《线性代数及其应用》 课件 李庶民 第一章 线性方程组与矩阵

求解线性方程组例1解线性方程组对应的增广矩阵一、矩阵的初等变换交换方程组的第一个方程和第二个方程对应的增广矩阵正好是交换第一行和第二行1把方程组的第一个方程乘以-2加到第二个方程和第三个方程上对应的增广矩阵正好是把第一行的每个元素乘以

-2分别加到第二行、第三行对应位置的元素上2第二个方程乘以-1加到第三个方程上，第三个方程乘以-1对应的增广矩阵正好是把第二行的每个元素乘以-1加到第三行对应位置的元素上，第三行每个元素乘以-13第三个方程乘以2

加到第二个方程上，第二个方程乘以

4对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以2加到第二行对应位置的元素上，第二行每个元素乘以行阶梯形矩阵第三个方程乘以-1加到第一个方程上，第二个方程乘以1加到第一个方程上对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以-1，第二行的每个元素乘以

1，都加到第一行对应位置的元素上5最后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

行最简形矩阵由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，为此，我们引入如下定义：将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用

表示将矩阵第

行的

倍加到第

行.称为矩阵的初等行变换定义1下面三种矩阵的变换：交换矩阵的某两行，我们用表示交换矩阵的第，两行;矩阵的某一行乘以非零数,用

表示矩阵的第

行元素乘以非零数

；(1)(2)(3)将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“r”换成“c”，就得到了矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.在例1中，线性方程组(3)、(4)、(5)对应的增广矩阵有一个共同特点，就是：可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，

即这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵.对于最后一个矩阵，它的非零行的第一个非零元素全为

1，并且这些非零元素所在的列的其余元素全为零，这样的阶梯形矩阵，我们称为行最简形矩阵.

试用矩阵的初等行变换将矩阵

先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵.例3解行阶梯形矩阵行最简形对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵.

例如，将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换最后一个矩阵

称为矩阵

的标准形，写成分块矩阵的形式，则有二、线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组齐次线性方程组其中增广矩阵定理

设齐次线性方程组的系数矩阵为,则线性方程组有非零解的充分必要条件是例：求解齐次线性方程组解：对该线性方程组的系数矩阵进行初等行变换，由于，所以线性方程组有非零解.行最简型对应的方程组为令则原方程的解为：或定理

设

为非齐次线性方程组的系数矩阵，

表示其增广矩阵，则非齐次线性方程组有解的充分必要条件是时,方程组有无穷多解.且当时,方程有唯一解；解方程组例解对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，从而原方程组等价于令

，移项，得原方程组的解为：，其中

为任意常数由于，所以线性方程组有无穷多解.矩阵的乘法来源于线性变换及线性方程组的矩阵表示.以线性变换为例.设有两个线性变换将（2）式代入（1）式，得到到的线性变换线性变换(3)称为线性变换(1)与(2)的乘积，相应地把(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)对应的矩阵的乘积.即或（1）（2）（3）矩阵的乘法定义

设,规定矩阵A与B的乘矩阵积是一个,其中矩阵的第i行是由矩阵A的第i行元素第j列元素与矩阵B的第j列相应元素乘积之和,即并把此乘积记为

注：两个矩阵相乘时只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。20例1、设,求AB矩阵B为A为矩阵,A的列数等于B的行数所以矩阵A,B可以相乘,乘积AB是一个矩阵,由定义得21例2、设，则有22则有例3、设23上述例子表明:(1)矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，

(2),未必有尽管矩阵满足(3)矩阵乘法不满足消去律:时,未必有设有线性方程组称为该线性方程组的系数矩阵.矩阵令再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：例425矩阵乘法满足以下运算律：(3)分配律:(1)(2)结合律:特别简言之,n阶单位矩阵与任何n阶方阵都是可交换的.分别为m阶和n阶单位矩阵(4)A为矩阵，和则交换单位阵

的第

行和第

行，或交换第

列和第

列，得到的初等矩阵记为

.

即初等矩阵

对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的矩阵称为

阶初等矩阵。

由于初等变换有三种,对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三种：（1）（2）将单位阵

的第

行乘以

加到第

行（或将单位阵

的第

列乘以

加到第

列）得到的初等矩阵记为.即

用非零的数

乘单位阵

的第

行或第

列得到的初等矩阵记为

.

即（3）初等矩阵有下列基本性质:设

是一个

矩阵，对

施行一次初等行变换，相当于在

的左边乘以相应的

阶初等矩阵；对

施行一次初等列变换，相当于在

的右边乘以相应的

阶初等矩阵.定理：例而则即用左乘相当于交换矩阵的第1与第2行设有矩阵又即用右乘2加于第1列.相当于将矩阵的第3列乘逆矩阵的计算定理：以下命题相互等价：

(1)阶方阵可逆；

(2)方阵行等价于阶单位矩阵；

(3)方阵可表示为若干个初等矩阵的乘积.若可逆，则存在一系列初等矩阵使得两边右乘得第一个等式表明，对进行一系列初等行变换后可将其化为单位矩阵；第二个等式表明，对单位矩阵作同样的初等行变换后可将其化为，于是构造出利用初等行变换求逆矩阵的方法如下：(1)构造矩阵；(2)对矩阵实施初等行变换，将左半部分矩阵化为单位矩阵时，则右半部分矩阵就是.即初等行变换例1设

,证明可逆，并求

.

........................解:因为

,故可逆,且

.

利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵

.

即初等行变换例２已知矩阵方程，求矩阵

.

解：设

，由

,若

可逆，则

.所以......................利用逆矩阵还可以求得矩阵方程

和，若下面介绍用逆矩阵求解线性方程组的方法：设有线性方程组（1）矩阵

可逆，则有37记则方程组

可写成系数矩阵未知向量常数向量方程组

的解是方程组的解(2)构成的向量,又称解向量.(1)(2)(1)38是方程组的一个解.即当

可逆，用左乘式,可得

.

例3、解方程组的解.

解：39

可逆且于是即例4

将矩阵表示成有限个初等方阵的乘积.因此经次初等行变换：

解:化成3阶单位矩阵，它们所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得可作如下验证：线性代数第一节

线性方程组

第二节

矩阵与向量第三节

矩阵与向量的基本运算第四节

方阵的逆矩阵*第五节

分块矩阵第六节

应用实例第七节MATLAB实验一第一章

线性方程组与矩阵第一节

线性方程组

一、线性方程组的概念与实例线性方程组、齐次线性方程组、方程组的解、齐次线性方程组的平凡解二、高斯消元法和初等变换高斯消元法、线性方程组的初等变换

第二节

矩阵与向量一、矩阵与向量的实例和概念

矩阵的概念（元素、实矩阵、复矩阵、共轭矩阵、n阶方阵、行矩阵、列矩阵）向量的概念（行向量、列向量、向量的维数）线性方程组的增广矩阵、零矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵二、矩阵的初等变换行初等变换、列初等变换、矩阵的等价关系、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准矩阵

矩阵的秩、线性方程组解的情况（系数矩阵与增广矩阵秩的关系）第三节

矩阵与向量的基本运算一、矩阵与向量的线性运算二、矩阵的乘法矩阵的加法与运算律（交换律、结合律、零矩阵、矩阵的减法），矩阵的数乘运算与运算律，矩阵和向量的线性运算矩阵的乘法运算与运算律，矩阵的转置运算和性质，方阵的幂运算第四节

方阵的逆矩阵一、方阵的逆矩