人教A版高中数学必修5第3章《 不等式》全部教案+同步单元测试卷

3.1不等关系与不等式

3.1.1不等关系与不等式（一）

从容说课

通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中

存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不

等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽

象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是

建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了

一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能

激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章

的情感基础.

根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行

启发式教学并使用投影仪辅助.

教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的

不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.

教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系：

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.

教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；

2.了解不等式或不等式组的实际背景；

3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再

从抽象到具体的方法进行启发式教学：

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系,

鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学

学习态度；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、

积极的学习品质，从而提高学习质量：

3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，

同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？

生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃,最低气温26℃.

生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B,若点4在点8的左边，则oVx6.

（老师协助画出数轴草图）AB

生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

（学生迫不及待地说出这么多，说明课前的预习量很充分，学习数学的兴趣浓，此时老师应给以

充分的肯定和表扬）

推进新课

师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好.而且大

家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式，所举的实例都是反映不等量关系，这将喑示我

们这节课的效果将非常好.

（此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例）

实例6:限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过

40km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p

应不少于2.3%.

［过程引导］

师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究

数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的

比较过程，这是我们每个研究数学的人来说必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什

么知识来表示这些不等关系呢？

生可以用不等式或不等式组来表示.

师什么是不等式呢？

生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7V-5；3+4>1+4；2烂6；左0;3日目的是让同学们回忆不等式的

一些基本形式，并说明不等号W，豆”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组

学生自然而然就清楚了）

师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，

通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终

目的.

（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）

［合作探究］

生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.

师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.

那应该怎么样来表示呢？

（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）

生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃<t<26℃.

生可以表示为x>0.

（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）

（老师顺便画出三角形草画）

生\AC\+\BC\>\AB\

（只需结合上述三角形草图）.

生\AB\+\BC\>\AC\,\AC\+\BC\>\AB\,\AB\+\AC\>\BC\.

生L4BI-IBCKL4CKLACI-lfiCKIAfikL4BWCI<I8CI.交换被减数与碱数的位置也可以.

生如果用v表示速度，则vW40km/h.

生22.5%或归2.3%.

（此时，一片安静,同学们在积极思考）

生这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际

问题中的不等量关系，即可以表示为J''2，%'

”2.3%.

生也可表示为e2.5%且p>2.3%.

师同学们看这两位同学的观点是否正确？

生（齐答）大家齐声说，都可以.

师同学们的思考很严密，很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以

用“且”的形式来表达.

课堂练习

教科书第83页练习1、2.

（老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,

老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养

学生的问题意识与探究意识）

【问题1］设点A与平面a的距离为d,B为平面a上的任意一点.

［活动与探究］

师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.

（此时，教室一片安静，同学们在积极思考，时间较长,老师应该及时点拨）

［方法引导1

师前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以？

（可以让学生板演，结合三角形草图来表达）过点A作AC_L平面a于点C,则d=L4C0481.

师这位同学做得很好，我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，以数解形.

师请同学们继续来处理问题2.

［合作探究］

【问题2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高

0.1元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销

售的总收入仍不低于20万元呢？

生可设杂志的定价为x兀，则销售量就减少±r-2±5x0.2万本.

0.1

师那么销售量变为多少呢？如何表示？

生可以表示为（8--万产'0.2）万本，则总收入为（8-土丁产x0.2）x万元.

X-25

（老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为（8--而，XO.2）XN2O）

师是否有同学还有其他的解题思路？

生可设杂志的单价提高了O.ln元，（n《N*）,

（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）

师为什么可以这样设？

生我只考虑单价的增量.

师很好，请继续讲.

生那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+O.ln）元，则也可得销售的总收入为不低于20

万元的不等式,表示为（2.5+0.1n）（8示为Q20.

师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.

（留下让学生思考的时间）

师请同学们继续思考第三个问题.

［合作探究］

【问题3】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的

要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不

等式？

师假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不

等量关系呢？

生截得两种钢管的总长度不能超过4000mm.

生截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.

生截得两种钢管的数量都不能为负.

师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

生它们要同时满足条件，应该是且的关系.

生由实际问题的意义，还应有x,ydN.

师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等

关系呢？

生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

500x+600y<40000,

3x>y,

<x>0,

y>0,

x,yeN.

师这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际

问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练

习.

