高三数学开学摸底考01高三数学下学期开学摸底考试卷（全解全析）

2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.故选：B.2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率,则（

）A．12 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】焦点在x轴上的椭圆，可知，∵离心率是，，解得m=12．故选:A．3．已知等差数列的前项和为，若，则=（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】因为是等差数列，且，故可得：；又.故选：C.4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】作长方体，如下图所示：对于A，设，，平面，显然，但，故A错误；对于B，设，，平面，显然，但，故B错误；对于C，设，，平面，显然，但，故B错误；对于D，因为，所以，因为，所以，，因为，，所以，因为，所以.故D正确.故选：D.5．某人用字母v，r，y各1个和2个字母e拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对e，v，e，r，y5个字母排列也就是将e，v，e，r，y放入5个确定的位置，先从5个位置中选出2个位置放2个e，有种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有种方法，因此共有种方法，而写对的可能只有1种，所以他写错这个英语单词的情况有种，所以他写错这个英语单词的概率为.故选：A.6．在菱形中，，，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为因为，所以,即是的中点，所以所以，由题知.故故选：D7．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，得，则，即，整理得，且，那么，则.故选：C.8．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】设，，则，如图所示：由余弦定理得，即，所以，从而.因为，所以，整理得：，即，整理得，解得或（舍去），所以，，.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的最小正周期为，方程在的解为，则下列结论正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减 D．【答案】ABD【解析】由函数的最小正周期为，得，所以，故选项A正确；因为，得，所以函数的图象关于点对称，故选项B正确；由，得，所以函数在上先减后增，故选项C错误；当时，，依题意有，结合图象可知，，即，所以，故选项D正确.故选：ABD.10．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则的最小值是【答案】ABD【解析】设，对于选项A：，所以，所以，故选项A正确；对于选项B：，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，则，故选项C不正确；对于选项D：即表示点到点和到点的距离相等，所以复数对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，因为中点为，，所以的中垂线为，整理可得：，所以表示点到的距离，所以，故选项D正确，故选：ABD.11．已知定义域为的函数满足，且，，则（

）A． B．是偶函数C． D．【答案】BC【解析】，令，，则，故选项A错误；令，则，又，所以，令，则，所以函数关于对称，令，则，令，则，，又函数的定义域R，所以函数为偶函数，故选项B正确；令，则，又，，，所以，选项C正确；因为，所以，所以函数的一个周期为8，令，，则，所以，所以，所以，，，所以，，所以，故选项D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若集合，，，则的最小值为.【答案】6【解析】由，解得，所以，因为，，所以，所以的最小值为.13．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的表面积为.【答案】【解析】设两个半平面截球的两个截面圆的圆心分别为，连接，如图所示由球的截面圆性质及球的切线性质得，且，由题意可知，所以为二面角的平面角，即，因为，，，，所以，所以，同理：，故四边形为矩形，所以，得，则球的表面积.14．定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为．【答案】【解析】设，则由题意可得，因为，所以①当时，，只需考虑，所以，，所以，可得，当且仅当时取等号；②当时，，只需考虑，所以，可得，当且仅当时取等号.综上所述，的最小值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；【答案】（1）；（2）答案见解析；【解析】（1），∵曲线在处的切线与直线平行，∴，即，故；（2）函数的定义域为.当时，恒成立，故在上单调递增；当时，，令，得.∵，∴方程有两不等实根.∵，，∴.令，得或；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

方法二：（常规方法）：讨论的符号.当，即时，恒成立，则，在上递增；当，即或时，方程有两不等实根.（i）当时，由知，则恒成立，故在上递增；（ii）当时，由知，，得或；令，得.

故在、上递增，在上递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.16．（15分）一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．（1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；（2）求的分布列与数学期望．【答案】（1），事件“”与事件“”为互斥事件；（2）分布列见解析，【解析】（1）当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为时，，当取取值为1，2时，，当取取值为1时，，所以，当时，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；（2）的取值为，取值为，时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，取值为时，，所以的分布列为0123456所以．17．（15分）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析【解析】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系...设平面的法向量为，则由，取得.因为，所以解得.所以，且平面，所以平面（2）设平面的法向量为则由，解得.所以，解得.18．（17分）已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，与联立得，所以，，因为，解得，故抛物线的方程．（2）由，，得，设直线的方程为，即，则原点到直线的距离，得，，联立可得，即点，所以，则且，则，令，则，，则，综上，的取值范围为．19．（17分）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.（1）若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；（2）对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；（3）对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.（2）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在（为偶数，），使得，