2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题28 纵观全局含答案

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题28纵观全局——整体思想阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：整体观察整体设元整体代入整体求和整体求积注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．例题与求解【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是．解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．【例2】设是不全相等的任意数，若QUOTE，则（）A.都不小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至少有一个大于零解题思路：由于的任意性，若孤立地考虑，则很难把握的正负性，应该考虑整体求出的值．【例3】如果a满足等式QUOTE，试求QUOTE的值．解题思路：不能直接求出的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．【例4】已知QUOTE，代数式QUOTE，求当QUOTE时，代数式QUOTE的值．解题思路：的值无法求出，将给定的值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．【例5】已知实数满足方程组．求的值．QUOTE解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到QUOTE．【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．解题思路：解答此题的关键是根据题意得出QUOTE，这是本题的突破口．注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．能力训练1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是2．若a，b，c的值满足QUOTE，则QUOTE3．角中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算QUOTE的值时，全班得到23.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是4．如果，那么=5．已知都是正数，设，，那么与的大小关系是．6．若方程组有解，则7．若正数满足不等式，则的大小关系是（）A．B．C．D．8．若，则的值是（）A．B．C．D．9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是（）A．B．C．D．10．设，满足等式，则中至少有一个值（）A．B．C．D．11．12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．13．代数式中，可以分别取+1或-1．（1）证明代数式的值都是偶数．（2）求这个代数式所能取到的最大值．14．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1）大于9？（2）大于10？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．专题28纵观全局——整体思想例1380000提示：设a1，a2，a3，…，a999，al000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设他们的平均值是A，误输入计算机的数据为a'，由题意得例2D提示：x＋y＋z＝EQ\F(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]．例3EQ－\F(5,2)原式＝例4将x＝2，y＝－4代入ax3＋EQ\F(1,2)by＋5＝1997中，得8a－2b＋5＝1997．故4a－b＝996．当x＝－4，y＝－EQ\F(1,2)时，3ax－24by3＋4986＝3a·(－4)－24b·(－EQ\F(1,2))3＋4986＝－12a＋3b＋4986＝－3(4a－b)＋4986＝－3×996＋4986＝1998．例5②－①得b－a＝20;④－③得d－c＝80；⑥－⑤得f－e＝320．故，f－e＋d－c＋b－a＝320＋80＋20＝420．例6设满足已知条件填好的数依次为a1，a2，…，a10，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤M，a2＋a3＋a4＋a5＋a6≤M，…a10＋a1＋a2＋a3＋a4≤M．所以5（a1＋a2＋…＋a10）≤10M，即≤10M，解得M≥27．5．而M为整数，故M的最小值为28．将1，2，…，10分成如下的两组10，7，6，3，2，9，8，5，4，1．依次填入图中，【能力训练】1．3·571428＝4·4285712．－10提示：由题意有，即．则9a＋2b＋7c＝2(3a－2b＋c)＋3(a＋2b－3c)＝2×4＋3×（－6）＝－10．3．23.5°4．18x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝x2(x2＋2x)＋5x(x2＋2x)－2(x2＋2x)－9x＋15＝3x2＋15x－6－9x＋15＝3(x2＋2x)＋9＝3×3＋9＝18．5．＞提示：设x＝a1＋a2＋…＋a1990，y＝a2＋a3＋…＋a1990，求M－N．6．－1提示：将3个方程组相加得(a＋b＋1)(x2＋x＋l)＝0，而x2＋x＋1＝＞0，故a＋b＋1＝0．7．B8．B9．A10．A11．(1)原式＝＝＝(由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，a＋c＝－b，a＋b＝－c)＝－1＋(－1)＋(－1)＋3＝0(2)由得，即．同理，．三式相加得2()＝48，故＝24．则＝．12．设前、后两个二位数分别为m，n，则根据题意有：10m＋mn＝100m＋n，m＝，由m＞0，n＞0，得n－90＞0，又n是两位数，且个位数字为5，因此n＝95，从而知m＝19，故所求四位数为1995．13．(1)略．(2)在rvz，－rwy，－suz，swx，tuy，－tvx这六项相乘得，－＝－1，所以这六项中，至少有一项是－1，这样六项之和之多是5－1＝4．在u，x，y为－1，其他字母为1时，原式的最大值为4．14．（1）能．（2）不能．提示：设所填的6个数顺序为a，b，c，d，e，f，它们任意相邻三数和大于10，即a＋b＋c≥11，b＋c＋d≥11，c＋d＋e≥11，d＋e＋f≥11，e＋f＋a≥11，f＋a＋b≥11，则3（a＋b＋c＋d＋e＋f）≥66，故a＋b＋c＋d＋e＋f≥．而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，所以不能使每三个相邻的数之和都大于10．专题29归纳与猜想阅读与思考当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法.归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径：1．数与式的特征观察．2．几何图形的结构观察．3．通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明．