2021新高考数学32 数形结合附参考答案2

方法技巧专题32.数形结合学生篇

一,教形结合知识框架

1.函数图象数形结合法：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，

因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：

①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需

要确定能否用函数图象解决问题；

②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；

③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；

④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论.

2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、

翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系.

【例1】设定义在R上的函数/(%)是最小正周期为2兀的偶函数，/'(x)是/(%)的导函数.当尤G［(),兀］

时，0勺'(x)Sl;当正①，兀)且%?与时，(X-?)/>'(x)>0.则函数y=/(x.)—sinx在［-3兀，3兀］上的零点个

数为()

A.4B.5C.6D.8

【例2】在R上定义的函数/(x)是偶函数,且“X)=/(2—x),若/(x)在区间［1,2］上是减函数,则/(%)

A.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数

B.在区间［-2-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C.在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D”在区间［-2,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是减函数

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数兀0是定义在R上的偶函数，且/(一.E-l)=Ax—l),当Xd[—l,O]时，处0=一尤3,则关

于X的方程段)=|COS71X|在[―|,上的所有实数解之和为()

A.—7B.16C.13D.一1

(2一x一l(xWO),

【练习2]已知函数f(x)=..若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a

lf(x—l)(x>0),

的取值范围为()

A.(一8,0]B.[0,1)C.(一8,1)D.[0,+8)

[-]几何意义数形结合法一线性规划问题

1.几何意义数形结合法：即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化

为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决

的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点：

①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义.

②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题.

③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.

2.解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式：一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有：

(1)比值——可考虑直线的斜率；

(2)二元一次式——可考虑直线的截距；

(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；

(4)根式——可考虑两点间的距离.

1.例题

【例1】如果实数x,y满足(x—2)2+/=3,贝吐的最大值为()

y-x<2

【例2】已知实数x,y满足不等式组卜+y24,若目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,

3x-y<5

3),则实数m的取值范围是()

A.m<-1B.0<m<lC.m>lD.m>l

2.巩固提升综合练习

x+y-3<0

x~y+l-0,贝吐一^的.取值范围是()

【练习1］设点P(X,y)满足■

x>ixy

”1

「3।、「33】「3J

A.2，+°01B.—2C.—2»1D.[—1,1]

内各有一个零点，则3的取值范围是

【练习2]若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1)和(1,2)

〃一1

J、，33、，15、,5、

A.（一,1）B.（一,一）C.,（一，—）D.（一,2）

442444

【三】圆锥曲线数形结合法

1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题

目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题.破解此类题的关键点：

①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；

②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥

曲线的位置关系等进行分析与求解；

③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论.

2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应

的信息进行研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：

①通过数形结合建立相应的关系式；

②通过代数形式转化为二元二次方程组的解，的问题进行讨论.

1.例题

【例1】已知点P在抛物线V=4x上，那么点尸到点。(2,—1)的距离与点尸到抛物线焦点的距离之和取

得最小值时，点尸的坐标为()

A.Q,T)B.Q,1)C.(1,2)D.(1,-2)

x2y2

【例2】设双曲线C：7一台=l(a>0,b>0)的左、右顶点分别为4,A2,左、右焦点分别为凡，F2,以F1F2

为直径的.圆与双曲线左支的一个交点为P.若以4A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为

（）

A.巾B3C,2D.4

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知抛物线的方程为f=8y,尸是其焦点，点4—2,4),在此抛物线上求一点尸，使△?!产尸的周

长最小，此时点尸的坐标为.

【练习2】如图，点F是抛物线Ox?=4y的焦点，点4B分别在抛物线C和圆式2=4的实线部分

上运动，且AB总是平行于y轴，则4AFB周长的取值范围是（)

A.(3,6)B.(4,6)C-(4,8)D(6,8)

【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用

讨论方程的解（或函数零点）的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个

数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.

1.例题

1

【例1】函数/（x）=2x一1的零点个数为（）

A.OB.lC.2D.3

【例2】方程Igx=sinx的实根的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.巩固提升综合练习

1x1

【练习1】若关于X的方程j±=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为.

【练习2］已知函数/（X）<4+1'蟀1'则方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是

Jnx,x>l,

【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用

构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围

或解不等式.

