2024年中考数学第一次模拟试卷（无锡卷）全解全析

年中考第一次模拟考试（无锡卷）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：140分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列各组数中，互为相反数的组是(

)A．和 B．2023和C．和2023 D．和【答案】A【解析】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意；B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意；C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；D．和不互为相反数，故D选项不符合题意；故选：A．2．已知，下列结论正确的是（）A．当时，A的值是0 B．当时，A的最小值为1C．若A的值等于1，则 D．若A的值等于2，则【答案】D【解析】解：当时，，A选项错误；当时，，，，，即A的最小值小于1，B选项错误；当时，，解得，此时分式无意义，故不合题意，C选项错误；当时，，解得，D选项正确，故选：D．3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图，根据题意得：，，∴，，∵，∴．故选：B．4．下列计算错误的是（

）A．B． C． D．【答案】D【解析】解：A中，正确，故不符合要求；B中，正确，故不符合要求；C中，正确，故不符合要求；D，错误，故符合要求；故选：D．5．若点是反比例函数图象上的点，且，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根据题意画出函数图象得，可知，．故选：D．6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：根据题意，得．故选：B．7．将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（

）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．故选：D．8．如图，正方形和正方形，当正方形绕点逆时针旋转时，如图，连接、，并延长交于点若，，时，则线段的长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：连结交于点，连结，如图，正方形绕点逆时针旋转，与互相垂直平分，且在上，，，，在中，；由题意可得：相当于逆时针旋转90°得到，，，，．故选：A．9．如图，是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是的中点，直线与交于G，H两点，若的半径是r，则的最大值是（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】解：作直径，连接，

，，，，∵E，F分别是的中点，是的中位线，，，∴当长最大时，有最大值，∴当是圆直径时，最大．∴最大值是．故选：A．10．如图，在矩形中，为中点，以为边向上作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点，记，，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以为直径作半圆，恰好经过点，交另一点于，记的面积为，的面积为，若，则的值为(

)

A． B． C．1 D．【答案】A【解析】解：依题意得：四边形均为为正方形，四边形均为矩形，∵，点E为的中点，∴，，，，∴，连接，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵为直径，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∵，∴．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．化学元素钉是除铁、钻和镍以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉的原子半径约．将用科学记数法表示为．【答案】【解析】解：，故答案为：12．若与互为相反数，则．【答案】【解析】解：∵与互为相反数，∴，即，∴．故答案为．13．不等式组的解集是．【答案】【解析】解：解不等式①得：解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，故答案为：．14．写出一个图象是曲线且过点的函数的解析式：．【答案】（答案不唯一）【解析】解：设反比例函数解析式为，依题意，∴一个图象是曲线且过点的函数的解析式是：，故答案为：（答案不唯一）．15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．【答案】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【解析】解：如图：

∵是正三角形，∴，∴的长为：，∴“莱洛三角形”的周长=．故答案为：．16．如图，已知平行四边形中，E为边上一点，连接，若，，，，则的长为．【答案】6【解析】解：作，如图所示：∵∴∵∴∴∵∴∵∴∵∴∵∴∴∵∴故答案为：617．我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率．（参考数据：，【答案】3.12【解析】解：圆内接正二十四边形的周长，则，故答案为3.1218．如图，点A是双曲线y=在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．

【答案】y=﹣．【解析】解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，

∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，），则OD=AE=，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣=﹣8，∴点C在反比例函数y=﹣图象上．故答案为：y=﹣．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：；（2）用配方法解方程：．【解析】（1）解：原式；（2）解：，20．计算：(1)； (2)【解析】（1）解：；（2）解：21．如图，在中，过A点作，交的平分线于点D，点E在上，．(1)求证：四边形是菱形；(2)当，时，求的长．【解析】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是，故答案为：．（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，∴恰好摸到相同卡片的概率为．23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①将样本数据分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？【解析】（1）解：在这组的人数为：（人），补全频数分布直方图如下：（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，∵数据处于较小的三组中有（个）数据，∴中位数应是这一组第2，3个数据的平均数，∴中位数为：（分），故答案为：82分；（3）∵样本中优秀的百分比为：，∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：（人），答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．24．如图，在四边形中，．(1)经过点A、B、D三点作；(2)是否经过点C？请说明理由．【解析】（1）解：如图所示，即为所求；（2）经过点，理由如下：连接，∵，点为的中点，∴，∴点在上．25．最佳视点如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…

任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．【解析】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，∵是的外角，∴，又∵与都是弧所对的圆周角，∴，∴，∴在点E时视角最大．任务二：∵，∴，又∵，∴是等边三角形，．如图2，连接，

∵是的切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴．由题意得，(米)，在中，(米)．答：观察者应该站在距离米的地方最理想．26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．​(1)如图2，两墙，的高度是米，抛物线的顶点坐标为；(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式，当时，求的取值范围．【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则，解得：；抛物线的表达式为，则点，即（米，当时，，即顶点坐标为，故答案为：3，；（2）解：设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得，解得，抛物线的表达式为，当时，（米，点到地面的距离为2.25米；（3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得，整理得；当时，即，解得（不合题意的值已舍去）；当时，同理可得，故的取值范围为：．27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．【解析】（1）双层四边形为矩形，理由如下：由折叠的性质可得，，，，，同理可得，四边形是矩形，故答案为：矩；（2）四边形为矩形，，，，，，又为平行四边形，，，由折叠得，，，在与中，，，，由折叠得，，，又，，又，，．（3）有以下三种基本折法：折法1中，如图所示：由折叠的性质得：，，，，，四边形是叠合正方形，，