分类讨论思想在解题中的运用

分类号论文编号本科生毕业论文分类讨论思想在解题中的运用姓名：院系：数学科学学院年级专业：数学与应用数学指导教师：年月目录摘要 IAbstract II第一章 绪论 1第二章对条件是分类给出的问题进行讨论 11.1运用在指数函数及对数函数的单调性的讨论及定义域的判断 11.1.1指数函数及对数函数单调性的讨论 21.2集合与不等式及函数的问题 3第三章对问题的变量及参数进行分类讨论 42.1几种常见变量及参数的问题 42.1.1级数的敛散性、函数的极值最值、参数方程所表示的曲线 5第四章对图形的位置不确定进行分类讨论 73.1运用分类思想证明几何题 73.2运用在函数与函数之间是否存在有解 10第五章结论 11参考文献 12致谢 13摘要分类讨论思想是数学重要的思想方法和解题策略、也是教学的重点和难点.在求解数学问题时、采用分类讨论思想、可以有效地将数学问题解决.分类讨论思想在解题过程中会出现多种情形、将这些情形进行综合、进行归纳、最终使得整个问题得以解决.关键词：分类讨论思想采用数学问题AbstractClassificationdiscussionthoughtisanimportantwayofthinking,andmathematicsproblem-solvingstrategies,teachingimportantanddifficult.Insolvingmathematicalproblems,theideaofclassificationdiscussion,caneffectivelytomathematicalproblemsolving.Discussideasintheproblemsolvingprocesswillappearavarietyofsituations,thesecircumstancesmakeacomprehensive,summarized,finallymadetosolvetheproblem.Keywords:Classificationdiscussideasusingmathematicalproblems兴义民族师范学院本科毕业论文绪论分类讨论数学思想是一种重要的解题策略，对于培养学生的思维的严密性，严谨性和灵活性及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助.分类讨论数学思想是中学数学的重要的思想，它在中学占有重要的位置，也是近几年中考、高考考查的重点、也是考查的热点问题之一.参数问题广泛地存在于中学数学的各类问题中，含参数的问题可分为四种类型：首先，对数学问题的变量或参数进行分类讨论（数学问题中含有参数，这些参数不同，讨论的结果也随之不同，因此要对参数进行讨论）.其次，对条件是分类给出的问题进行讨论.例如有些概念、定理、公式、法则本身就包含了分类.如绝对值、直线的斜率、等比数列的求和公式等等.求解时，需要突破这些条件进行讨论、这些范围或条件为分类提供了理论依据.再次对求解过程不便统一表述的问题进行分类讨论.（在求解过程中，由于题目的限制，统一起来表达不方便，必须进行分类讨论）.最后，关于图行的位置、类型的分类的问题.有关几何问题中，由于图行的位置，形状的不确定，需要进行分类.通过对以上四种类型题目进行分类讨论，我想学生在中考、高考中，遇到这样的题目就是小菜一碟.总之，在各个教学模块中逐步渗透用分类讨论数学思想去解决问题.分类讨论思想覆盖的知识点较多，有利于考查学生的知识面，分类思想方式多种多样，具有较高的逻辑性和较强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到确定对象的全体、明确分类的标准、分类不重复、分类不遗漏地分析讨论、分级进行阶段性结果，最后进行归纳，综合得出结论.第二章对条件是分类给出的问题进行讨论1.1运用在指数函数及对数函数的单调性的讨论及定义域的判断对数函数及指数函数是高考的热点、也是高考的难点.其主要考其的定义域及单调性.这里就要讨论底数的问题啦.在书本上指数函数和对数函数看上去简单、其简单的原因是指数函数与对数函数作为一个独立部分.