1.例题

（2~xx<o,

［例1］设函数/（x）='f、一'则满足/（x+l）</（2x）的x的取值范围是（）

［1,x>0,

A.(—8,—1]B.(0,+°0)C.(-l,0)D.(一叼0)

1

【例2】若不等式|x—2o|马x+a—1对x£R恒成立，则实数。的取值范围是.

2.巩固提升综合练习

【练习1】设4={%，y)|x2+(y—1)2=1},B={(x,y)\x+y+m>0},则使AUB成立的实数m的取值范围是

—x2~J-2axx>1

【练习2】已知函数f(x)=20—一’若存在两个不相等的实数如X2,使得他尸面，则实数a

的取值范围为.

【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用

在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几

何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：

①比值——可考虑直线的斜率；

②二元一次式——可考虑直线的截距；

③根式分式——可考虑点到直线的距离；

④根式——可考虑两点间的距离.

1.例题

【例1】已知实数x、y满足x?+y2=3(^>0),求(1)m-+,(2)b=2x+y的取值范围。

x+3

【例2】已知圆C：（x—3）2+（y—4产=1和两点0）,B（m,0Mm>0）.若圆C上存在点P,使得44P8=

900,则m的最大值为（）

A.7B.6C.5D.4

2.巩固提升综合练习

【练习1】过直线y=x上一点尸引圆好+/一6x+7=0的切线，则切线长的最小值为（）

V23后巫

A.D.72

2F

【练习2］已知P是直线/：3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆*2+必一2*—29+1=0的两条切线，A,

B是切点，C是圆心，则四边形力CB面积的最小值为.

三、课后自我检测

1.若方程lnx-6+2x=0的解为/,则不等式x<x0，的最大整数解是

A.1B.2C.3D.4

2.已知1如果方程ax=logbX,bx=logx,bx=logbX的根分别为xi,x,x则Xi,x,X3的大小关系

ba23,2

为()

A.X3<X1<X2B.X3<X2<X1C.Xi<X3<X2D.Xi<X2r<X3

h-2

3.若方程x?+ax+2b=0的一个根在（0,1）内，另一个根在（1,2）内，则——的取值范围是.

a-1一

4.已知圆M过两点C（L-1）,D（-1,1）且圆心M在直线x+y-2=0上,，设P是直线3x+4y+8=0上的

动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B是切点，则四边形PAMB面积的最小，值为L

2

5.已知圆G：(x-2)、(y-3)=1,圆C2：(x-3)+(y-4)z=9,M,N分别是圆G,C?上的动点,P为

X轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5A/2-4B.717-1C.6-272D.V17

6.当满足条件忖+时，变量M=」行的取值范”围是()

r—I「1I「11］「1「

A.I-3,31，B.---,—C.---,—D.---,一

L」L33JL23jL32j

92

7.已知41,1)为椭圆5+方=1内一点，Q为椭圆的左焦点，尸为椭圆上一动点，求IPF1I+解I的最大值和最

小值.

72

8.椭圆方+：=1的左焦点为R直线x=根与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时，△-WN的面

积是()

A坐B.毕C.甲D,嗜

9.Vxe(0,；),8x<log〃x+1恒成立，则实数。的取值范围是.

10.已知关于%的不等式5>ax+］的解集为{R4V%V/?},则ab=.

1L已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当1>0时，/(—%)+/(X+3)=0；当xe(0,3)时，

/?1nV

/(x)=一其中e是自然对数的底数，且e^2.72,则方程6/(x)—x=0在［—9,9］上的解的个数为

x

A.4B.5C.6D.7

12.已知偶函数/(x)满足=京，且当xe［-l,0］时,

〃x)=x2,若在区间［-1,3］内，函数

8(力=〃尤)-108."+2)有3个零点，则实数〃的取值范围是

13.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，.且/(—x—l)=/(x—1),当x£［—1,0］时，/(x)=—x3,则关于x

-51"

的方程/(x)=IcosM在［―9句上的所有实数解之和为.

解析附后

方法技巧专题32数形结合解析篇

一、数形结合知识框架

函数图像结合法

数形结合思想与方法胃胃得am线相关数形结合

..♦♦求♦■■■■,河中的■用

数形结合思想的应用.际等式、求参数问题中的应用■

口也画力....：

二、数形结合思想应用类型

1.函数图象数形结合法：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终,

因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：

①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需

要确定能否用函数图象解决问题；

②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；

③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；

④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论.

2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移（上下左右平移）、

翻折（关于特殊直线翻折）、对称（中心对称和轴对称）等基本转化法与函数解析式的关系.

