2021年湖北中考数学真题分类汇编之图形的变化

2021年湖北中考数学真题分类汇编之图形的变化

一.选择题（共5小题）

1.（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.梯形B.等边三角形C.平行四边形D.矩形

2.（2021•黄石）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）

正面/

H

3.（2021•黄石）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1,

0）,现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°,则旋转后点C的坐标是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-3,2)

4.（2021•鄂州）“国土无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉.下列四个汉字

中是轴对称图形的是（）

5.（2021•恩施州）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD

与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）

B*_________

A.CEABDB./XABC^/XCBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

2

二.填空题（共4小题）

6.（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s,

从A处沿水平方向飞行至B处需105.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,B

处的仰角为30。，则这架无人机的飞行高度大约是m（73«1.732,结果保留整

数）.

7.（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点。出发，水平向左平移1个单

位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点Pl（-1,-1）:接着水平向右平移2个单位

长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖

直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移

4个单位长度得到点P4,…，按此作法进行下去，则点P202I的坐标

为.

8.（2021•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（-1,0）,点A的坐标为（-

3,3）,将点4绕点C顺时针旋转90°得到点B,则点3的坐标为

A*

C*O

9.（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B

转动，测量知BC=8c”,AB=\6cm.当AB,BC转动到NBAE=60°,乙48c=50°时，

点C到AE的距离为（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°七0.94,

«F.73）

r

£图1「图2

三.解答题（共3小题）

10.（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆A8,从与BC相距20%的D处观测旗杆顶

部A的仰角为52°,观测旗杆底部B的仰角为45",求旗杆AB的高度（结果保留小数

点后一位.参考数据：sin52°-0.79,cos52°^0.62,tan520^1,28,72^1-41）.

A

/B

/卓

/

芯52。G小？

D20m0

11.（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出

发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号

发射塔P.他由4地沿正东方向骑行m到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏

东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行到达C地.

(1)求A地与信号发射塔P之间的距离;

(2)求C地与信号发射塔P之间的距离.(计算结果保留根号)

北

12.(2021•十堰)已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线/,点P为/上一动点(不与

点A重合)，连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连QB.

(1)如图1,直接写出线段AP与BQ的数量关系;

(2)如图2,当点P、8在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；

(3)如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点尸、B分别位于直线4c异侧，且△APQ

图1图2图3

2021年湖北中考数学真题分类汇编之图形的变化

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

1.（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.梯形B.等边三角形C.平行四边形D.矩形

【考点】梯形；轴对称图形；中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与

原图重合.

2.（2021•黄石）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可.

【解答】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，

故选：D.

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，明确从左面看该组合体所得

到的图形的形状是正确判断的前提.

3.（2021•黄石）如图，△4BC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1,

0）,现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°,则旋转后点C的坐标是（）

二W至匚f

I.4厂O口I

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（-2,2）D.（-3,2）

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】作图题；几何直观.

【分析】利用旋转变换的性质分别作出8,C的对应点），C可得结论.

【解答】解：观察图像，可知C'（-2,3）,

故选：B.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变

换的性质，属于中考常考题型.

4.（2021•鄂州）“国土无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉.下列四个汉字

中是轴对称图形的是（）

B.±

A.无D.双

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形叫做轴对称图形，据此判断即可.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选:B.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合.

5.（2021•恩施州）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,E为BD

与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）

R

A.CEWLBDB.△AB04CBDC.AC=CDD.NABC=NCBD

2

【考点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；应用意识.

【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、8。的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到

△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE

的长，从而可以得到CE和80的关系；根据图形，很容易判断AABC丝△C2O和AC=

C£）不成立；再根据锐角三角函数可以得到/ABC和的关系.