课堂练习

练习：若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎

样写出满足上述所有不等关系的不等式组？

分析：设截出长为698mm的毛坯x个和截出长为518mm的毛坯y个，把截取条件数

学化地表示出来就是：

'698x+518y<4000,

x>Q,

'y>0,

x,yeN.

（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x>O,y>O,x,yeN）

课堂小结

师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？

生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它

来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.

师我来补充一下,在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时,

思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

《慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回

顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）

布置作业

第84页习题3.L4组4、5.

板书设计

不等关系与不等式（一）

实例方法引导方法归纳

如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结

实际问题中不等量关系？示范解题

备课资料

一、备用习题

1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、

硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存

磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不

等量关系表示出来.

4x+y<10,

18x+15y<66,

分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，贝卜

x>0,

y>0.

2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用

问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余

84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担II元，又多出40元以上.问该班共有多少人？

这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解

12x-y=84,

10xVy,

分析：设该班共有X人，这笔开学费用共y元，贝叫

llx—y=40,

XGN*.

3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算

投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划

投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组

把此实例中的不等量关系表示出来.

分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，

x+y<10,

0.3x+0.1y<1.8,

由题意，知4

x>0,

y>0.

4.某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两

种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经

过0.8h和2.4h,每件B产品在两个车间都需经过1.6h,在一定时期中，加工车间最大加

工时间为240h,装配车间最大生产时间为288h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等

量关系表示出来.

0.8x+1.6y<240,

2.4x+1.6y<288,

分析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，则，

>0

x,y&Z.

二、课外探究

开放性问题

x+y>50,

x+y=100,

已知：不等式组《x>l,你能举出符合此不等式组的实际问题吗？

9，

x,ywN,

3.1.2不等关系与不等式（二）

从容说课

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利

用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一

定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理

论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不

等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.

这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复

习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指

导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分

析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课

的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注

意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等

式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.

根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论

来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思

考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等

式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个

代数式的大小；

2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；

3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；

2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.

教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式

的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质；

2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质；

3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.

二、过程与方法

L采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式

教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴

趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等

量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感

受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、

积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同

时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学

生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究

了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关

系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了

解.

推进新课

师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？

生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）

同一个数，所得到的仍是等式.

师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也

就是说，如果在不等式的两边都加匕或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一

个数，结果将会如何呢？

（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）

师一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向.（让同学回

答）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向.（让同学回

答）

性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向.（让同学回

答）

［过程引导］

师不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）

性质1：a<ba+c<b+c（或a-c<b-c）；a>ba+c>b+c（或a-c>b-c）.

_二一、al_4a、b

性质2：且c>O=>ac〈Z?c（或一V—）；a>bS.c>0ac>bc（或一>一）.

cccc

性质3：且c<On”c>&c（或@>2）；且c<0ac<bc（或巴<?）.

CCCc

（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学

生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）

师性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？

生对。、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.

师很好，c可以为零吗？

生c不能为零.因为c为零时•，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是W“或2”则可

以.

师这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.

师对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，

我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这

些性质才能有理有据.

（学生已迫不及待）

生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.

（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）

师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.

（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）

~4Bx

［教师精讲］

师若点A对应的实数为a,点B对应的实数为6,因为点A在点B的左边，所以可得

>b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数，即a>bna-b>0.它的逆命题是否正

确？

生显然正确.

师类似地，如果。〈山则。减去b是负数，如果eh,则。减去b等于0,它们的逆命题

也正确.一般地，

a>b=a-b>O;a=b=>a-b=O\a<b=>a-b<0.

师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边

不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实

数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解

不等式的主要依据.

师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？

生只要考察它们的差就可以了.

师很好.请同学们思考下面这个问题.

（此时，老师用投影仪给出问题）

［合作探究1

【问题1］己知X/）,比较（X?+l）2与X4+x2+l的大小.

(问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)

(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)

解；(x2+1)2—X4-X2-1=X4+2X2+1-x4-x2-l=x2,

由X邦,得x2>0,从而(x2+l)2>x4+x2+l.

(学生对x#0,得x2>0在说理过程中往往会忽略)

师下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.

(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)

【例1】比较下列各组数的大小孙).

a+b2

⑴与~r(a>0力>0);

21+1

ab

(2)a,-b"与4a3(a—6).

师比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差

的符号来确定.