1.例题

【例1】设定义在R上的函数/（%）是最小正周期为2兀的偶函数，/"（x）是/（x）的导函数.当无口0,兀］

时，。文…当日。，兀）且始时，（一）八x）＞0.则函数尸危三”在L3加，3元］上的零点个

数为（）

A.4B.5C.6D.8

【解析】,・•当x£［0,兀］时，0》＞）口，人工）是最小正周期为2兀的偶函数，，当x£［—3兀，3兀］时，0勺5）01.

。・,当尤£（0,兀）且石鄂t,Q—9/（x）＞0,・,•当工£0,女时，益）为单调减函数；

当可7T时，段）为单调增函数，

•.•当尤G［0,用时，0＜/（x）＜l,

定义在R上的函数1龙）是最小正周期为2兀的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=/（x）的草图如图，

由图知y=/(x)—sinx在［―3n,3兀］上的零点个数为6,故选C.

【例2】在R上定义的函数/(%)是偶函数,且/(X)=/(2-x),若f{x}在区间［1,2］上是减函数,则/(%)

A.在区间［—2,—1］上是增函数,在区间［3,4］上是增函数

B.在区间［—2,-1］上是增函数,在区间［3,4］上是减函数

C.在区间［—2,—1］上是减函数,在区间［3,4］上是增函数

D.在区间［—2,-1］上是减函数,在区间［3,4］上是减函数

【解析】f(x)=f(—x)=f2-x),故f(x).的草图如图:

Ay

>X

-2024

由图可知，B正确。

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知函数次元)是定义在R上的偶函数，且八一龙-1)=八无-1),当尤时，40=一炉，则关

于尤的方程段)=|cos网在［一|,当上的所有实数解之和为()

A.一7B.16C.一3D.11

答案A

【解析】因为函数1x)为偶函数，所以八一x—l)=/(x+D=加一D，所以函数1x)的周期为2,如图，在同

一平面直角坐标系内作出函数y=«r)与j=|cos口|的图象，

由图得Xl+X2=—4,尤3+x5=—2,X4=—l,沏+为=。，所以方程於)=1COS7ix|在[一|,/上的所有实数解

的和为一4一2—1+0=—7,故选A.

(2一x一l(xWO),

【练习2】己知函数f(x)=.八若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a

lf(x—l)(x>0),

的取值范围为()

A.(—8,0]B.[0,1)C.(—8,1)D.[0,+8)

答案C

[2—x-l(xWO),

【解析】函数f(x)={的图象如图所示，当a<l时，函数y=f(x)的图象与函数y=x+a的

Lf(x—l)(x>0)

图象有两个交点，即方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根.

【二】几何意义数形结合法一线性规划问题

1.几何意义数形结合法：即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化

为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的.此方法适用于难以直接解决

的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题.破解此类题的关键点：

①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义.

②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题.

③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论.

2.解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式：一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有：

(1)比值---可考虑直线的斜率；

(2)二元一次式——可考虑直线的截距；

(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；

(4)根式---可考虑两点间的距离.

1.例题

【例1】如果实数x,y满足(无一2>+产=3,则:的最大值为()

A<B坐C坐D.^3

【解析】方程(x—2>+y2=3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0),半径为r=,(如图),

v—0

=U3则表示圆M上的点4尤，y）与坐标原点0（。，0）的连线的斜率.

所以该问题可转化为动点A在以颇2,0）为圆心，.以小为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值.

由图可知当4M在第一象限，且直线。4与圆“相切时，OA的斜率最大，

此时0M=2,AM=yj3,OA±AM,则OA=7=],tanZAOM=^=y[3,

故学勺最大值为小，故选D.

答案D

y-x<2

【例2】已知实数x,y满足不等式组,若目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解（1,

3x-y<5

3）,则实数m的取值范围是（）

A.m<-1B.0<m<lC.m>lD.m>l

【答案】C

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，

由z=y-m,得产5+z,即直线的截距最大，z也最大

当机=0,此时y=z,不滴足条件；

当机>0,直线产mx+z的斜率攵=m>0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1,3）,

则直线y=mx+z的斜率m>l

当机<0,目标函数y二3+z的斜率k=m<0,不满足题意.

