2019-2020学年广东省深圳市光明区九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年广东省深圳市光明区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分）

1.（3分）（2019秋•光明区期末）已知x=2是一元二次方程取+6=0的解，则b的值

为（）

A.-5B.5C.4D.-4

2.（3分）（2019•商丘二模）运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的

左视图是（）

/

正面

A.「）

C.E

3.（3分）（2020•余干县模拟）若反比例函数v=区的图象经过（-1,3）,则这个函数的图

象一定过（）

A.（-3,1）B.（-A,3）C.(-3,-1)D.(X3)

33

4.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，已知直线4〃b〃c,直线机、〃与〃、b、c分别交

于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,DF=()

mn

三

A.7B.7.5C.8D.4.5

5.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，在正方形网格中，已知AA8c的三个顶点均在格

点上，则sin/C48=（）

B.2/^.C.D.A

10103

6.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，周长为28的菱形ABC。中，对角线AC,8。交于

点O,H为A。边中点，。”的长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

7.（3分）（2019秋•光明区期末）为了美化校园环境，加大校园绿化投资.某区前年用于绿

化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均

增长率为x,则（）

A.18（l+2x）=33B.18（1+?）=33

C.18（1+x）2=33D.18（1+x）+18（1+x）2=33

8.（3分）（2019秋•光明区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y=-5?+3向左平移1

个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为（）

A.y—~5（x+1）2+4B.y=-5（x+1）2+2

C.y--5（x-1）2+2D.y—~5（x-1）2+4

9.（3分）（2019•殷都区一模）如图，小颖为测量学校旗杆A3的高度，她在E处放置一块

镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部8.已知小颖的眼睛。离地面

的高度CD=1.5m,她离镜子的水平距离CE=0.5m,镜子E离旗杆的底部A处的距离AE

=2m,且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）

A.4.5mB.4.8mC.5.5/nD.6m

10.（3分）（2019秋•光明区期末）下列命题正确的是（）

A.对角线相等四边形是矩形

B.相似三角形的面积比等于相似比

C.在反比例函数y=-3图象上，），随x的增大而增大

X

D.若一个斜坡的坡度为1：M，则该斜坡的坡角为30°

11.（3分）（2019•丹东二模）已知抛物线y=/+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=

1.以下结论：

①24>-by

②4〃+2b+c>0；

③加（am+h）>a+b是大于1的实数）；

（4）3a+c<0

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.（3分）（2019•南充模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，点尸在DE

上，CF=CD,过点尸作FG_LFC交AO于点G.下列结论：①GF=GD；@AG>AE;

（3）AFLDE；@DF=4EF.正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.③④

二、填空题（每题3分，共12分）

13.（3分）（2019秋•光明区期末）如果工=$,那么」_=______.

y3x-y

14.（3分）（2019秋•光明区期末）若二次函数y=，+x+a和x轴有两个交点，则a的取值

范围为.

15.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，在矩形48。中，对角线AC与相交于点O,

CELBD,垂足为点E,CE=5,且OE=2Z）E,则。E的长为.

16.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，等边△OAB的边AB与y轴交于点C,点A是反

比例函数），=殳巨（尢>0）的图象上一点，且BC=2AC,则等边△OAB的边长为.

17.（2018•常州）计算:|-1|-V4-（1-V2）°+4sin30°.

18.（2018•花都区一模）解方程：x2-6x+5=0.

19.（2019秋•光明区期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”

的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球.

（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

（2）若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的

两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率.

20.（2019秋•光明区期末）如图，某小区住宅楼AB高20米，住宅楼不远处有一座古塔C£>,

小明在楼底8处测得塔顶的仰角为38.5°,爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°,求住

宅楼与古塔之间的距离8。的长.（参考数据：sin22°七0.37,cos22°=0.93,tan22°.

0.40,sin38.5°^0.62,cos38.5°=0.78,tan38.5°七0.80）

21.(2016•滨州一模)“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售

出，每天能售出100件.调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少

2件.

(1)为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？

(2)物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，

应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？

22.(2019秋•光明区期末)如图，在正方形48CD中，E为AB边上一点，连接OE,交4c

于H点,过点。作。FLOE,交BC的延长线于F,连接EF交于AC于点G.