然而在高考，并没有这么简单、其经常和其它函数复合来一起来考，这样不仅要考虑指数函数及对数函数自身限制条件，还要顾及其它函数自身限制条件，特别是这些函数含有参数的话，其难度系数就上升了，我们要对参数进行讨论，讨论时要做到在同一讨论中只能按所确定的一个标准进行,分类既不重复，也不遗漏.1.1.1指数函数及对数函数单调性的讨论解析：这是一道比较典型指数函数分类讨论思想的题目，底数含有参数，指数部分又是二次根号，要讨论指数函数，就要分底数大于1与底数大于零且小于1这两种情况，指数部分是二次根号，显然根号里面的数要大于等于立零，有根据指数函数的定义可知，指数不等于1（如果等于1，这个函数就没有讨论的必要了），所以还要讨论指数部分大于零且小于1以及指数部分大于1.解：根据指数函数的定义：此题比较接近指数函数的定义，如果把底数换成一个代数式的话，那题目的难度又上升一个档次，这就要把这个代数式看成一个整体，即是化整为零，积零为整，再用上述方法进行分类讨论，进行归纳总结，最后的出结论.对数函数与指数函数互为反函数,它们在某些方面既有联系也有区别，比如，指数函数恒过点而对数函数恒过.它们的联系是指数函数的定义域是对数函数的值域，对数函数的定义域是指数函数的值域.然而要讨论对数函数的单调性，则要看对数函数的底数的两种情况，即底数大于零且小于1或者是底数大于1这两种情况.例如求对数函数的单调区间解析：1.2集合与不等式及函数的问题在中学阶段，集合是一些元素组成的的总体叫做集合，然而在近世代数里，集合不再是简单的元素了，它们可以是我们日常生活中的具体的实物，但是在这里，我们只讨论的是元素；不等式可以分为绝对值不等式和分式不等式，其中在不等式中含有参数或者是绝对值的话，我们要对参数及绝对值做讨论；函数是不等式进一步的升华，其原因是吧不等式的大于或小于改成等于并添加一个因变量，其的讨论和不等式的思想差不多，在这里不再著述了..1.2.1集合与不等式之间的解集例如；已知集合，求分别满足下列条件的的取值范围：集合是集合的真子集集合与集合的交集是空集解：因为=恒成立所以=；即是=若m，则又因为集合是集合的真子集，所以解得所以若，则集合是空集，满足集合是集合的真子集所以，则，要使集合与集合的交集是空集，则只需要或者，解得这与相矛盾.若，则集合是空集，满足集合与集合的交集是空集所以总结对于此题，我们必须对讨论，比且还要考虑集合是空集的时候，不然会出现分类遗漏.例如:,求满足的值组成的集合.解：由集合，又因为所以，即可能是若，则，即，所以；若，则，解得；若，则，方程组无解.若，则，解得综上所述：实数的取值集合.总结，在遇到求子集，真子集的个数，或两个集合之间的关系问题时，一定要优先考虑空集以免分类遗漏而导致错误.第三章对问题的变量及参数进行分类讨论2.1几种常见变量及参数的问题变量及参数问题广泛存在数学中，它们以各种各样的方式出现，其难易程度有各自的侧重点，但不管怎么样，它们大多数都以函数的方式出现.例如，级数的敛散性、求含有参数极值、最值得问题以及讨论含有参数方程所表示的曲线，像这样的问题，它们会随变量或者参数取值的大小不同，它们的结果随之而改变，所以我们在做这些题目时，一定要注意分类的合理性、科学性、、明确分类的标准、分级进行分类、最后进行归纳，综合得出结论.2.1.1级数的敛散性、函数的极值最值、参数方程所表示的曲线（款的标题）级数是指给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式叫做常数项无穷级数或数项级数，也简称级数，其中称为数项级数的通项或一般项.数项级数的前和，记为=.然而极值、最值问题，要涉及导数，在求极值、最值，导数是有效的工具，但也有其它的办法来求，那就要看针对什么样的题目了，比如，在求二次函数的最值时，有些题目可以用均值不等式来做等等.我们也可以根据二次函数的性质来求.参数所表示的曲线，那就看参数取值的范围了，这里就不再论述了.下面会以例题来讲解.2.1.1.1级数的敛散性（项的标题）若数项级数的部分和数列收敛于则称数项级数收敛，称是为数项级数的和.记作=，若数项级数发散的，则称数项级数发散.在这里顺便提一下几个级数；等比级数、调和级数（是发散的）.例题，讨论几何级数的敛散性（其中）解：当时，级数的第个部分和，因此，当时，，此时级数收敛，其和为当时，，所以级数发散时，级数发散.