2022-2023学年江苏省南京名校高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年江苏省南京名校高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知等差数列九｝中，a3+aQ=22,a6=7,则的的值为()

A.10B.15C.20D.40

2.函数/(%)=e"+a%在X=0处的切线与直线2%-y-5=0平行，则实数a=()

A.-1B.1C.iD.1

Z4

3.已知圆C的圆心在%轴上，且经过4（5,2）,B(-1,4)两点，则圆C的方程是()

A.(%+2)2+y2=17B.(x—+y2=13

C.(%-l)2+y2=20D.(%+I)2+y2=40

4.下列求导结果正确的是()

A.[(1—2%)2丫=2—4%B.(cos)=—sin^

i_

C.[ln(3x)]/=-D.(x•cosxY=cosx—xsinx

5.设正项等比数列｛即｝的前几项和为无,且誓1<1,若<23+（25=20,a3a5=64,则S4=（）

A.63或126B,252C.120D.63

6.设函数f。）=郡（％:'I"。：：11），若对任意的久e|m,+8）,都有/'（%）N-4,则加

的最小值是（）

A.-4B.-6C.-yD.-y

7.已知直线L：y=g久+m与曲线C：y=；J|4-仅有三个交点,则实数m的取值范围是

()

A.(-2.V2)B.(-V2,V2)C.(1,V2)D.(1,V3)

8.已知递增等差数列｛厮｝中，a6=18且口2是%，的等比中项，则它的第4项到第11项的

和为（）

A.180B.198C.189D.168

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知空间向量优b，c,下列命题中不正确的是（）

A.若向量落石共线，则向量落石所在的直线平行

B.若向量优3所在的直线为异面直线，则向量落方一定不共面

C.若存在不全为0的实数X,y,Z使得X五+y至+z^=d,则方，b，m共面

D.对于空间的任意一个向量万，总存在实数x,y,z使得方=%五+y9+zm

10.己知数列｛a”｝满足，即+1=即+1—Ja刊—a.+1,%=a,则不一定存在a,使数列

中()

A.存在71eN*,有即+1(1n+2<0

-

B.存在九GN*,有(%[+1—l)(an+21)<0

C.存在neN*,有(厮+]—3(a“+2-1)<0

QQ

D.存在nGN*,有5+i-p(a„+2-f)<0

11.已知直线心kc-y+2k=0和圆。：x2+y2=16,贝！J()

A.直线Z恒过定点(2,0)

B.存在k使得直线/与直线和x-2y+2=0垂直

C.直线1与圆。相交

D.若k=-1,直线/被圆。截得的弦长为4

12.已知函数/(%)=粤，则下列说法正确的有()

A.函数/(x)=等的图象在点(1,0)处的切线方程是x-ey-1=0

B.函数/(%)有两个零点

C.C2)<。3)

D.函数/(%)有极大值，且极大值点与e(1,2)

三、填空题(本大题共4小题，共12.0分)

13.已知直线I过点A(a,0)(a>0),且斜率为1,若圆/+y2=4上恰有3个点到I的距离为1,

则a的值为.

14.已知函数/"(X)=|x3+x2+(2a-l)x+a2-a+l,若((x)=。在(0,2］上有解，则实

数a的取值范围为—.

15.设。为坐标原点，&,尸2是双曲线捺一马=l(a>0,6>0)的焦点，若在双曲线上存在

点M,满足NF1MF2=120°,\OM\=V3a)且S“1MF?=28，则该双曲线的方程为.

n+1

16.设为是数列｛an｝的前ri项和，Sn=lan-3,则%1=____；若不等式与2空F对

zk

任意neN+恒成立，则正数k的最小值为.

四、解答题(本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题9.0分)

已知函数/'(%)=|x2+2xlnx.

(1)求函数y=/(%)的图像在点处的切线方程；

(2)若函数g(久)=xex+(4-a)x-1-/'(久)在定义域上无极值，求正整数a的最大值.

18.(本小题9.0分)

设椭圆与+马=l(a>6>0)的左、右焦点分别为F[(—c,0)、F2(C,0),右顶点为4上顶点

ab

为B,已知|=Ha

(I)求椭圆的离心率；

(口)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点工，经过原点的直线Z与该

圆相切.求直线的勺斜率.