(1)请写出AE和CP的数量关系：；

(2)求证：点G是EF的中点；

(3)若正方形A8CO的边长为4,且AE=1,求G”・G4的值.

23.(2019秋•光明区期末)如图1,己知抛物线)=0?+陵+。(a^O)与x轴交于A(-3,

0)、B(1,0)两点，与)，轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图2,直线A。：y=L+l与y轴交于点。，P点是x轴上一个动点，过点尸作

3

PG〃y轴，与抛物线交于点G,与直线A。交于点当点C、D、H、G四个点组成的

四边形是平行四边形时，求此时P点坐标.

(3)如图3,连接4c和BC,。点是抛物线上一个动点，连接A。，当NQAC=NBCO

时，求0点的坐标.

2019-2020学年广东省深圳市光明区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）

I.（3分）（2019秋•光明区期末）已知x=2是一元二次方程，-bx+6=0的解，则〃的值

为（）

A.-5B.5C.4D.-4

【考点】A3：一元二次方程的解.

【专题】523：一元二次方程及应用；67：推理能力.

【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数方的值.

【解答】解：..”=2是方程的解，

...4-26+6=0

；.6=5.

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.

2.（3分）（2019•商丘二模）运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的

左视图是（）

/

正面

A.rH

C.ED.目

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】从正面看所得到的图形是主视图,从左面看到的图形是左视图，从上面看到的

图象是俯视图，据此作答.

【解答】解：几何体的左视图是:

故选：D.

【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向.属于基础题，中考

常考题型.

（3分）（2020•余干县模拟）若反比例函数的图象经过（-1,3）,则这个函数的图

象一定过（）

A.(-3,B.(一,3)C.(-3,-1)D.(X3)

33

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力.

【分析】由点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出％值，再将四个选项

中的横、纵坐标相乘，找出等于k的选项，此题得解.

【解答】解：•••反比例函数y士的图象经过（-1,3）,

k=-1X3=-3.

V-3X1=-3,-上X3=-1,-3X(-1)=3,JLX3=1,

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标

特征，求出A值是解题的关键.

4.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，已知直线a〃b〃c,直线〃八〃与a、b、c分别交

于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,80=3,DF=（）

A.7B.7.5C.8D.4.5

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似;64：几何直观.

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到处=毁，即乌=且，然后利用比例性质求

CEDF6DF

。尸的长.

【解答】解：•.•直线。〃mC,

••A•C一BDf日||4一3f

CEDF6DF

.•.OF=旦.

2

故选：D.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线

段成比例.

5.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点均在格

点上，则sin/CAB=（）

B.c.D.A

10103

【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力.

【分析】由勾股定理得出AC的长，由三角函数定义即可得出答案.

【解答】解：如图所示：

则AC=g2+12=

：.smZCAB=毁=-1=.^

ACV1010

【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角

三角形是解题的关键.

6.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC,BD交于

点O,H为AO边中点，OH的长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理；L8：菱形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据菱形的四条边都相等求出A8,菱形的对角线互相平分可得。8=。。，然后

判断出OH是△ABO的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的

一半可得0〃=工用

2

【解答】解：•••菱形ABC。的周长为28,

."8=28+4=7,OB=OD,

为4。边中点，

是△A3。的中位线，

：.OH=1AB^3.5.

2

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,

熟记性质与定理是解题的关键.

7.（3分）（2019秋•光明区期末）为了美化校园环境，加大校园绿化投资.某区前年用于绿

化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均

增长率为x,则（）

A.18（l+2x）=33B.18（1+x2）=33

C.18（1+x）2=33D.18（1+x）+18（1+x）2=33

【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

18(1+x)2=33,

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出

相应的一元二次方程，这是一道典型的增长率问题.

8.(3分)(2019秋•光明区期末)在平面直角坐标系中，将抛物线)，=-5/+3向左平移1

个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为()

A.y=-5(x+1)2+4B.y=-5(x+1)2+2

C.-5(x-1)2+2D.y=-5(x-1)2+4

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质；69：应用意识.

【分析】根据图象的平移变换规律：左加右减，上加下减，求出所得抛物线的函数表达

式即可.

