安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，，，则（

）A. B. C. D.4.已知，，，则下面结论正确的是（

）A. B. C. D.5.等比数列的前项和，则（

）A.1 B. C. D.6.已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（

）A. B. C. D.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（

）A. B. C. D.8.已知函数，则函数的零点个数为（

）A.3 B.4 C.5 D.6二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.以下说法正确的是（）A.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9

B.已知随机变量~，若随机变量，则

C.将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种

D.若随机变量~，且，则10.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为，.则下列结论正确的是（）

A.椭圆的长轴长为 B.椭圆的离心率为

C.满足的点共有个 D.的最小值是11.已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（

）A. B.在极值点个数为3

C.在零点个数为2或3 D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是___

_____．13.展开式中项系数是

．14.已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．(1)求角；(2)若角的平分线交于点，且，，求的面积．16.(本小题15分)如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面．

(1)求证：平面平面；(2)若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．17.(本小题15分)某校为了全面提高学生的综合素养,举办了“最强中学生”知识竞赛,为了调查学生对这次活动的满意程度,在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查,并得到如下列联表,其中为正整数:满意不满意合计男生3a2a女生合计4a15a(1)用频率估计概率,求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率;(2)若依据的独立性检验,认为是否对该活动的满意度与性别有关,求的最小值;(3)若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节,该环节共设置3道试题,且每一道试题必须依次作答,至少答对2道才能进入总决赛,每人答对这3道试题的概率分别为,,,且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数,求的数学期望．附:,其中.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(本小题17分)已知椭圆的右焦点为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围．19.(本小题17分)已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为．(1)证明：是等比数列；(2)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，．记，求数列的前项和；(3)若对任意时，不等式恒成立，求实数的最大值．

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】30

14.【答案】

/0.2

15.【答案】解：（1）已知，展开左侧得：，

移项整理得,由正弦定理得：.

则，又，因此.（2）由(1)得，为角的平分线，故.设，，，.由，代入得：，解得，因此

16.【答案】解：（1）连接，因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，又因为D为棱的中点，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知：平面，且，所以三棱柱的体积为，则，而，则，又，所以，建立如图所示空间直角坐标系：

则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，所以AD与平面所成的角为，则.

17.【答案】解：(1)由调查数据可知:当a足够大时,以频率估计概率,

​​​​​​​可得该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率为=.

(2)由题意得:满意不满意合计男生3a2a5a女生8a2a10a合计11a4a15a

而==,

依据小概率值=的独立性检验,认为是否对该活动的满意度与性别有关,

则=,解得a,

因为a为正整数,所以a的最小值为10.

（3）由题意得，

设Ai=“答对第i道题”（i=1，2，3）；B=“某同学进入总决赛”，

则，，，

所以

=，

依题意，，

所以；

18.【答案】解：（1）由题意，椭圆的右焦点为，且过点，所以可得，解方程组得，所以椭圆的方程为；（2）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立；

当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，与椭圆联立，化简得，

因为直线与椭圆相交于，两点，设，，所以，解得，又，所以，，，，所以，令，则，由，所以，所以，因为，所以，则，所以，所以，即的取值范围是.

19.【答案】解：(1)证明：由点在抛物线上，所以，所以抛物线，因为，且轴，垂足为，所以，又过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，所以切点为，由，则，切点处切线的斜率为：，此时对应的切线方程为：，又点在切线方程上，所以，即，又在抛物线上，所以，所以，因为，所以，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知数列的通项公式为：，则，当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数只有，共个，故；当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故；，所以当时，所有不超过正整数且与互质的正整数为，共个，故，所以，所以，①，②①②得：，即.（3）由（2）知若对任意时，不等式恒