电,1、a+b2a+b2ab(a+b)2-4ab(a-b)~

2L+L~2a+b~2(a+b)~2(a+b)'

ab

'：a>0,b>0且a/b,：.a+b>0,(a-b)2>0.

.(a">0,即？

11,

2(a+b)—+—

ab

(2)a4-b4-4a3(a-b)

=(4・匕)(。+6)(〃2+/?2)-4。3(〃-。)

=(a-b)(a3+a2h+ah2+b3-4a3)

=(a-b)[伍%・〃1+(〃/72a3)+(63_〃3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)

=-(a-b)2[2a2+(a+Z?)2],

•・・2屋+(〃+4N0(当且仅当a=b=0时取等号)，

又a^b,：.(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.

/.-(a-h)2[2«2+(t/+Z?)2]<0.

/.a4-b4<4a3(a-h).

师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大

小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，

前者将“差”变为"积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

(此时，老师用投影仪给出下列问题)

[合作探究]

【问题2】求E：(1)〃>/?且c>0=>ac>bc；

(2)a>ba+c>b+c.

师请同学们思考第一小问该如何证明？

生可用实数的基本性质，・・・q>".・・。功>0.又・・・。>0,由任意两个正数的积都是正数可得

(a-b)c>0f即ac>bc.

师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？

生ac-6c=(a-b)c,，a-b>0.又；c>0,由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c>0,

所以得证.

师这位同学证明得是否正确？

生正确.

师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别

与联系.

生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成

立的条件.

师

回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是

我们证明问题经常采用的思路.

(按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学

生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路)

师请同学继续思考第二小问该如何证明？

生可由结论到条件，a+c-(h+c)=a-h,""a>h,.,.a-b>0,.,.a+c>b+c.

师这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？

生(齐声)没问题.

师这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.

师下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.

(此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积

极性与主动性)

(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)

［例题剖析］

已知a>6>0,c<0,求证：—.

ab

师前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该

如何证明？

生可由条件到结论.：。〉人〉。，两边同乘以正数」得即A又•••£•<(),

abbaab

ab

师这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌

握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、

规范，又要灵活，才能达到要求.

课堂小结

常用的不等式的基本性质及证明：

(1)a>b,b>c

a>h,b>c=>6r-Z?>0,fe-c>0=>［a-h)+(b-c)>0=>a-c>0a>c.

(2)a>ha+c>h+c\

a>b=a-b>0=>(tz-/?)+(c-c)>0=>(a+c)-(/?+c)>0=>a-¥c>b+c.

(3)a>b,c>。nac>be;

«>/?,c>0=>«-/?>0,c>0=>(a-b)c>0=>ac-bc>0=>ac>/?c.

(4)a>b,c<0=>ac<be.

a>b,c<0=>a-h>0,c<0=>(a-b)c<0=>ac-bc<0=>ac<bc.

布置作业

课本第84页习题3.1A组3,B组1.(3)(4)、2.

板书设计

不等关系与不等式(二)

引入方法引导方法归纳

不等式和实数的基本性质实例剖析(知识方法应用)小结

示范解题

备课资料

备用习题

1.已知x>y>z>0,求证：--->—--.

x-yx-z

分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作

差比较.

证明：♦.,xAy/'x-yX).，一—>0.

x-y

又y>z,—―>—--.①

x-yx-y

y>z,/•-y<-z..*.x-y<x-z.

/.0<x-y<x-z.--->---.

x-yx-z

又z>0,，二一>」-.②

x-yx-z

由①②得一三一>一三一.

x-yx-z

小结：运用性质证明不等式时.，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方

法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不

妨尝试一下.

2.试判断下列各对整式的大小：(l)n?-2m+5和-2m+5：(2)°2一加+3和-4a+l.

点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法：

若4-8>0,则A>8；若A—8=0,则A=B；若4一8<0,则A<B.

这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.

解：(1)V(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2,

Vm^O,/.(m2-2m+5)-(-2m+5^0.

m'-2m+2-2m+5.

⑵：(。2-4。+3)-(-4。+1)

2

=。~-4。+3+4〃・1

=a2+2,

Va^O,.才+至2>0.

a2-4a+3>-4a+l.