【解答】解：由图可得，

BC=Q42+22=2旄,CD—<^22+I2=BD={§2+&2=5,

：.BC2+CD2^（2遥）2+（娓）2=25=8£>2,

.•.△8。是直角三角形，

'：EF//GD,

:.△BFEs^BGD,

•••-E-F=-B-F-,

DGBG

即空&

34

解得£尸=1.5,

：.CE=CF-EF=4-1.5=2.5,

...出卫§=工，故选项A错误；

BD52

由图可知，显然AABC和△CBO不全等，故选项8错误;

：AC=2,CZ）=旄，

：.AC^CD,故选项C错误；

'.,tan/ABC=>^=」，tanZrRD：：-1^——>

AB2BUBC2V52

:.NABC=NCBD,故选项。正确；

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角

函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

二.填空题（共4小题）

6.（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3〃加，

从A处沿水平方向飞行至B处需105.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,B

处的仰角为30°,则这架无人机的飞行高度大约是20m（73^1.732,结果保留整

水平线

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【分析】过A点作于H,过8点作8。垂直于过C点的水平线，垂足为。，如

图，利用仰角定义得到NACD=75°,ZBCH=30°,利用速度公式计算出AB=30m,

先计算出A”=15w,再利用正切的定义计算出84=15«,由于/ACH=45°,则CH

=AH=\5m,然后在山△BCD中利用NBa>=30°得至lj8。=生包至，最后进行近

2

似计算即可.

【解答】解：过A点作AHLBC于H,过B点作BZ）垂直于过C点的水平线，垂足为D,

如图，

根据题意得NAC£>=75°,ZBCH=30°,AB=3X10=30m,

'CAB//CD,

：.ZABH^ZBCD=30Q,

在中，A”=LB=15机，

2

；tan/ABH=迎，

BH

BH=-1^=普=15“，

tan30°V3.

3

,:NACH=NACD-NBCD=15°-30°=45°,

：.CH=AH^\5m,

：.BC=BH+CH=（15扬15）m,

在RtZ\BC£>中，VZBCD=30°,

ABD=^BC=1.§^+1-^20（机）.

22

答：这架无人机的飞行高度大约是20m.

故答案为20.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当

图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角

三角形中边角关系问题加以解决.

7.(2021•湖北)如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点。出发，水平向左平移1个单

位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P(-1,-1);接着水平向右平移2个单位

长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点及；接着水平向左平移3个单位长度，再竖

直向下平移3个单位长度得到点P3;接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移

4个单位长度得到点P4,…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为(-1011.-

1011).

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化-平移.

【专题】动点型；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意Pi(-1,-1),P3(-2,-2),

P5(-3,-3),，P2n-1(-n,-〃)，已解决可解决问题.

【解答】解：观察图象可知，奇数点在第三象限，

VP1(-1,-1),P3(-2,-2),P5(-3,-3),?Pin.1(-n,-n),

/.P2021(-1011,-1011),

故答案为：(-1011,-1011).

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律,

利用规律解决问题，属于中考常考题型.

8.(2021•鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-

3,3),将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B,则点8的坐标为(2,2).

A*

C*O

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】平面直角坐标系：几何直观.

【分析】如图，过点A作轴于E,过点8作BFLx轴于F.利用全等三角形的性

质解决问题即可.

【解答】解：如图，过点A作AELx轴于E,过点B作BFLx轴于F.

,/NAEC=ZACB=ZCFB=90°,

NACE+NBC尸=90°,ZBCF+ZB=90°,

，/ACE=NB,

在△4EC和aCFB中，

,ZAEC=ZCFB

-ZACE=ZB，

AC=CB

AAAEC^ACFBCAAS),

：.AE=CF,EC=BF,

,：A(-3,3),C(-1,0),

；.A£：=C1尸=3,OC=1,EC=BF=2,

：.OF=CF-OC=2,

：.B(2,2),

故答案为：(2,2).

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

9.（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B

转动，测量知8c=8cro,\6cm.当A8,BC转动到NBAE=60°,NA8C=50°时,

点C到AE的距离为6.3cm.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°~0.94,«

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想.