19.(本小题9.0分)

设同时满足条件：①史冲>bn+1-,@bn<M(n£N*,M是常数)的无穷数列｛,｝叫做P数

列，已知数列｛斯｝的前几项和为满足Snu/ySn—l)(a为常数，且a4O,a41).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)设%=答+1,若数列｛加｝为等比数列，求a的值；并证明数列｛9｝为P数列.

anDn

20.(本小题9。分)

如图，已知抛物线*=2px(p>0),焦点为尸，准线为直线2,P为抛物线上的一点，过点P作

Z的垂线，垂足为点Q,当P的横坐标为3时，APQF为等边三角形.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点F的直线交抛物线于4B两点，交直线/于点M,交y轴于G.

①若西？=及方，MB=A2BF,求证：%+%为常数；

②求布•雨的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax2-x(aGR).

(1)求fQ)的单调区间和极值点；

(2)求使f(x)<g(x)恒成立的实数a的取值范围；

(3)当a=机寸，是否存在实数小，使得方程甯+m+gQ)=o有三个不等实根？若存在,

求出山的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：•.,等差数列｛个｝中,a3+a8=22,a6=7,

+2d+的+7d=22

"&+5d=7'

解得的=47,d=-8,

a5=47-8x4=15.

故选：B.

利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的值.

本题考查等差数列中第5项的求法，考查等差数列通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算

求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解:f'(x)=ex+a,则f<O)=l+a,

依题意，l+a=2,解得a=1.

故选：B.

求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线平行的条件，解方程可得所求

值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于

基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题.

设圆心为C(a,O),由|C4|=|C用求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程.

【解答】

解：,••圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a,O),

因为圆过点4(5,2),8(—1,4),

所以|C4|=|CB|可得|C川2=|CB|2,即(a—5)2+4=(a+1)2+16,解得a=1,

可得圆心为C(1,O),半径为|C4|=何，

故圆的方程为1)2+V=20,

故选C.

4.【答案】D

【解析】解:[(1—2x)2]，=2(l—2x)-(—2)=8%-4,(cos就=0,[ln(3x)Y=2=3(x-

cosx)'=cosx—xsinx,

求导结果正确的是：D.

故选：D.

根据基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式进行求导即可.

本题考查了基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：••・等i<l,

un

A0<Q<1,

,**a3a5—64,ct,^+CL^—20,

•••的和的为方程％2—20x+64=0的两根，

van>0,0<Q<1,

,*•CI3>'

•••。3=16，。5=4,

1

•••/，

•,«aI—64,a2=32,=16,。4=8,

*'•=%+g+。3+。4=64+32+16+8=120,

故选：c.

根据a3+。5=20,a3a5=64构造出一元二次方程求得和。5,则由和q可求得，最后求得答案.

本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和韦达定理，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：作出函数/(%)的部分图象如图所示,

当口€(-6,-5)时,/(%)=8(%+5),

令/'(无)=-4,解得％=-当.

数形结合可得，对任意的x6［叫+8),都有/(X)2-4,

则a的最小值为-y.

故选：D.

由已知函数解析式作出/(%)的图象，数形结合得答案.

本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意得曲线C：y=i7H-x2|

•••2y=^/|4—x2\

即4y2=|4—x2|(y>0)

2

当4—x2>0时得到4y2=4—/即a+y2=i(y>o)

••・把直线y=向上平移平移到(0,1)点时有两个交点，此时爪=1.继续向上平移则有3个交点.

当直线与椭圆的上半部分相切时此时有两个交点.

y=^x+m

2

2代入整理得2/+4T7IX+4m-4=0

{v+y2=1

A=16m2-8（4m2-4）=0即巾=夜或一企（舍去）

由图本可得m=V2

由以上可得1＜小＜/

故答案为C.

分析曲线C的方程y=gJ|4-％2|可得是椭圆的上半部分与双曲线的上半部分,由图形可得找出两

个临界值即直线平移到（0,1）与直线和椭圆相切（△=16m2-8（4m2-4）=0）的时候，得到答案.

解决此类问题的根据是灵活运用平面几何的相关知识与结论，结合图形解决问题，即数形结合的

是想是高中数学的一个重点也是高考必考的知识点.

8.【答案】A

【解析】解：设递增等差数列口几}的公差为d,贝此＞0,

•••a6=18且g是由，的等比中项，

=%+5d

+d）2=+3d）'

解得的=d=3,

.••第4项到第11项的和为Su—S3=（11%+名声d）—（3%+竽d）

=8al+52d=60d=180

故选：A.

由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入a1-53=（11%+誓4）-（3%+竽4）,计

算可得.