3.2一元二次不等式及其解法

3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

从容说课

本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及

其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同

分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二

次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以

此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些

例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，

有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具

体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生

用表格将元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来;然后

用一个程序框图把求解般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次

不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程,

探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二

次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发

学生的学习兴趣.

教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

2.围绕•元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.

教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

教具准备多媒体及课件，幻灯片三张

三维目标

一、知识与技能

1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；

2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；

3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学

思想；

2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互

转化的，树立辩证的世界观.

教学过程

导入新课

师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司(InternetService

Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5

元；公司8的收费原则是在用户上网的第一小时内收费L7元，第二小时内收费1.6元，以

后每小时减少01元.(若用户--次上网时间超过17小时，按17小时计算)

■-般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，

一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？

假设一次上网x小时，则4公司收取的费用为1.5x,那么B公司收取的费用为多少？怎样

得来？

生结果是也生二义元，因为是等差数列，其首项为1.7,公差为项数为x的和，即

20

x(35-x)

1.7x+”(丁)(—0.1)=

20

师如果能够保证选择4公司比选择8公司所需费用少，则如何列式？

生由题设条件应列式为卫生二旦>L5x(0<xV17),整理化简得不等式X2-5X<0.

20

推进新课

师因此这个问题实际就是解不等式：x2-5xV0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，

它的解法是我们下面要学习讨论的重点.

什么叫做一元二次不等式？

含有一个耒知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做元二次不等式，它的•般形式

>ax2+fex+c>0BR6ZX2+/7X+C<0(a#)).例如2x2-3x-2>0,3x2-6x<-2,-2x2+3<0等都是一

元二次不等式.

那么如何求解呢？

师在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关

知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及•次函数三者之间有什么关系呢？

思考：对一次函数y=2x-7,当x为何值时，

y=0?当x为何值时，y<0?当x为何值时，y>0?

它的对应值表与图象如下：

由对应值表与图象(如上图)可知：

当x=3.5时，y=0,即2x-7=O；

当x<3.5时，y<0,即2x-7<0；

当x>3.5时，y>0,即2x-7>0.

师一般地，设直线ywx+6与x轴的交点是(xo,0),则有如下结果：

(1)一元一次方程ax+/?=0的解是xo；

(2)①当a>0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是｛xlx>x0｝；一元一次不等式ax+/?V0

的解集是｛xlx<x()｝.

②当a<0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是｛xlx<xo｝；一元一次不等式ax+b<0的解

集是{xlx>xo}.

师在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.

能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？

生函数图象与X轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在X轴上方(下方)

部分对应的横坐标.

。〉0a<0

一次函数［/

\|j=ar+/>

y=ax+b（存0）f）

的图象,

°\v

11

一元一次方程ax+5=0的解集hb

{xlx=---}{xlx=---}

aa

一元一次不等式ax+b>0的解集bb

{xlx>——}{xlx<——}

aa

一元一次不等式ax+AVO的解集--b、b

{xlx<——}{xlx>——}

aa

师在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系

利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图象上)我们可以快速准确地求出一元一次不等

式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找

到其求解方法呢？

在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x,当x为何值时，

y=0?当x为何值时，yVO?当x为何值时，y>0?当时我们又是怎样解决的呢？

生当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.

二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：

x-10123456

由对应值表与图象(如上图)可知：

当x=0或x=5时,y=0,即X2-5X=0；

当0<x<5时，y<0,即X2-5X<0；

当xVO或x>5时，y>0,即X2-5X>0.

这就是说，若抛物线y=x?-5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0),

则一元二次方程x2-5x=0的解就是X|=0,x*5.

一元二次不等式X2-5X<0的解集是{xlO<x<5};一元二次不等式X2-5X>0的解集是{xlx<0

或x>5}.

［教师精讲］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c>0

或axAbx+cVO(a>0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元

二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程

的解和对应的一元二次不等式的解集.

如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设其判别式为它的解按照△>

0,A=0,△<()分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+/7x+c(a>0)与x轴的相关位置也分为三

种情况(如下图),因此,对相应的一元二次不等式ax2+Z?x+c>0或ax2+/>x+c<0(a>0)

的解集我们也分这三种情况进行讨论.

(1)若△>(),此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点(图(D),口耀ax

2+%x+c=0(a>0)有两个不相等的实根X”X2(Xi<X2),则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解

集是{xlx<x"或x>X2};不等式ax'+bx+cVO(a>0)的解集是{xlxi<x<X2}.