【分析】通过作垂线构造直角三角形，在RtaABM中，求出在RtZ\BC£＞中，求出

BD,即可求出CN,从而解决问题.

【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为“、N,过点C作CC

BM,垂足为

在Rt/XABM中,

VZBA£=60°,AB=16,

；.BM=sin60°・48=返义16=8«Cem),

2

ZABM=90°-60°=30°,

在RtABCD中,

VZDBC^ZABC-ZABM=50°-30°=20°,

ZBCD=90°-20°=70°,

又：BC=8,

.•.8£>=sin70°X8^0.94X8=7.52(.cm),

：.CN=DM=BM-BD=Sy[3-7.52«=6.3(cm),

即点C到AE的距离约为6.3cm,

故答案为：6.3.

图2

【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决

问题的关键.

三.解答题（共3小题）

10.（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距20”?的D处观测旗杆顶

部A的仰角为52°,观测旗杆底部8的仰角为45°,求旗杆A8的高度（结果保留小数

点后一位.参考数据：sin52°g0.79,cos52°^0.62,tan52°31.28,式七1.41）.

A

D20mC

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】在RtABCD中，利用正切函数求得BC,在RtAACD中，利用正切函数求得

AC,即可根据AB=AC-8c求得旗杆A8的高度.

【解答】解：在RlABC。中，：tan/8DC=庭，

CD

BC^CD.tanZBDC=20Xtan450=20（〃?），

在RtAACD中，tan/ADC=也,

CD

.,.AC=C£）.tanNAOC=20Xtan52°心20X1.28=25.6Cm）,

：.AB=AC-BC=5.6（机）.

答：旗杆A8的度约为56”.

A

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造

直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

11.（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出

发，途经8地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东45。方向有一信号

发射塔P.他由4地沿正东方向骑行4Mh"到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏

东15°方向，然后他由8地沿北偏东75°方向骑行12h〃到达C地.

（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；

（2）求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

AB

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【分析】（1）根据题意得到N以8=45°,NPBG=15°,ZGBC=75°,过点8作8。

LAP于D点,求得A£>=BD=4,得到NPB£>=60°,由8。=4,求得PD=4加，于是

得到结论；

（2）过点P作尸EJ_BC于£根据/PBG=15°,NGBC=75°,求得NPBE=60°,

得至|J5E=4,PE=4«,根据8c=12,于是得到结论.

【解答】解：（1）依题意知：N%B=45°,ZPBG=\5°,NGBC=75：

过点8作8£>_LAP于。点，

•：ZDAB=45°,AB=4亚，

：.AD=BD=4f

VZABD=ZGBD=45°,ZGBP=15°,

；.NPBD=60°,

VBD=4,

・・・PD=4«,

・•・%=(4+4^3)(km)；

(2)•:NPBD=60°,BD=4,

:・PB=8,

过点P作尸EL3c于E,

VZPBG=15°,ZGBC=75°,

AZPBE=60°,

*：PB=8,

ABE=4,PE=4V3，

VBC=12,

:.CE=8,

・・・PC=4有(km).

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.此题难度适中，解此题的关键

是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解.

12.(2021•十堰)已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线/,点P为/上一动点(不与

点A重合)，连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连Q8.

(1)如图1,直接写出线段AP与BQ的数量关系：

(2)如图2,当点P、8在AC同侧且AP=AC时，求证：直线P8垂直平分线段CQ；

(3)如图3,若等边三角形ABC的边长为4,点P、8分别位于直线AC异侧，且△APQ

的面积等于返，求线段A尸的长度.

4

图1图2图3

【考点】几何变换综合题.

【专题】压轴题；分类讨论；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】(1)由“&4S”证得△ACP2/SBCQ(SAS)可得AP=3Q.

(2)由“SAS”证得△ACP丝△BC。(SA5)可得AP=BQ,所以BQ^AP^AC-BC,

由“等边对等角”可得/A8P=/APB=75°,则/。/>=乙48©+/482=135°,所以

NCBD=NQBD=45°,则2。是△BCQ的平分线，又BC=BQ,则尸8垂直平分CQ.