【解答】解：将抛物线y=-5?+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位，所得抛物

线的函数表达式是：y=-5(x+1)2+3-1.即y--5(x+1)2+2

故选：B.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：左加右减，上加下减.

9.(3分)(2019•殷都区一模)如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块

镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部艮已知小颖的眼睛。离地面

的高度CD=1.5，n,她离镜子的水平距离CE=05m,镜子E离旗杆的底部A处的距离4E

=2相，且4、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为()

【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据题意得出△ABEsaCQE,进而利用相似三角形的性质得出答案.

【解答】解：由题意可得：AE^lm,CE=0.5m,OC=1.5〃?，

丛ABEs丛EDC,

ADC=CE；

"ABAE"

即L5=0.5

AB2

解得：AB—6,

故选：D.

【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出

是解答此题的关键.

10.（3分）（2019秋•光明区期末）下列命题正确的是（）

A.对角线相等四边形是矩形

B.相似三角形的面积比等于相似比

C.在反比例函数y=-3图象上，y随x的增大而增大

X

D.若一个斜坡的坡度为1：M，则该斜坡的坡角为30°

【考点】01：命题与定理.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力.

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得

出答案.

【解答】解：人对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误；

8、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故本选项错误；

c、在反比例函数），=-3图象上，在每个象限内，），随x的增大而增大，故本选项错误：

X

D、若一个斜坡的坡度为1：、耳，则该斜坡的坡角为30°,故本选项正确；

故选：

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

11.（3分）（2019•丹东二模）已知抛物线y=/+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=

1.以下结论：

①24>-by

@4a+2h+c>0；

（3）m（am+b）>a+b（»i是大于1的实数）;

④3a+c<0

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a,则可对①进行判断；利用抛物线的对

称性得到抛物线与x轴的一个交点在（2,0）和（3,0）之间，所以x=2时，y<0,则

可对②进行判断；利用x=l时，y有最小值a+6+c可对③进行判断；利用x=-l时，y

>0,B|Ja-b+c>0,然后把匕=-2a代入可对④进行判断.

【解答】解：•••抛物线的对称轴为直线苫=-且=1,

2a

:・b=-2a,即2a+b=0,所以①错误;

•・•对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点在（-1,0）和（0,0）之间，

，抛物线与x轴的一个交点在（2,0）和（3,0）之间，

・・・x=2时，yVO,

.■・4。+2/?+。<0,所以②错误；

Vx=1时，y有最小值a+b+c,

atn2+bm+c>a+b+c（根是大于1的实数），所以③正确；

Vx=-1时，y>0,

即。-b+c>0,

把b=-2a代入得3〃+c>0,所以④错误.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数。决定抛物线的开口方向

和大小.当a>0时，抛物线向上开口；当〃<0时，抛物线向下开口；一次项系数6和

二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与匕同号时，对称轴在y轴左；当。与人异

号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）.抛

物线与x轴交点个数由判别式确定：△=庐-4砒>0时，抛物线与x轴有2个交点；△

=启-4"=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=/-4acV0时，抛物线与x轴没有交

点.

12.（3分）（2019•南充模拟）如图，在正方形ABCC中，点E为AB边的中点，点尸在OE

上，CF=CD,过点尸作FGJ_FC交AO于点G.下列结论：①GF=GD；@AG>AE,

③AF_LQE；④QF=4EF.正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.③④

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形菱形正方形；

55D：图形的相似.

【分析】证明RtACFG^RtACDG,得出①正确；在证明△ADEg^OCG得出AE=DG,

得出AE=4G,②不正确：证出G”是的中位线，得出64〃4凡证出NA尸

90°,BPAFLDE,③正确；证明△ADEs△硼E,得出］！=坦=四_=2,得出£）E=

AEAFEF

2AE,AE=2EF,因此。E=4EF,④正确；即可得出答案.

【解答】解：连接CG交于点H.如图所示：

:四边形ABC。是正方形，

AZADC=90°,

YFGLFC,

AZGFC=90°,

在RtACFG与RtACDG中，JCG=CG,

lCF=CD

ARtACFG^RtACDG(HL),

：.GF=GD,①正确.