(2)若A=0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴只有一个交点(图(2)),即方程

b

2

〃x2+bx+c=0(〃>0)有两个相等的实根x1=x2=——，则不等式ax+bx+c>0(〃>0)的解集是

2a

b

{Xl#----}；不等式一2+双4<0(«>0)的解集是.

2a

(3)若AV。，此时抛物线y=ax2+hx+c(〃>0)与x轴没有交点(图(3)),即方程QX2+/?X+C=0(〃

>0)无实根，则不等式ax2+bx+c>0(〃>0)的解集是R；不等式〃x2+〃x+cV0(〃>0)的

解集是.

A=/-4ac

二次函数

y=ax2+ftx+c(a>0)的

图象

ax2+Z>x+e=0的根

—bi.V=A

$2="

2a

<zx2+ftx+c>0的解集{xlx<Xi或X>X2)bR

{xlx#--}

2a

ax2+ftx+c<0的解集{xlxiVxVx2}00

对于二次项系数是负数(即oVO)的不等式,可以先把二次项系数化成正数，再求解.

［知识拓展1

【例1】解不等式2X2-5X-3>0.

生解：因为△>(),2X2-5X-3=0的解是XI=—,x2=3.所以不等式的解集是{xlxV---，或x

22

>3).

【例2】解不等式-3X2+15X>12.

生解：整理化简得3x2-15x+12V0.因为△>(),方程3X2-15X+12=0的解是X|=1,X2=4,所以

不等式的解集是{xll〈x<4}.

【例3】解不等式4X2+4X+1>0.

生解：因为A=0,方程4x?+4x+l=0的解是X|=X2=—L所以不等式的解集是｛xl存-工｝.

22

【例4】解不等式-X?+2x-3>0.

生解：整理化简，得x2-2x+3<0.因为AVO,方程x2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解

集是0.

师由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？

生归纳如下:

(1)将二次项系数化为“+"：y=ax2+hx+c>0(或<0)(“>0).

(2)计算判别式△,分析不等式的解的情况：

若y>0,则x**或¥>々；

①A>0时,求根X1〈X2,

若y<0,则X]Vx.

‘若y>0,则的一切实数;

②A=0时，求根xi=x2=xo，,若yV0,则x€0；

若y=0,则x=x().

'若>>0,则xeR;

③A<0时，方程无解,

若yWO,则xw0.

(3)写出解集.

师说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将

判断框和处理框中的空格填充完整.

［学生活动过程］

［结束］

［方法引导］

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.

该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精

神.

课堂小结

1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不

等式，它的一般形式是ax,bx+cX)或ax'+bx+cVO(a/0).

2.求解•元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.

布置作业

1.完成第90页的练习.

2.完成第90页习题3.2第1题.

板书设计

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

多媒体演示区一元二次不等式概念

一元二次不等式解题步骤例题

备课资料

一、备用习题

1.解不等式x+2>3x2.

解：原不等式等价于3x2-x—2V0,

22

解方程3x2—X—2=0得两根：一―，X2=1..••原不等式的解集为(一一，1).

33

2.解下列不等式：

(1)2+3X-2X2<0；(2)-X2+2X-3X>0；(3)x2-4x+4>0.

解：⑴原不等式等价于2x2-3X-2>0.

,1

由2x~-3x—2=0得=---,x?=2.

'2

/.原不等式的解集是(-8,-j)U(2,+a)).

2

(2)原不等式等价于:x2-2X+3<0.

由A=(-2)2-4X1X3V0,知原不等式解集为0.

(3)A=(-4尸-4x4=0,方程X2-4X+4=0有等根X|=X2=2,

原不等式的解集为{xlxGR,且其2}.

点评:1.要严格按“解法步骤”求解.

2.最后要用集合表示法表出解集.如本例(1)用区间表示出解集；本例(3)用大括号表示解

集，

该题的解集也可用区间表为(-8,2)U(2,田)，但有的同学把第(3)题的解集表示为x先，这

是错误的.

二、阅读材料

法国数学家韦达

韦达，1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法

国议会里工作，书达不是专职数学家,但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，

并作出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.

在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识

地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘累，带来了代数学理论研究的重大进步.

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元

二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).

韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.

他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方

法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.他还写下了《数学典则》，157