本题考查等差数列的求和公式，属基础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：向量落至共线，

则行与另所在的直线也可能重合，故A错误；

根据自由向量的意义知，空间任意两向量为，3都共面，故8错误;

实数x,y不全为0,

不妨设%w0,

则N=(T)方+(一；)落

故由共面向量定理知，a.,b>力共面，故C正确；

只有当区b,芸不共面时，

空间任意一向量才能表示为得万=久五+yb+z3故。错误.

故选：ABD.

根据已知条件，结合向量共线、共面的基本定理，即可求解.

本题主要考查向量共线、共面的基本定理，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：设函数y=x+1—V%2—%+1，

则函数y=x+l-收―x+1与y=x有两个交点(0,0),(1,1),

.,•当(21<0时，数列递减，<0;

当0<的<1时，数列递增，并且与趋向1；

当%>1时，数列递减，并且为趋向1,则可知4B错误;

又当久>1时，y=x+1—Vx2—x+1=x+l—J(x—1)2+|<x+l—(x—1)=|>

则当的>1时，一定小于?，则之后均小于I，故D错误；

对于C,可取%=2,则。2>"。3>"a4<

Z444

所以(<23—》(C14—3<0，满足要求.

故选：ABD.

设函数y=x+1—Vx2-x+1,则函数y=x+1—-%+1与y=x有两个交点(0,0),(1,1),

对的分情况讨论，得到数列的增减性，再逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了数列的递推式，考查了数列的函数特征，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题.

利用直线系方程求得直线/所过定点判断a；举例说明2正确；由直线所过定点在圆内部判断c；

由垂径定理求弦长判断D.

【解答】

解：直线八kx-y+2k=0,即k(x+2)—y=0,则直线恒过定点(—2,0),故A错误；

当k=—2时，直线/：kx—y+2k=0与直线I。：x—2y+2=0垂直，故B正确；

••・定点(—2,0)在圆。：/+外=16内部，；.直线/与圆。相交，故C正确；

当k=—1时，直线1化为—x-y—2=0,即x+y+2=0,

圆心。到直线的距离d=号=VL直线Z被圆。截得的弦长为2V1石=I=2内，故。错误.

故选：BC.

12.【答案】AD

【解析】解：由/。)=坐，得尸(%)=乎，则r(i)=；,

二函数f(无)=臂的图象在点(1,0)处的切线方程是y-0=i(x-l),

即％—ey—1=0,故A正确；

令。(%)则g(%)在(0,+8)上是单调递减的，

且g(l)>0,^(2)=|-Zn2=|(1-Zn4)<0,

・・・存在久0G(1,2),使得g(%o)=。，即f'(%o)=0，

・•・/(%)在区间(0,%0)上单调递增，在(%0,+8)上单调递减.

・•・函数/(%)有极大值，且极大值点%oe(1,2),故。正确；

•・,/(%)在区间(久0,+8)上单调递减,x0G(1,2),

A/(2)>/(3),故C错误；

/(I)=0,/(%)在区间(O,%o)上单调递增，

・•・当％G(0,&)时，/(%)有一个零点，

v>1,・•・当％G(%o,+8)时,Inx>0,ex>0,则/(%)>0,

则/(%)在(%o，+8)上无零点，即/(%)只有一个零点，故B错误.

故选：AD.

利用导数求出函数f(x)=等的图象在点(1,0)处的切线方程判定4；令g(x)由单调性

及函数零点的判定可得存在%o£(1,2),使得gQo)=0,即［Qo)=0,从而得到函数/(%)的单调

性与极值判定D;由/(%)在区间(而，+8)上单调递减，结合Xo6(1,2)判断C；由函数零点判定定理

得到当x6(0,q)时，/(%)有一个零点，/(%)在(%0,+8)上无零点判断B.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求极值，考查函数零点的判定

及其应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题.

13.【答案】V2

【解析】解：由题意可得直线，的方程为y=%-a,即x-y-a=0,可得圆心到直线1的距离d=号,

由圆的方程可得圆的半径r=2,要使恰有3个点到1的距离为1,则圆心到直线的距离d=］=1,

所以1=裳，而a>0,

所以a=V2,

故答案为：V2.

由题意设直线/的方程，求出圆心到直线的距离，求出圆的半径，由题意可得圆心到直线的距离为

圆的一半，可得a的值.

本题考查直线与圆有3个交点的条件的应用，属于基础题.