,:CF=CD，GF=GD,

...点G、C在线段PD的中垂线上，

：.FH=HD,GC.LDE,

：.ZEDC+ZDCH=90°,

:NADE+NEDC=90°,

：.NADE=NDCH,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.AD=DC=AB,NDAE=NCDG=90°,

，ZEAD=ZGDC

在△AOE和△£>CG中，JAD=DC，

ZADE=ZDCH

A/\ADE^/\DCG(ASA),

：.AE=DG,

•点£是边AB的中点，

.•.点G是边AO的中点，

.".AE=AG,②不正确；

•点，是边FD的中点，

.♦.G"是△"'£>的中位线，

：.GH//AF,

：.ZAFD=NGHD,

'：GHA-FD,

：.ZGHD=90°,

；.NAFD=90°,

BPAFLDE,③正确；

'：AD=AB,AB=2AE,

：.AD=2AE,

VZAFE=90Q=ZDAE,ZAEF^ZDEA,

：.△AOEs△区if,

•DE-AD-AE-2.

"AEAFEF，

：.DE=2AE,AE=2EF,

：.DE=4EF,④正确:

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形中

位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

二、填空题（每题3分，共12分）

13.（3分）（2019秋•光明区期末）如果三=§,那么

y3x-y~2~

【考点】S1：比例的性质.

【专题】513：分式；66：运算能力.

【分析】利用比例的性质得到三=工，设区=工=£,则x=5f,y=3f,然后把它们代入

5353x-y

中进行分式的运算即可.

【解答】解：•.•三=1,

y3

.♦.三=工，

53

设三=工=3则x=5f,y=3f,

53

•x_5t_5

x-y5t-3t2

故答案为

2

【点评】本题考查了比例的性质：灵活运用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性

质、分比性质、合分比性质、合比性质）计算相应线段的长.

14.（3分）（2019秋•光明区期末）若二次函数y=/+x+a和x轴有两个交点，则”的取值

范围为.

4-

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】535：二次函数图象及其性质；69：应用意识.

【分析】利用判别式的意义得到4“>0,然后解关于a的不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=12-4a>0,

解得a<X

4

故答案为。<工.

4

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数、=0?+法+。（a,b,c是常数,

aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=启-4ac决定抛物线

与X轴的交点个数.

15.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，在矩形48C。中，对角线AC与8。相交于点O,

CELBD,垂足为点E,CE=5,Ji0E=2DE,则。E的长为

【考点】LB：矩形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】由矩形的性质得到NAOC=90°,BD=AC,0D=lj3D,OC=L1C,求得OC

22

=OD,设。E=m,OE=2〃7,得到OO=OC=3〃?，根据勾股定理即可得到答案.

【解答】解：•.•四边形ABC。是矩形，

...NAZ）C=90°,BD=AC,OD=LBD,OC=LC,

22

：.OC=OD,

"：EO=2DE,

.•.设OE=〃?，OE=2m,

•**00=0(7=3〃?，

■:CE1BD,

：.ZDEC=ZOEC=90°,

SRtAOCE中，O£2+CE2=OC2,

(2m)2+52=(3m)2,

解得：07=代，

'.DE=y/5；

故答案为述.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.

16.（3分）（2019秋•光明区期末）如图，等边4OAB的边AB与y轴交于点C,点A是反

比例函数产至返（x>0）的图象上一点，且BC=2AC,则等边△OAB的边长为，有_.

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质.

【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力.

【分析】设点A（m刍返），等边三角形的边长为从过点A作x轴的平行线交y轴于

点M,过点8作y轴的平行线交4M的延长线于点E,过点。作OML4B与点N,AN=

L,ON=J^-b,AC=1,则CN=AN-AC=Z,CM//BE,则幽=空_,求得AE=

23AEAB

3a,可证△0NCS44EB,里=里,解得：BE=J^a,由AEp^AEr+BE1,则庐=L『+9a2

AEEB3

【解答】解：设点A（a,殳巨），等边三角形的边长为从

过点A作x轴的平行线交y轴于点M,过点8作y轴的平行线交AM的延长线于点E,

过点O作ONLAB与点N,

则AN=_k4B=L>,ON=^^-h,

22

AN=^b,AC=^b,

23

：.CN=AN-AC=ljj,

6

'：CM//BE,

lb

AAM=AC；即,贝ijAE=3a,

AEABAEb

"?ZOCN=ZACM=/ABE,

：.^ONC^/\AEB,

•ON-CNnn2_6°

AEEB3aEB

解得：BE=❷,

3

AB2=AE1+BE2,则■=942+工？=组汽

_33

•.•点A（m殳巨），

a

■―+金组2,

/3

解得：“2=3,b=2\fj,

故答案为24.