综上，m>l.故选：C.:

2.巩固提升综合练习

x+y-3<0

x-y+l>0

【练习1】设点P(x,y)满足＜贝叶一；的取值范围是(

x>l)

A.[|,+833一「31

B.T2C.—1D.[-1,1]

答案B

y+y-3<0,

x-y-\-1>0,

【解析】作出不等式组＜所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,l),

X>1,

8(1,2),令八。=/一;，根据t的几何意义可知，/为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接04

OB,显然OA的斜率T最小，。8的斜率2最大，即上江2.由于函数式。=/一;在2］上单调递增，故一,

力昌,即的取值范围是［一|，|.

【练习2]若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1)和(1,2)内各有一个零点，，则"+'—3的取值范围

(7—1

是

,33、,5、

A.B.(一，一)C.,(一,D.(一,2)

4244

【答案】D

【解析】•..函数f(x)=x?+ax+2b在区间(0,1)和(1,2)内各有一个零点,

/(0)=2b>Q必〉0

/⑴=l+a+26<0,求得<1+a+2b<0,

/(2)=4+2<7+2Z?>02+a+b>0

它所表示的区域为AABC内的部分,

其中，A(一，0),B(-2,0)、C(-3,1).

ha+b—3a-l+b-2,6—2

而-----「=-----;——=1+——r,

a-1a-1a-1

表示可行域内的点M(a,b)与点N(1,2)连线的斜率加上1,

2-02-11

由于NA的斜率为二二=1,NC的斜率为j=

1+11+34

故a空+b-一?>的取­值范围是(V，2),故选：D.

ZV«—IA

【三】圆锥曲线数形结合法

1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题

目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题.破解此类题的关键点：

①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；

②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥

曲线的位置关系等进行分析与求解；

③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论.

2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应

的信息进行研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：

①通过数形结合建立相应的关系式；

②通过代数形式转化为二元二次方程组的解，的问题进行讨论.

1.例题

【例1】已知点P在抛物线V=4x上，那么点尸到点Q(2,—1)的距离与点尸到抛物线焦点的距离之和取

得最小值时，点尸的坐标为()

A.&-1)B©1)C.(1,2)D.(1,-2)

【解析】点尸到抛物线焦点的距离等于点尸到抛物线准线.的距离，如图所示，设焦点为R过点尸作准线

的垂线，垂足为S,则|Pn+|PQ|=|PS|+|PQ|,故当S,P,。三点共线时取得最小值，止匕时P,。的纵坐标

都是一1,设点尸的横坐标为xo,代入V=4x得刈=/

故点尸的坐标为Q，—1),故选A.

答案A

【例2】设双曲线C：a一£=1(。>。，10)的左、右顶点分别为4,4，左、右焦点分别为&，F2,以「而

为直径的.圆与双曲线左支的一个交点为P.若以4A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为

()

A.小B.小C.2D.4

答案D

【解析】如图所示，设以4A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连接。Q,

则OQ_LPR.又PFi.LPF2,。为FIF2的中点,

所以|PFi|=2|OQ|=2a.

又|PE|一|P&|=2a,所以|PF2|=4a.

在RtAFiPFz中，由|PFI|2+|PF2|2=|FIF2|2,4a2+16a2=20a2=4c2,即e=：=*.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知抛物线的方程为d=8y,尸是其焦点，点A(—2,4),在此抛物线上求一点尸，使△APE的周

长最小，此时点尸的坐标为.

答案(-2,£)

【解析】因为(-2)2<8X4,

所以点A(—2,4)在抛物线f=8y的内部，如图所示，设抛物线的准线为/,

过点P作尸0，/于点。，过点A作于点2,连接A0,由抛物线的定义可知，ZVIP尸的周长为|尸尸|

+|B4|+\AF\=\PQ\+|B4|+\AF]>\AQ\+|AF|>|AB|+\AF\,当且仅当P,B,A三点共线时，ZvlPF的周长取得

最小值，即+

因为A(—2,4),所以不妨设的周长最小时，点P的坐标为(一2,州)，代入/=8»得加=提

故使△?!产尸的周长最小的点P的坐标为（一2,2.

【练习2】如图，点F是抛物线C：%2=4y的焦点，点48分别在抛物线C和圆久2+0，-1）2=4的实线部分

上运动，且AB总是平行于y轴，贝以AFB周长的取值范围是（.）

B.(3,6)(4.6),(4,8)D(6,8)

【答案】B

【解析】抛物线f=4y的焦点为（0,1）,准线方程为尸-1,

圆（y-l）?+*=4的圆心为（0,1）,与抛物线的焦点重合，且半径r=2,

.•.|冲|=2,||=%+1,|/6|=%-%，

二.三角形/郎的周长=2+%+1+为-%=加3,

,门＜为V3,・••三角形/鳍的周长的取值范围是（4,6）.