【例1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是___________.(A)(B)(C)解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。【例2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n个正方形的面积是____．解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n＝1，2，3，4时的简单情形，进而作出猜想．【例3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．(1)“17”在射线____上．(2)请任意写出三条射线上数字的排列规律．(3)“2007”在哪条射线上？解题思路：观察发现每条射线上的数除以6的余数相同．【例4】观察按下列规则排成的一列数：EQ\F(1,1)，EQ\F(1,2)，EQ\F(2,1)，EQ\F(1,3)，EQ\F(2,2)，EQ\F(3,1)，EQ\F(1,4)，EQ\F(2,3)，EQ\F(3,2)，EQ\F(4,1)，EQ\F(1,5)，EQ\F(2,4)，EQ\F(3,3)，EQ\F(4,2)，EQ\F(5,1)，EQ\F(1,6)，…(※)(1)在(※)中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝EQ\F(2,2001)时，求m的值和这m个数的积．(2)在(※)中，未经约分且分母为2的数记为c．它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000?如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由．解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为2的数在每组中的位置，这是解本例的关键，【例5】在2,3两个数之间，第一次写上EQ\F(2＋3,1)＝5，第二次在2.5之间和5，3之间分别写上EQ\F(2＋5,2)＝\F(7,2)和EQ\F(5＋3,2)＝4，如图所示：第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的EQ\F(1,k)．(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和．(2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k＋1次操作后所有数的和记为Sk＋1，写出Sk＋1与Sk之间的关系式．(3)求S6的值．解题思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9个数，再把它们相加即可．(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数2和3之外，中间的n－2个数均重复计算了2次，用Sk表示出Sk＋1(3)根据(1)，(2)可算出S6的值．能力训练1．有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，则第100组的三个数之和为．（广东省广州市竞赛试题）2．如图有一长条型链子，其外形由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻，若链子上有35个黑色六边形，则此链子有________个白色六边形．3．按一定规律排列的一串数：EQ\F(1,1)．EQ－\F(1,3)，EQ\F(2,3)，EQ－\F(3,3)，EQ\F(1,5)，EQ－\F(2,5)，EQ\F(3,5)，EQ－\F(4,5)，EQ\F(5,5)，EQ－\F(1,7)，EQ\F(2,7)，EQ－\F(3,7)，…中，第98个数是__________.4．给出下列丽列数2，4，6，8，10,…，19946，13,20,27,34,…，1994则这两列数中，相同的数的个数是()．A．142B．143C．284如图，∠AOB＝45°，对OA上到点Ｏ的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线且与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，面积分别为S1，S2，S3，…，则S10＝.6．一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为4部分，设五条直线最多分平面为ｎ部分，则n等于()A．16B．18Ｃ．24D．317．观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律．那么2013这个数标在()．A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左下角D．第504个正方形的右下角8．自然数按下表的规律排列：(1)求上起第10行，左起第13列的数．(2)数127应在上起第几行，左起第几列．9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…问：这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由．11.下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：EQ\F(1,2)－(1＋\F(－1,2))；第2个数：；第3个数：；…第n个数：．那么，在第10个数，第11个数，第12个数，第13个数中，最大的数是哪一个？12.有依次排列的3个数：3，9，8．对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，－1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？专题29归纳与猜想例16提示：5的对面是2，4的对面是3，1的对面是6．例2提示：＝1，＝，＝，＝，进而推出＝．例3（1）OE（2）射线OA上数字的排列规律：6n－5（n为自然数，下同）；射线OB上数字的排列规律：6n－4；射线OC上数字的排列规律：6n－3；射线OD上数字的排列规律：6n－2；射线OE上数字的排列规律：6n－1；射线OF上数字的排列规律：6n．（3）在6条射线的数字规律中，只有6n－3＝2007有整数解，解围n＝335，故“2007”在射线OC上．例4（1）可分组为（），（，），（，，），（，，，），（，，，，）…，可知各组数的个数依次为1，2，3，…．当F（m）＝时，m＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，这2003003个数的积为．例5（1）第3次操作后所得到的9个数为：2，，，，5，3，4，，3．它们的和为2＋＋＋＋5＋3＋4＋＋3＝．（2）由条件知＝5，则＝＋＝＝－．（3）因＝．故＝－＝40；＝－＝55，＝－＝．【能力训练】1．10101002．142提示：若有n个黑色六边形，则白色六边形个数为4n＋2．故＝35时，4n＋2＝4×35＝142个．3．4．B5．76黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为2，上底分别对OA上的1，5，9，…，下底分别对应OA上的3，7，11，…．而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的．以上底为例，1＝1，5＝1＋4×1，9＝1＋4×2，