【点评】本题为反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行线分线段成比例、等腰

三角形的性质等，综合性很强，难度很大.

三、解答题（共52分）

17.（2018•常州）计算：|-1|-V4-<1-V2）°+4sin30°.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数基：T5：特殊角的三角函数值.

【专题】I：常规题型.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数基的性质分别化简得

出答案.

【解答】解：原式=1-2-1+4XJL

2

=1-2-1+2

=0.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（2018•花都区一模）解方程：x2-6x+5=0.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：分解因式得：（X-1）（、-5）=0,

x-1=0,x-5=0,

XI=LX2=5,

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成

一元一次方程.

19.（2019秋•光明区期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”

的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球.

（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

（2）若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的

两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率.

【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”的四个

小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意列举出所有可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或

“龙岩”的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）•••有汉字“美”、“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，任取一球，共有4

种不同结果，

球上汉字是“美”的概率为「=工；

4

（2）列举如下：

美丽龙岩

美/（丽，美）（龙，美）（岩，美）

丽（美，丽）/（龙，丽）（岩，丽）

龙（美，龙）（丽，龙）/（岩，龙）

石UU（美，岩）（丽，岩）（龙，岩）/

画树状图如图

开始

美丽龙岩

/N/N/1\公

丽龙岩美龙岩美丽岩美丽龙

所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的

情况有4种，

则取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率为

123

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质.注意树状图法与列

表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图

法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

20.(2019秋•光明区期末)如图，某小区住宅楼AB高20米，住宅楼不远处有一座古塔C。,

小明在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°,爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°,求住

宅楼与古塔之间的距离8。的长.(参考数据：sin22°七0.37,cos22°心0.93,tan22°—

0.40,sin38.5°^0.62,cos38.5°七0.78,lan38.5°^0.80)

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力.

【分析】过点A作于点E,由题意可知：ZCAE=22°,NC8O=38.5°,ED

=48=16米，设大楼与塔之间的距离BO的长为x米，则AE=BD=x,分别在RtZXBC。

中和RtAACE中，用x表示出CD和CE=AE,利用CD-CE=DE得到有关x的方程求

得x的值即可.

【解答】解：过点A作AEJ_C。于点E,

BD

由题意可知：NCAE=22°,/C8O=38.5°,ED=AB=20米，

设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x,

:在RCB8中，tan/CBD朵，

DD

ACD=BDtan38.5og0.8元，

•.•在Rt"CE中，tan/CAE笔，

AE

：.CE=AEtan22°心0.4x,

VCD-CE=DE,

A0.8x-0.4x=20,

x—50»

即BD=50（米）；

答：楼与塔之间的距离8。的长为50米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅

助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答.

21.（2016•滨州一模）“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售

出，每天能售出100件.调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少

2件.

（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？

（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，

应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】11：计算题.

【分析】（1）设商品的定价为x元，由这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少2

件，列出等式求得x的值即可；

（2）设利润为y元，列出二次函数关系式，在售价不超过40元/件的范围内求得利润的

最大值.

【解答】解：(1)设商品的定价为X元，由题意，得

(x-20)[100-2(%-30)]=1600,

解得：x=40或x=60；

答：售价应定为40元或60元.

(2)设利润为y元，得：

)，=(%-20)[100-2(%-30)J(xW40),

即：y=-2X2+200X-3200；

-2<0,

...当x=-M=-2吵=50时，y取得最大值；

2a2X(-2)

又xW40,则在x=40时可取得最大值，

即y最大=1600.

答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大为1600元.

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是对题意的正确理解.

22.(2019秋•光明区期末)如图，在正方形4BCZ)中，E为AB边上一点，连接OE,交AC

于H点,过点。作交8C的延长线于R连接EF交于AC于点G.

(1)请写出AE和CF的数量关系：相等；

(2)求证：点G是EF的中点；

(3)若正方形ABCD的边长为4,且AE=1,求GH・GA的值.