综上所述，当时，，此时级数收敛当时，此时级数收敛2.1.1.2函数的极值、最值函数的极值、最值是高考的热点，也是难点，高考一般把这一题放在最后，我们一般把这一题叫做压轴题，此题很少有同学得满分，因为此题考的知识面很广，涉及的知识点有多.下面来看一个例题例题，已知求的单调区间；若在上递增函数，求的取值范围.分析：要求函数的单调区间，我们第一要想到是，确定函数的定义域，马上进行求导，找出极值点，最后判断单调性，然而此题含有参数，求导之后我们要对参数进行讨论.解：由题可知，函数的定义域是一切实数.所以的导数为a,当时，函数在是增函数:b,当时，函数在是增函数，函数在是减函数.有（1）可知在是增函数，所以，即是，所以我例如，讨论所表示的曲线.解：这是以为参数的曲线，给不同值，可以得到不同的二次曲线.当时，=0，即是，当时，，即是，当时，原方程可以化为；如果时，则曲线是以焦点为的椭圆.如果时，则曲线是以焦点为的双曲线.第四章对图形的位置不确定进行分类讨论（标题）3.1运用分类思想证明几何题运用分类思想证明几何体是比较常见的，但是又是同学们很少想到的，这里要强调的是只要是数学，其在一定程度上都会用到分类思想.比如某个人把撒落在地上，问你怎样找才能把针全部捡完，这个问题其实在我们日常生活中随时遇到，只是我们把它们忽视罢了，这个题目有效的方法就是把地面分成若干个小区域，依次把小区域里的针找完就可以了，其实这就是运用了分类思想解决实际生活中的问题了.例如，证明：五点中必有四点是一个凸四边形的四个顶点.证明：我们可以按五点的凸包分三种情况：五点的凸包为凸五边形，显然，必有四点是四边形的顶点；五点的凸包为凸四边形，显然，也必有四点是一个凸四变形的四个顶点；对于情况三，因为任意三点不共线，直线DE必与三角形的线段相交而与第三边永不相交.设直线DE与线段BC不相交，则四边形EDBC为凸四边形.所以，原命题成立.AABCDE注意：对于同一个较复杂的问题，如果取用的分类标准不同，那么解决问题的繁简程度上往往差别很大.如上述例题中，我们以其中三点为顶点作一个三角形，再按其余两点关于这个三角形的位置的不同的情况分类进行讨论就显得异常的复杂，大大增加解题的难度，因此，进行分类、讨论之前，应当对题目先作一番深入的分析，并将几种分类标准作适当比较，选择适当的分类标准，尽量简化分类过繁的现象.其次，对某些数学问题，如果先利用已知的条件，限制题目中涉及的量的范围，再进行分类讨论，常常能是问题简化.例如，平面外有两点A,B,它们到平面的距离分别为a，b，线段AB上有一点P，已知AP/PB=0.5，求点P到平面M的距离 .解：（1）当点A,B在平面M的同侧时（如图1），设则，所以.若平行平面，则，此时，.当点A,B在平面M的异侧时，若点位于点的同侧(如图2)，则则，从而，若点位于点的同一侧（如图3），则，从而，。图1图2图33.2运用在函数与函数之间是否存在有解求函数的零点的个数.分析：此题我们可以构造两个函数与，再利用导数来解决，因为现在这两个函数图像我们是不知道，我们可以导函数函数的单调区间大致画出原函数的图形，再用这个函数的图像去与其相交的交点的个数即可.解：令，所以，令，即是或者，再令，所以当或者时，函数是增函数，当时，函数是减函数，函数在处取得极大值，函数在处取得极小值.当时，函数与函数有两个交点；当时，函数与函数有两个交点；当时，函数与函数有一个交点；当时，函数与函数有一个交点；当时，函数与函数有三个交点第五章结论运用分类讨论思想能够有效的指导我们的学习，操作程序是化整为零，积零为整，把对总体的探究转到对讨论各个个体，这两者的效果是一样的分类讨论思想的精髓是分类既不重复，也不遗漏、渐进性分类，不要越级、在同一讨论中只能按所确定的一个标准进行.分类讨论思想的优势，表现在可以迅速的找出解决问题的切入点，以解决开头难的问题，使我们的数学探究活动有一个良好的开局.注意，分类讨论某个数学问题，必须在同一个标准下进行，切记用两个或两个以上的标准对数学对象实施进行分类，这和我们平时的为人处世也是一样的对他人和自己，无论从哪个角度来评价，不可采用多从标准，分类讨论也是如此.参考文献主要参考资料：[1]欧阳维诚编著.初等数学思想方法选讲[M].长沙市：湖南教育出版社,2000.[2]陆书环，冯振举编著.初中数学方程[M].北京市：金盾出版社,2004.04[3]沈文选著.中学数学思想方法[M].长沙市：湖南师范大学出版