坐标．（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点E、F，试问EH+FH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4a，解得：a＝4，即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，即点B（1，3），即m＝3，故a＝4，m＝3；（2）延长AB交y轴于点N，过点C作CM∥AB交y轴于点M，设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则3=k+b0=4k+b解得：k=-1b=4，即点N（0，4），即ON∵△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，∴MN=12ON＝2，即点M（0，∵CM∥AB，故直线CM的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+4x＝﹣x+6，解得：x＝2或3，即点C（2，4）或（3，3）；（3）是定值，理由：设点C（t，﹣t2+4t），由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣t（x﹣4），当x＝2时，y＝2t，即点E（2，2t），则EH＝2t，由点C的坐标得，直线CO的表达式为：y＝（﹣t+4）x，当x＝2时，y＝（﹣t+4）x＝﹣2t+8，即点F（2，﹣2t+8），则FH＝﹣2t+8，则EH+FH＝2t﹣2t+8＝8，为定值．26．（2023•工业园区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在