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】553：图形的全等；556：矩形菱形正方形：55D：图形的相似：67：推理能力.

【分析】(1)利用正方形的性质等证即可；

(2)过E作E历〃8c交AC于M,证即可；

(3)证△GE，SAGAE,由相似三角形的性质即可求出结论.

【解答】解：3)•・•四边形ABCD是正方形，

AZADC=ZEAD=ZDCB=ZDCF=90Q,AD=DC,

V£>F±£)E,

・・・NEDF=90°,

/.ZADE+ZEDC=/EDC+/CDF,

：.ZADE=ZCDFf

：./\ADE^/\CDF(ASA),

:・AE=CF,

故答案为：相等；

(2)如右图，过£作EM〃8C交AC于M,

•・•四边形A8CQ是正方形，AC为对角线，

AZBAC=yZBAD=45°，

■:EM〃BC,

：.ZAEM=ZB=90°,

ZAME=90°-NE4M=45°,

・•・NAEM=/EAM,

：.AE=EMf

'：AE=CF,

，EM=CF,

■:EM//BC,

:・/MEG=NGFC,ZEMG=ZGCF,

.MEMG04FCG(ASA),

:・EG=FG,

・・・G为稗的中点;

(3)由(1)知△QAEgaOCR

：・DE=DF,

：・/DEF=/DFE,

■:NDEF=90°,

：.ZDEF=45°，

VZBAC=45",

：.ZDEF=ZBAC,

,：NAGE=AAGE,

:.△GEHs/XGAE,

.EG=GHt

"AGGE,

：.EG2=GH'AG,

\'AE=],则CF=1,BF=5,

22=

EF=VBF+BEV52+32^

•,-EG2=-^EF2~

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质等，解题关键是能够作出合适的辅助线从而构造全等.

23.(2019秋•光明区期末)如图1,已知抛物线)=苏+法+。(a#0)与x轴交于4(-3,

0)、8(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线ADy=L+l与y轴交于点，P点是x轴上一个动点，过点P作

3

PG〃y轴，与抛物线交于点G,与直线A。交于点H,当点C、。、H、G四个点组成的

四边形是平行四边形时，求此时尸点坐标.

(3)如图3,连接AC和BC,。点是抛物线上一个动点，连接4Q,当/QAC=NBCO

时，求。点的坐标.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】32：分类讨论；65：数据分析观念.

【分析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(/+2x-3),故-3a=3,解

得：a=-\,即可求解；

(2)GH=CD=2,即|L+1-(-?-2x+3)|=2,即可求解；

3

(3)设：MH=x=MC,ZQAC=ZBCO,贝I」tanNCA”=工，则AM=3x,故AC=AM+CM

3

=4x=3&,解得：则CH=V^=3,OH=OC-CH=3,故点H(0,3),

4222

同理点”'(-1,3),即可求解.

2

【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(?+2A--3),

故-3〃=3,解得：a—~1,

故抛物线的表达式为：y=-?-2x+3…①；

(2)直线A£＞：y=L+l与y轴交于点。，则点。(0,1),则CQ=2；

3

设点P(x,0),则点“(x,L+1)、点G(x,-?-2x+3),

3

则GH=CD=2,即|L+1-(-?-2x+3)|=2,

3

解得：x=-Z^~7±V193.,

36

故点P(-7,0)或(飞质,0)或(-7+^3,0)；

366

(3)设直线AQ'交y轴于点4,过点〃作HM_LAC交于点M,交AQ于点H',

设：MH=x=MC,ZQAC=ZBCO,则tanNCA”=工，则AM=3x,

一3

故AC=AM+CM=4x=3，^,解得：》=冬巨，则CH=旦，

42

OH=OC-CH=^-,

2

故点”（0,3）,同理点"（一旦，3）,

22

由点A”坐标得，直线A”的表达式为：y=l-（x+3）…②，

2

同理直线AH'的表达式为：y=2（x+3）…③，

联立①②并解得：x=-3（舍去）或专；

联立①③并解得:x=-3（舍去）或-1；

故点。的坐标为：（工，工）或（-1,4）.

24

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.

考点卡片

1.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.零指数幕

零指数累：«°=1(a^O)

由/W=i,F="。可推出J=i(q#o)

注意：