【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用

讨论方程的解（或函数零点）的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个

数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.

1.例题

1

【例1】函数/（x）=2x—I的零点个数为（）

A.OB.lC.2D.3

答案B

1

【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数9=2x和力=1的图象，如图所示.

y

1,,1

函数/(x)=2，一1的零点个数等价于2*=1的根的个数，

1

等价于函数%=2、和丫2=1图象的交点个数.

由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.

【例2】方程Igx=sinx的实根的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】画出y=Igx和y=sinx在同一坐标系中的图象，如图所示,

yf

两函数图象有3个交点，选C.

2.巩固提升综合练习

x

【练习1】若关于x的方程合=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为

XI4

答案+8

解析x=0是方程的一个实数解;

当"0时，方程出=正

可化为：=(x+4)国，醉0,

设<x)=(x+4)|x|('-4且熄))，v=p

则两函数图象有三个非零交点.

"+4X,*0,的大致图象如图所示,

^x)=(x+4)|x|=

I-X2-4x,x<0,xx-4

11

由图可得0<^<4,解得k>7

所以k的取值范围为0，+8).

【练习2】已知函数X"K则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是

Jnx,x>l,

答案［丁ej

【解析】画出函数/(x)的图象如图所示，由图可知，要使直线y=ax与函数/(x)有两个交点，当y=ax与y

x11

=^+1平行时，显然有两个交点，此时0=］当。>疝时，只需求出当直线y=ox和曲线y=lnx相切时的斜

ri1A

率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数。的取值范围是不

【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用

构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围

或解不等式.

1.例题

(2~x,x<o,

【例1】设函数/(x)=''则满足f(x+l)</(2x)的x的取值范围是()

11,x>0,

A.(-8,-1]B.(0,+8)C.(-l,0)D.(—8,0)

答案D

解析方法一①当]蓝。’即eg

市+D<A2x)即为2丁-1><2。，即一(x+l)<—匕，解得X<1.

因此不等式的解集为(-8,-1].

②当'：K°'时，不等式组无解•

lzx>0

③当、c即一1<在0时，危+D</(2x)即1<2-»,解得x<0.

因此不等式的解集为(-1,0).

fx+l>0,

④当即x>0时，f(x+l)=l,/(2x)=l,不合题意.

[2x>0,

综上，不等式/(x+l)</(2x)的解集为(一8,0).

故选D.

\2X,x<0,

方法二V/(x)=

[1,x>0,

函数/(x)的图象如图所示.

由图可知，当x+140且2x40时，函数/(X)为减函数，故/(x+l)</(2x)转化为x+l>2x.

此时x4—1.

当2x<0且x+l>0时，/(2x)>l,/(x+l)=l,满足/(x+l)</(2x).

此时一l<x<0.

综上，不等式/(x+l)</(2x)的解集为(-8,-1]U(-1,0)=(-8,0).故选D,.

1

【例2】若不等式|x—2a|2/+a—1对xdR恒成立，则实数a的取值范围是..

答案(一0°，2

解析作出力=|x—2a|和y2=|x+。-1的简图，如图所示.

依题意时a2a-<2]<—。2，a,故哼i

2.巩固提升综合练习

【练习1】设人={8y)|x2+(y—,1)2=1},B={(x,y)\x+y+m>0],则使成立的实数m的取值范围是

答案+°0)

【解析】集合A是圆x2+(y—1产=1上的点的集合，集合8是不等式x+y+m20表示的平面区域内的点的

集合，要使AUB.,则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x+y+m=O应与圆相切或相离(在圆的左下

方)，而当直线与圆相切时，有也百以=1，又m>0,所以m=巾一1,故m的取值范围是[地-1,+«>).

—x2+2ax,x>l,

【练习2]已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数X1，X2,使得/(X1)=/(X2),则实数a

2ax~l,x<l,

的取值范围为.

答案［0,+8)

解析根据题意知/(X)是一个分段函数，当X”时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x=a；当

x<L时，是一个一次函数.当a>l时，如图(1)所示，符合题意；当04於1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0

时，如图⑶所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得。20.