14.【答案】

1C

【解析】解：・函数/(x)=-x3+x2+(2a-l)x+a2-a+1,则/'(x)=x2+2x+(2a-1).

再由f'(x)=0在(0,2］上有解，f'(x)是二次函数，对称轴为x=—1,

可得「(0)/(2)<0，或((2)=0,即(2a—1)•(2a+7)<0,或2a+7=0.

解得？<a<p

故答案为［f,g).

先求出/'(%)=x2+2x+(2a-1),是二次函数，对称轴为x=-1,再由/'(%)=0在(0,2］上有解，

可得/(0)1(2)<0,或/''(2)=0,由此求得实数a的取值范围.

本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，导数的运算，属于中档题.

15.【答案】x2-4=i

6

b乙b乙

【解析】解：因为N&MF2=120°,S=2V3,即亚M=益而=2b，所以/=6,

AFIMF2tanz

|M0/+|O"1|2一四％|23a2+c2一|M/产

因为coszJVfOFi=

2\M0\-\0F1\2V3ac

|MO『+|OF2|2一|M尸2『3a2+C2-|M尸2『

COSZ-MOF2=

2\MO\-\OF2\2V3ac

又因为COSNMO&=—COS/-M0F2,

22222

所以3a2+C-\MF1\=-3a-c+\MF2\,

2

贝!+\MF2\=6a2+2c2,

22222

所以(MF/-|MF2|)+2\MF1\\MF2\=(\MF1\-|MF2|)+16=4a+16=6a+2c,

整理可得a2+c2=8,所以a2+(a2+〃)=202+6=8,解得a?=1,

所以双曲线方程为：%2-^=l,

故答案为：必―3=1.

双曲线焦点三角形面积公式可求得利用cosNMOFi=-cos4MOFz，构造方程可得幽&『十

222

\MF2\=6a+2c,结合双曲线定义求得出=1,由此可得双曲线方程.

本题考查双曲线的方程，焦点三角形面积公式，余弦定理的应用，方程思想，属于中档题.

16.【答案】(4九+2)x3九至

【解析】解：当几=1时，Si=|a］一32,得的=18,

nn+1

当律22时，Sn_1=lan_1-3,Sn=lan-3,

a

两式相减得a九=-dn-2n-i—2x3%得册=3azi+4x3%

所以翁一爱斗=4(7122),

又因为詈=6,所以｛胃｝是以6为首项，4为公差的等差数列，

所以导=4n+2,即厮=(4n+2)X371,

因为厮2即空，所以(4n+2)x3"2空普，即&更2与，

kknk

记e=出:"旦=当＞1，所以｛m｝为递增数列，bn2bl=6,

TlTliJL

所以髀6,解得因2浮

则正数k的最小值为警

6

故答案为：厮=(471+2)X3、

6

由％与斯关系，推出｛,｝为等差数列，即可求出与,再由原不等式转化为空>与恒成立,'=在毛,

1

可证出｛加｝为递增数列，不等式转化为/三瓦=6,即可得解.

本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性和通项公式，同时考查了数列的函数特征,

属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为/(X)=jx2+2xlnx,

所以f'(%)=x+2(1+lnx),

所以八1)=3,

又/■⑴=3

所以函数7■(%)在的切线方程为y-|=3(x-l),即y=3x-去

1

(2)由题得g(x)=xex—2xlnx--x2+(4—a)%—1定义域为(0,+8),

若g(x)=f(x)+(4-a)x-1无极值,则g'(%)>0恒成立或g'(%)<0恒成立,

①当g'Q)>0恒成立时，g'(%)=(%+l)ex-2(1+Znx)—x+4—a>0,

即a—2<(%+l)ex—2lnx—%恒成立，

x

所以Q-2<[(%+l)e-2lnx-x]min,

令Zi(%)=(%+l)ex—2lnx—%,

所以“(%)=(x+2)ex—|-1=(%+2)ex—=(%+2)(ex—})(%>0),

令0(%)=ex—I，

所以“(%)=ex+^->0,

所以9。)在(0,+8)上单调递增，

又0。=Ve—2<0,0(1)=e-1>0,

所以存在而e(1,1)使0。0)=ex°-^=0,

当％6(0,%0)时，0。)<0,〃(%)V0,h(X)单调递减,

当％e(%o，+8)时，◎(%)>o,/iz(x)>o,h(%)单调递增，

i

所以=h(x)=(x+l)e&-2lnx-x=(x+l)---2lnx-x,

00000x000

1

因为靖。=

x0

所以％o=—ITLXQ,

.117

所以h(%o)=1+—+2%—x=1+%。+—G(3,-),

00%o乙

7

即％(右)e(3,今，

所以a—2W3,

所以a<5,

所以整数a的最大值为5,

②g'(x)<0恒成立，

x

所以a一22[(%+l)e-2lnx-x]max,

由①知八(尤)在(%o,+8)单调递增，

所以不存在最大值，

综上所述，正整数a的最大值为5.