(3)需要分点。在直线/上方和点Q在直线/下方两种情况讨论，设A尸的长度，根据

△4PQ的面积等于返建立等式，可求出AP的长.

4

【解答】解：(1)在等边△ABC中，AC=BC,乙4cB=60°,

由旋转可得，CP=CQ,ZPCQ=60°,

ZACB=ZPCQ,

：.ZACP-NPCB=ZBCQ-ZPCB,即/ACP=ZBCQ,

：.AACP^ABCg(SA5),

：.AP=BQ.

(2)在等边△ABC中，AC=BC,NACB=60°,

由旋转可得，CP=CQ,NPCQ=60°,

ZACB^ZPCQ,

：.ZACP-NPCB=ZBCQ-NPCB,即ZACP=ZBCQ,

.♦.△ACP/△BCQ(SAS),

：.AP=BQ,ZCBQ^ZCAP=9Q°:

：.BQ=AP=AC=BC,

\"AP=AC,NC4P=90°,

：.ZBAP=30°,NABP=NAPB=75°,

AZCBP^ZABC+ZABP=135°,

：.ZCBD=45°,

：.ZQBD^45Q,

ZCBD=ZQBD,即BD平分ZCBQ,

：.BDLCQ且点。是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ.

（3）①当点Q在直线/上方时，如图所示，延长8。交/于点E,过点Q作。于点

F,

由题意可得4c=BC,PC=CQ,NPC0=NACB=6O°,

ZACP^ZBCQ,

：./^APC^/^BCQ(SAS),

：.AP=BQ,/CBQ=NCAP=90°,

；NCAB=N4BC=60°,

：.ZBAE=ZABE=30°,

'：AB=AC=4,

：.AE=BE=^^-,

3

；.NBEF=60°,

设AP=f,则8。=7,

：.EQ=^&-t,

3___

在对△£■尸。中，。尸=退32=返(生巨-/),

223__

，SZV4PQ=LP•。尸=返，即上［返f)=返，

242234

解得片遂或『返.即AP的长为«或返.

33

②当点。在直线/下方时，如图所示，设8Q交/于点E,过点Q作QF，/于点F,

Q

由题意可得AC=BC,PC=CQ,ZPCQ=ZACB=60°,

・・・ZACP=ZBCQ,

：.（SAS）,

：.AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°,

VZCAB=ZABC=60°,

・・.NBAE=NABE=30°,

AZBEF=120°,ZQEF=60°,

VAB=AC=4,

：.AE=BE=^&,

3

设AP=m,则BQ=m,

：.EQ=m-

3___

在RtZ\EFQ中，。尸=零£。=零（机-^1）,

•••SAAPQ=LP.QF=返，即工•/瓜（,〃-•!/1）=返，

242234

解得〃?=冬&叵（巾=2!四二且负值舍去）.

33

综上可得，A尸的长为:居返或的史叵.

33

【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元

二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以

及代数几何综合能力.第（3）问中需要根据点。的位置分类讨论，此处属于易错点.

考点卡片

1.规律型：点的坐标

规律型：点的坐标.

2.勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为

边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正

整数的直角三角形的斜边.

3.梯形

（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距

离叫梯形的高.

（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

BH户M°

4.轴对称图形

（1）轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称.

(2)轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的

两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至

无数条.

(3)常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

5.坐标与图形变化-平移

(1)平移变换与坐标变化

①向右平移a个单位，坐标P(x,y)nPCx+a,y)

①向左平移〃个单位，坐标P(x,y)nP(x-a,y)

①向上平移人个单位，坐标P(x,y)0P(x,y+b)

①向下平移匕个单位，坐标P(x,y)=P(x,y-b)

(2)在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数m相

应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移。个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加

(或减去)一个整数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移〃个单位长度.(即：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.)

6.中心对称图形

(1)定义

把一个图形绕某一点旋转180°