【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用

在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几

何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：

①比值——可考虑直线的斜率；

②二元一次式——可考虑直线的截距；

③根式分式——可考虑点到直线的距离；

④根式——可考虑两点间的距离.

1.例题

【例1】已知实数x、y满足/十/=3(y>0),求(1)m-+,(2)b=2x+y的取值范围。

x+3

【解析】(1)将m看作半圆(+/=3(y20)上的点M(x,y)和定点A(—3,—1)的直线的斜率。

由图1可知，kx<m<k2(k］、k2分别表示直线AM1、AM2的斜率),

1

且目/3-C

直线AMz的方程是&X—V+3左2T=0，有半皂!=也,b=3+回。

收+16

3+V21

所以,

66

(2)将b看作斜率为一2,过半圆一+/=3(y>0)上的点P(x,y)的直线在y轴上的截距。

由图2可知，nx<m<n2(m、山分别表示直线BPi、CP2的截距)。

直线BPi的方程是>=—2(》+有)，贝ijm=-20

Id

设直线BP2的方程是2x+y+c=0,有A/3,C-J15,%=J15o

所以，一26<。<后。

【例2】已知圆C：(x—3产+仅一4产=1和两点A(—m.,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得/APB

=90。，则m的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

答案B

【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且M8|=2m,因为N

1

APB=90\连接OP,可知|OP|=5M8|=m.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点。的最大距离.因为|0C|=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m

的最大值为6.

2.巩固提升综合练习

【练习1】过直线y=x上一点P引圆/+/—6x+7=0的切线，则切线长的最小值为()

3后屈D.72

【答案】A

【解析】圆的方程化为标准方程得(x-3)-y-2,所以圆心A(3,0),半径为2,要使切线长的最小，则

必须点A到直线的距离最小.过圆心A作AC1直线产X,垂足为C,

过C作圆A的切线，切点为B,连接AB,所以ABJ_BC,此时的切线长CB最矩.\・圆心A到直线产x

的距离心悬考,根据勾股定理得四序而=乎,故选U

【练习2］已知P是直线/：3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆*2+必一2*—29+1=0的两条切线，A,

B是切点，C是圆心，则四边形力CB面积的最小值为.

答案2也

【解析】连接PC,由题意知圆的圆心C(l,1),半径为1,

从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时，

11

RtARAC的面积SAPAC=3%11AC|=]|%|越来越大,

从而S四边形PACB也越来越大;

当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，5四边形PACB变小,

显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线/时，5四边形PACB有唯一的最小值,

此时IPCI=受余篁户=3,从而|%|=4附|2一|江|2=25,

所以（S四边形以CB）min=2^x\PA\x\AC\=2^2.

、课后自我检测

1.若方程lnx-6+2x=0的解为与，则不等式x<x0，的最大整数解是

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】：方程lnx-6_2x=O,

二方程lnx=6-2x.分别画出两个函数y=6-2x,y=lnx的图象：

由图知两函数图象交点的横坐标即方程lnx-6-2x=0的解xoE（2,3）.

...不等式蟀xo的最大整数解是2

故答案为2,所以选择Bo

x

2.已知如果方程a'=logbX,b=logax,b'=logbX的根分别为xi，x2,x3,则x>x2,X3的大小关系

b

为（）

A.X3<XI<X2B.X3<X2<X1C.XI〈X3VX?D.XI〈X2VX3

【答案】C

【解析】:a=；>1»0<b<l,作出y-a-y-bSy-logix,、・1。即乂的函数图象,

b

h-2

3.若方程x?+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则---的取值范围是

CL—1

【答案】(L,1);设

4

./(0)=2b>0

【解析】设/(%)=/+奴+26,据题意|f(l)=l+a+2b<0,

/(2)=4+2a+26〉0

作出满足以上不等式组的可行域如图阴影部分所示(不含边界)

其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),

h-2

设点E(a,b)为区域内的任意一点，则卜=----，表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的.斜率.

(2—1

2-112-01

=

KAD=----=—,kcn=----1)结合图形可知：KAD<k<KcD,，k的取值氾围是(一，1)

1+341+14

4.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1)且圆心M在直线x+y-2=0上.，设P是直线3x+4y+8=0上的

动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B是切点，则四边形PAMB面积的最小，值为

【答案】2灰；

(l-a)2+(-l-b)2=r2

222

【解析】设圆M的方程为：(x-a)+(y-b)