【解析】(1)求导得(0),再计算出/(I),即可得出切线方程为y—/(I)=/'(l)(x—1),即可得

出答案.

(2)若g(x)=/(x)+(4-a)x-1无极值，则g'(x)>0恒成立或g'(x)<0恒成立,即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

18.【答案】(本小题满分14分)

解:(I)由|4B|=V^c,可得a?+炉=3c?,...(1分)

21

又炉=a2-2,则£=g….(3分)

所以，椭圆的离心率e=苧….(4分)

(口)由(1)知°2=2c2,b2=©2.故椭圆方程为拄+,=1....(5分)

设P(%o，yo)■由尸(1一《8(0,c),有&尸=(%0+c,y0)fFrB=(c,c)-

由已知，有9•赢=0,…仁分)

即(%o+c)c+yoc=。.又c。0,

故有%o+y。+c=0.①…（7分）

又因为点P在椭圆上，

故其+:=1.②…（8分）

由①和②可得3/+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点，

故殉=_寺,代入①得y0=<即点P的坐标为（3,今….（9分）

4c

设圆的圆心为TQl/l）,则久］=4t£=_|c，y1=?=|c，

进而圆的半径r=_0）2+（乃_c）2=^c....（11分）

设直线/的斜率为k,依题意，直线/的方程为丫=fcc.…（12分）

l^i-yil_依一当一第V5

由I与圆相切，可得丁=\即日一=丁，…（13分）

收+1护+1

整理得1一8k+1=0,解得k=4±V15....（14分）

所以，直线I的斜率为4+咫或4—咫.

【解析】（I）利用已知条件|4B|=Kc,结合〃=a2-c2,转化求解椭圆的离心率；

（口）设出椭圆方程，「。0，、0>由&（一20）,B（0,c）,由题意可得并.踮=0,利用点在椭圆上,

求出P的坐标，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，转化求解直线的斜率即可.

本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力.

19.【答案】解：（1）当n=l时，=Si=^（^-1）,.-.ai=a.

当n>2时，a=S-Snr=看（a-a_i）,整理得=a>

nna—1.nnun—l

riJ1

即数列｛aj是以a为首项、a为公比的等比数列，.•.%l=a-aT=a；

（2）由（1）知，bn=2义言（a，T）+1="-"-a,（*）

an（a-l）an

由数列｛%｝是等比数列，则状=瓦历，

故生孕=3.空±|空，解得a是，

再将。4代入（*）式,得狐=3n.

由于丹康=*+券2,表露=1=1，满足条件①；

-2-~2->-2-=尹=亡

又由于"=+故存在M2输足条件②.

故数列｛9为P数列.

°n

【解析】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档

题.

(1)由数列递推式可得数列是以a为首项、a为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答

案；

(2)由(1)知，*=2X袅+]=(3”L2a,再由数列也｝是等比数列，得a=)联立可得

an(a-l)an3

bn=3n.验证满足条件①②得答案.

20.【答案】解：(1)据题意知，PQ,阿,APQF为等边三角形，其边长为3+，Q(-&阿,

尸《，0)

所以Jp2+6P=3+1,解得p=2

所以抛物线的方程y2=4%

(2)①设2(X1，y)3(久2，〉2)，直线的方程为y=k(x-1)

所以加=(1一=(1-x2,-y2)

M(—1,-2/c),G(0,—k)

所以MW=(%i+l,yi+2k);MB=(x2+1,丫2+2k)

因为最=刈万S~MB=X2~BF

所以及=A2=1,所以A1+%=2

②由-1)得—(2/+4)x+fc2=0

J=16k2+16>0

所以+%2=2~4,，％2=1，

k

4

71•72=做/-1)-fc(x2-1)=-4；%+%=k(%i-1)+做*2-1)=I

所以G4-GB—xrx2+7172+fc(7i+72)+k?

=A:2+1>1

所以画•点的